函数的应用(二)数学建模活动:生长规律的描述基础过关练题组一 利用已知函数模型解决问题1.(2020山东青岛胶州高一期末)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回出生地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为32m/s时,它的耗氧量的单位数为( )A.900B.1600C.2700D.81002.(2020北京房山高一期末)当强度为x的声音对应的等级为f(x)分贝时,有f(x)=10lgxA0(其中A0为常数).装修时电钻发出的声音约为100分贝,普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为( )A.53B.1053C.104D.e43.(2020重庆十一中高三月考)为了抗击新型冠状病毒肺炎疫情,保障师生安全,学校决定每天对教室进行消毒,已知药物释放过程中,室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(h)成正比0≤t<12;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=14t-aa为常数,t≥12.据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.5mg/m3以下时,学生方可进教室,则学校应安排工作人员至少提前 分钟进行消毒( ) A.30B.40C.60D.904.(2020陕西咸阳高一期末)在一定的储存温度范围内,某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储存温度x(单位:℃)之间满足函数关系y=ekx+b(e=2.71828…为自然对数的底数,k,b为常数),若该食品在0℃时的保鲜时间为120小时,在30℃时的保鲜时间为15小时,则该食品在20℃时的保鲜时间为( )A.30小时B.40小时C.50小时D.80小时5.(2020安徽六安舒城高一期末)某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,经抢修,排气扇恢复正常.排气4min后,测得车库内的一氧化碳浓7
度为64μL/L,继续排气4min,又测得浓度为32μL/L,经检测知,该地下车库一氧化碳浓度y(μL/L)与排气时间t(min)存在函数关系:y=c12mt(c,m为常数).(1)求c,m的值;(2)若地下车库中一氧化碳浓度不高于0.5μL/L为正常,问至少排气多少分钟,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态?题组二 自建函数模型解决问题6.(2019浙江温州环大罗山联盟高二下期中)满足“对定义域内任意实数x,y,都有f(x·y)=f(x)+f(y)”的函数可以是( )A.f(x)=x2B.f(x)=2xC.f(x)=log2xD.f(x)=elnx7.(2020山东烟台高一上期末)某商家准备在2020年春节来临前连续两次对某一商品的销售价格进行提价且每次提价10%,然后在春节活动期间连续两次对该商品进行降价且每次降价10%,则该商品的最终售价与原来的价格相比( )A.略有降低B.略有提高C.相等D.无法确定8.某山区为加强环境保护,绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%,那么,经过x年,绿色植被的面积可增长为原来的y倍,则函数y=f(x)的图像大致为( )9.(2020江西赣州高一期末)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%.(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;7
(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年),每年投入的资金数将超过400万元?(参考数据:lg0.11≈-0.959,lg1.1≈0.041,lg11≈1.041,lg2≈0.301)题组三 拟合函数模型解决问题10.(2020湖南宁乡一中高一月考)某品牌电脑投放市场的第一个月销售了100台,第二个月销售了200台,第三个月销售了400台,第四个月销售了790台,则下列函数模型中能较好地反映销售量y与投放市场月数x之间关系的是( )A.y=100xB.y=50x2-50x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+10011.(2020辽宁锦州高二期末)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国.现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾,严重影响航道安全和水生动物生长.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型:y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.(参考数据:2≈1.414,3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积,并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.7
12.(2020山东烟台高一期末)科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9000万元的投资收益目标,准备制订一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.(1)现有三个奖励函数模型:①f(x)=0.03x+8,②f(x)=0.8x+200,③f(x)=100log20x+50,x∈[3000,9000].试分析这三个函数模型是否符合公司要求;(2)根据(1)中符合公司要求的函数模型,要使奖金额达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?7
答案全解全析基础过关练1.答案 C 信息提取 ①v=12log3Q100.②求当v=32时,Q的值.数学建模 以科学家研究大西洋鲑鱼洄游耗氧量为背景,构建对数型函数模型,应用函数模型解决求值问题,将实际的鲑鱼洄游问题抽象为数学问题,将v=32代入v=12log3Q100中,求得Q的值即可.解析 当v=32时,32=12log3Q100,即log3Q100=3,故Q100=33=27,所以Q=2700.故选C.2.C 设装修时电钻发出的声音强度为x1,普通室内谈话的声音强度为x2.由题意得f(x1)=100=10lgx1A0,f(x2)=60=10lgx2A0⇒x1=A01010,x2=A0106,所以装修时电钻发出的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为x1x2=A01010A0106=104.3.C 由题意得y=2t,0≤t<12,14t-12,t≥12,当t≥12时,令y=14t-12=12,解得t=1,1h=60min.故选C.4.A 由题意可得120=eb,15=e30k+b,解得ek=18130,所以当x=20时,y=ek×20+b=(ek)20×eb=18130×20×120=30.故选A.5.解析 (1)由题意,可得方程组64=c124m,32=c128m,解得c=128,m=14.(2)由(1)知y=128×1214t.由题意可得128×1214t≤0.5,即1214t≤128,14t≥8,解得t≥32.所以至少排气32min,这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态.6.C 若f(x)=log2x,则f(x·y)=log2(xy)=log2x+log2y=f(x)+f(y)对任意x>0,y>0恒成立,符合题意.故选C.7.A 设这种商品的原价为a,则两次提价后的价格为a(1+10%)2=1.12·a,7
又进行两次降价后的价格为1.12·a(1-10%)2=(1+0.1)2(1-0.1)2·a=0.992a<a,因此最终售价与原来的价格相比略有降低,故选A.8.D 设山区第一年绿色植被的面积为a,则y=a×(1+10.4%)xa=(1+10.4%)x,易知其定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),且随x的增大,y增长的速度越来越快.故选D.9.解析 (1)第一年投入的资金数为200×(1+10%)万元,第二年投入的资金数为200×(1+10%)+200×(1+10%)×10%=200(1+10%)2万元,……故第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式为y=200(1+10%)x,其定义域为{x∈N*|x≤10}.(2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2,即x>lg2lg1.1≈0.3010.041≈7.3,即企业从第8年(2019年为第一年)开始,每年投入的资金数将超过400万元.10.C 由题列出如下表格:x/月1234月销量y/台100200400790根据表格中的数据,可知函数在(0,+∞)上是增函数,且y的变化随x的增大而增大得越来越快,分析各选项知选项C符合,故选C.11.信息提取 ①水葫芦蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.②经过时间x(x∈N)个月,水葫芦覆盖面积为y(单位:m2).③两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0).数学建模 以水葫芦生长为背景,选择函数模型并应用模型解决实际问题.由题意可知点(2,18),(3,27)在函数图像上,代入验证,从而确定函数模型.解析 (1)∵y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=px12+q(p>0)的增长速度越来越慢,∴依题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有ka2=18,ka3=27,解得a=32,k=8,∴y=8·32x(x∈N).(2)当x=0时,y=8,设经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,则8·32x7
=8×1000,∴x=log321000=lg1000lg32=3lg3-lg2≈17.04,∴原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.12.解析 (1)①函数f(x)=0.03x+8,当x=3000时,f(3000)=98<100,不符合要求;②函数f(x)=0.8x+200为减函数,不符合要求;③函数f(x)=100log20x+50在[3000,9000]上为增函数,且当x=3000时,f(3000)=100log203000+50>100log2020+50≥100,又因为当x∈[3000,9000]时,f(x)≤f(9000)=100log209000+50<100log20160000+50=450,x5≥30005=600,所以f(x)max≤x5min,所以f(x)≤x5恒成立.因此,f(x)=100log20x+50为满足条件的函数模型.(2)由100log20x+50≥350得log20x≥3,所以x≥8000,所以公司的投资收益至少要达到8000万元.7
