第1章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．cos30°的值为( )A.B．1C.D.2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC等于( )A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°3．等腰三角形底边与底边上的高的比是2∶，则顶角为( )A．60° B．90° C．120° D．150°4．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连结BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是( )A．10B．8C．4D．26．如图①，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩竖直向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm(如图13
②)，则木桩大约上升了(结果保留一位小数．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36)( )A．2.9cmB．2.2cmC．2.7cmD．7.5cm7．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，∠C＝120°，AB＝8，则CD的长为( )A. B．4C.D．48．李红同学遇到了这样一道题：求tan(α＋20°)＝1中锐角α的度数．你认为锐角α的度数应是( )A．40° B．30° C．20° D．10°9．如图，某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于P的北偏东30°方向，且相距20nmile.客轮以60nmile/h的速度沿北偏西60°方向航行h到达B处，那么tan∠ABP的值等于( )A.B．2C.D.10．如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于( )A．asinx＋bsinxB．acosx＋bcosx13
C．asinx＋bcosxD．acosx＋bsinx二、填空题(每题3分，共24分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则∠A的正切值为________．12．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC＝4，BC＝3，则cos∠BCD＝________.13．已知传送带的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10m高的地方，那么物体所经过的路程为________. 14．如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15米，在实验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的高度是____________米(结果保留根号)．13
15．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，AC＝2，cosC＝，则AB边的长为________．17．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25min后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B两点间的距离为__________．18．如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港出发，沿北偏东60°的方向以40nmile/h的速度航行，同时乙货船从B港出发，沿西北方向航行，2h后两船在点P处相遇，则乙货船的速度为____________．13
三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)2－1－tan60°＋(π－2021)0＋；(2)(π－)0＋＋(－1)2021－tan60°.20．如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物方向前进了100m到达B处，此时测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度(结果精确到1m．参考数据：≈1.732)．13
21．如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河流河面的宽度．22．为了缓解交通拥堵，方便行人，市政府计划在某街道修建一座横断面为四边形ABCD的过街天桥(如图)，BC∥AD，若天桥斜坡AB的坡角∠BAD为35°，斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，BC＝10m，天桥高度CE＝5m，求AD的长度(结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)．13
23．如图是由6个形状、大小完全相同的小矩形组成的，小矩形的顶点称为格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC的顶点都在格点上．(1)用无刻度的直尺作图：找出格点D，连结CD，使∠ACD＝90°；(2)在(1)的条件下，连结AD，求tan∠BAD的值．13
24．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，OE＝OF＝34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32cm(参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求证：AC∥BD；(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)；(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明理由．13
答案一、1.D 2.D 3.A4．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出A，B两点间的距离；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出A，B两点间的距离；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出A，B两点间的距离；对于④无法求得A，B两点间的距离，故有①②③共3组，故选C.5．D 6.A7．A 点拨：过点A作AE⊥BC于点E，过D作DF⊥BC，交BC延长线于点F，解Rt△ABE可得AE＝4，易证DF＝AE，∴DF＝4，再解Rt△DCF即可求出CD.8．D 9.A10．D 点拨：如图，作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F.∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x.∴∠FBA＝x.∵AB＝a，BC＝AD＝b，∴FO＝FB＋BO＝acosx＋bsinx.二、11.3 12. 13.26m14．(15＋15) 15.16. 点拨：如图，作AH⊥BC于点H.13
在Rt△ACH中，∵∠AHC＝90°，AC＝2，cosC＝，∴＝.∴CH＝.∴AH＝＝＝.在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AH＝.17．750m 点拨：过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝30×25＝750(m)，∴AD＝AC·sin45°＝375(m)．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝750(m)．即小山东西两侧A，B两点间的距离为750m.18．20nmile/h 点拨：如图，作PC⊥AB于点C.∵甲货船从A港出发，沿北偏东60°的方向以40nmile/h的速度航行，∴∠PAC＝30°，AP＝40×2＝80(nmile)．∴PC＝AP·sin30°＝80×＝40(nmile)．∵乙货船从B港出发，沿西北方向航行，∴∠PBC＝45°.∴PB＝PC÷＝40(nmile)．∴乙货船的速度为40÷2＝20(nmile/h)．三、19.解：(1)2－1－tan60°＋(π－2021)0＋＝－3＋1＋13
＝－1.(2)(π－)0＋＋(－1)2021－tan60°＝1＋2－1－3＝－1.20．解：设CE＝xm．由题意可知，△BCE为等腰直角三角形．∴BE＝CE＝xm.在Rt△AEC中，tan∠CAE＝，即tan30°＝，∴＝.解得x≈136.6.∴CD＝CE＋ED≈138m.故该建筑物的高度约为138m.21．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.由题意可知BC＝1.5×40＝60(米)，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD－∠ABC＝30°.∴∠ABC＝∠BAC.∴AC＝BC＝60米．在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，∴AD＝AC·sin60°＝60×＝30(米)．答：此段河流河面的宽度为30米．22．解：过点B作BF⊥AD于点F，则四边形BFEC是矩形，∴BF＝CE＝5m，EF＝BC＝10m.在Rt△ABF中，∠BAF＝35°，tan∠BAF＝，∴AF＝≈≈7.14(m)．∵斜坡CD的坡度i＝1∶1.2，∴＝.∴ED＝1.2CE＝1.2×5＝6(m)．∴AD＝AF＋FE＋ED≈7.14＋10＋6≈23.1(m)．13
故AD的长度约为23.1m.23．解：(1)如图．(2)如图，连结BD，∵∠BED＝90°，BE＝DE＝1，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，BD＝＝＝.易知BF＝AF＝2，∠BFA＝90°.∴∠ABF＝∠BAF＝45°，AB＝＝＝2，∴∠ABD＝∠ABF＋∠EBD＝45°＋45°＝90°.∴tan∠BAD＝＝＝.24．(1)证明：∵AB＝CD＝136cm，OA＝OC＝51cm，∴OB＝OD＝85cm.∴＝＝.又∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD.∴∠OAC＝∠OBD.∴AC∥BD.(2)解：在△OEF中，OE＝OF＝34cm，EF＝32cm.如图，作OM⊥EF于点M，则EM＝16cm.∴cos∠OEF＝＝≈0.471.∴∠OEF≈61.9°.13
(3)解：小红的连衣裙垂挂在衣架上会碰到地面．理由如下：易得∠ABD＝∠OEF≈61.9°.如图，过点A作AH⊥BD于点H.在Rt△ABH中，∵sin∠ABD＝，∴AH＝AB·sin∠ABD≈136×sin61.9°≈136×0.882≈120(cm)．∵小红的连衣裙穿在衣架上的总长度122cm大于晒衣架的高度120cm，∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会碰到地面．13
