陕西省汉中市南郑县大河坎九年制学校2022-2022八年级上数学竞赛试题（考试时间：90分钟试卷满分100分） 一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，42．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x≥2D．x≥13．若x=﹣，y=+，则xy的值为（ ）A．2B．2C．（a+b）D．（a﹣b）4．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）A．B．3C．4D．3(第4题)（第5题）（第6题）（第7题）5．直线l：y=（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）A．3﹣m﹣nB．5C．﹣1D．m+n﹣56．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2） 7．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A．（）cmB．C．D．9cm8．函数y=的图象为（ ）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每小题4分，共计16分）9．计算：= ．10．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．11．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ．912．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3= ．三．解答题（共6小题，合计52分）13．（6分）计算：﹣22++|﹣3|﹣（3.14﹣π）0．14．（6分）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长． 16．（10分）如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．（1）写出点A，C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离．9 17．（12分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a= ，b= ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？ 18．（12分）如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式；（2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．陕西省汉中市南郑县大河坎九年制学校2022——2022八年级上数学竞赛试题（卷）参考答案与试题解析 9一．选择题（共8小题）1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，4【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．2．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）A．x≤2B．x≤2且x≠1C．x≥2D．x≥1【解答】解：∵式子有意义，∴，解得：x≤2且x≠1．故选B．3．若x=﹣，y=+，则xy的值为（ ）A．2B．2C．（a+b）D．（a﹣b）【解答】解：xy=（﹣）（+）=a﹣b．故选D．4．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（ ）A．B．3C．4D．3【解答】解：S△ABC：S大正方形=（4﹣1﹣1﹣0.5）：4=1.5：4=3：8，∵S△ABC=3，∴小正方形的面积为2，BC=2，点A到边BC的距离为6÷2=3，故选D．5．直线l：y=（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象如图，化简：|m﹣3|﹣得（ ）A．3﹣m﹣nB．5C．﹣1D．m+n﹣5【解答】解：直线l：y=（m﹣3）x+n﹣2（m，n为常数）的图象可知，n﹣2＜0，m﹣3＞0．|m﹣3|﹣=m﹣3﹣=m﹣3+n﹣2=m+n﹣5故选D．6．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=9x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD．若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（ ）A．（﹣1，）B．（﹣2，）C．（﹣，1）D．（﹣，2）【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，∵点B的坐标为（2，0），AB⊥x轴于点B，∴A点横坐标为2，当x=2时，y=x=2，∴A（2，2），∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，∴BC=BA=2，∠ABC=60°，∴∠CBH=30°，在Rt△CBH中，CH=BC=，BH=CH=3，OH=BH﹣OB=3﹣2=1，∴C（﹣1，）．故选：A．7．如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块．一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A点相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A．（）cmB．C．D．9cm【解答】解：AB就是蚂蚁爬的最短路线．但有三种情况：当：AD=3，DB=4+6=10．AB==．当AD=4，DB=6+3=9．AB=．当AD=6，DB=3+4=7AB=．所以第三种情况最短．故选C．8．（2022•呼和浩特）函数y=的图象为（ ）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数解析式为：y=﹣x﹣2，函数图象为：B、D，当x＞0时，函数解析式为：y=x+2，函数图象为：A、C、D，故选：D．9二．填空题（共4小题）9．计算：= ﹣2 ．【解答】解：原式=2÷（﹣2）﹣1=﹣2．故答案为：﹣2．10．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 5 ．【解答】解：∵，∴a2﹣6a+9=0，b﹣4=0，解得a=3，b=4，∵直角三角形的两直角边长为a、b，∴该直角三角形的斜边长===5．故答案是：5．11．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是 ﹣ ．【解答】解：∵OB==，∴OA=OB=，∵点A在数轴上原点的左边，∴点A表示的数是﹣，故答案为：﹣．12．对于X，Y定义一种新运算“*”：X*Y=aX+bY，其中a，b为常数，等式右边是通常的加法和乘法的运算．若成立，那么2*3= 1 ．【解答】解：∵，∴a=2，∴由，得2b=，解得，b=﹣1，∵X*Y=aX+bY，∴2*3=2a+3b=2×2+3×（﹣1）=4﹣3=1；故答案是1．三．解答题（共6小题）13．计算：﹣22++|﹣3|﹣（3.14﹣π）0．【解答】解：原式=﹣4+3+3﹣1=3﹣2．14．（2022•广东模拟）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？【解答】解：连接BD，9在Rt△ABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52，在△CBD中，CD2=132BC2=122，而122+52=132，即BC2+BD2=CD2，∴∠DBC=90°，S四边形ABCD=S△BAD+S△DBC=，==36．所以需费用36×200=7200（元）．15．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9．求AC的长．【解答】解：∵AC平分∠BAD，∴把△ADC沿AC翻折得△AEC，∴AE=AD=9，CE=CD=10=BC．作CF⊥AB于点F．∴EF=FB=BE=（AB﹣AE）=6．在Rt△BFC（或Rt△EFC）中，由勾股定理得CF=8．在Rt△AFC中，由勾股定理得AC=17．∴AC的长为17．16．如图，在直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴的负半轴，y轴的负半轴上，且OA=2，OB=1．将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的像沿x轴正方向平移1个单位，得△CDO．（1）写出点A，C的坐标；（2）求点A和点C之间的距离．【解答】解：（1）点A的坐标是（﹣2，0），点C的坐标是（1，2）．（2）连接AC，在Rt△ACD中，AD=OA+OD=3，CD=2，∴AC2=CD2+AD2=22+32=13，∴AC=．17．盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示．9（1）a= 6 ，b= 8 ；（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？【解答】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元，∴a=×10=6；由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元，∴b=×10=8；（2）设y1=k1x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，480），∴10k1=480，∴k1=48，∴y1=48x；0≤x≤10时，设y2=k2x，∵函数图象经过点（0，0）和（10，800），∴10k2=800，∴k2=80，∴y2=80x，x＞10时，设y2=kx+b，∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440），∴，∴，∴y2=64x+160；∴y2=；（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n），当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）=3040，解得n=20（不符合题意舍去），当n＞10时，800+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）=3040，解得n=30，则50﹣n=50﹣30=20．答：A团有20人，B团有30人．18．如图，已知一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴，垂足为B，连接OA．（1）求此一次函数的解析式；（2）设点P为直线y=﹣x+b上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若S△POQ=S△AOB，求点P的坐标．9【解答】解：（1）∵一次函数y=﹣x+b的图象经过点A（2，3），∴3=（﹣）×2+b，解得b=4，故此一次函数的解析式为：y=﹣x+4；（2）设P（p，d），p＞0，∵点P在直线y=﹣x+4的图象上，∴d=﹣p+4①，∵S△POQ=S△AOB=××2×3，∴pd=②，①②联立得，，解得或，∴P点坐标为：（3，）或（5，）．9
