第六章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列命题为真命题的是( )A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．四边相等的四边形是正方形2．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则△ABC的周长等于( )A．20B．15C．10D．53．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的( )A．B．C．D．4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5B．4C．7D．145．如图，E为矩形ABCD的边BC的中点，且∠BAE＝30°，AE＝2，则AC等于( )A．3B．2C．D．6．顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是( )A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形15
7．如图，把一张长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A．15°或30°B．30°或45°C．45°或60°D．30°或60°8．如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°9．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是( )A．AF＝AEB．△ABE≌△AGFC．EF＝2D．AF＝EF10．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G，下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF＝2S△ABE.其中正确结论有( )A．2个B．3个C．4个D．5个15
二、填空题(每题3分，共24分)11．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α的度数为________时，两条对角线长度相等．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝10，则菱形ABCD的面积为________．13．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．14．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝________.15．菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(0，)，动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→……的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2018s时，点P的坐标为________．16．如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF＝4.设AB＝x，AD＝y，则x2＋(y－4)2的值为________．17．如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A＝120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE＋PC的最小值是________．15
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形的对角线交于点O，连接OC．已知AC＝5，OC＝6，则另一直角边BC的长为________．三、解答题(19，20题每题9分，21题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.求证：DE＝DF.15
20．如图，O为矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)若AB＝3，BC＝4，求四边形OCED的面积．21．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．15
22．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.(1)求证：△DCE≌△BFE；(2)若CD＝2，∠ADB＝30°，求BE的长．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点的一个60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合，连接EF.(1)求证：BE＝CF.(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．24．在正方形ABCD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE15
交直线AP于点F.(1)依题意补全图①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，EF，FD之间的数量关系，并给出证明．15
答案一、1.A 2.B 3.B4．A 点拨：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD.又∵H为AD边的中点，∴OH是△ABD的中位线．∴OH＝AB＝×7＝3.5.故选A.5．D 6.D7．D 点拨：画出所剪的图形示意图如图所示．∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠ABC，∠BAC＝∠BAD，AD∥BC.∵∠BAD＝120°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－120°＝60°.∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.8．C9．D 点拨：如图，由折叠的性质得∠1＝∠2.∵AD∥BC，15
∴∠3＝∠1.∴∠2＝∠3.∴AE＝AF.故选项A正确．由折叠的性质得CD＝AG，∠D＝∠G＝90°.∵AB＝CD，∴AB＝AG.又∵AE＝AF，∠B＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△AGF(HL)．故选项B正确．设DF＝x，则GF＝x，AF＝8－x.又∵AG＝AB＝4，∴在Rt△AGF中，根据勾股定理得(8－x)2＝42＋x2.解得x＝3.∴AF＝8－x＝5.则AE＝AF＝5，∴BE＝＝＝3.过点F作FM⊥BC于点M，则EM＝5－3＝2.在Rt△EFM中，根据勾股定理得EF＝＝＝＝2，则选项C正确．∵AF＝5，EF＝2，∴AF≠EF.故选项D错误．10．C 【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝∠D＝∠BAD＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF，∠EAF＝60°.∴∠BAE＋∠DAF＝30°.在Rt△ABE和Rt△ADF中，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)．15
∴BE＝DF(故①正确)．∠BAE＝∠DAF.∴∠DAF＋∠DAF＝30°，即∠DAF＝15°(故②正确)．∵BC＝CD，∴BC－BE＝CD－DF，即CE＝CF，又∵AE＝AF，∴AC垂直平分EF(故③正确)．设EC＝x，由勾股定理，得EF＝AE＝x，∴EG＝CG＝x.∴AG＝x.∴AC＝.∴AB＝BC＝.∴BE＝－x＝.∴BE＋DF＝x－x≠x(故④错误)．易知S△CEF＝，S△ABE＝＝，∴2S△ABE＝＝S△CEF(故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、11.90° 点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．12．30 13.2.514.－1 点拨：先过点E作EF⊥DC于点F，且AC与BD交于点O，再证△COE≌△CFE.设DF＝x，则FC＝1－x，且FC＝CO＝AC＝AB＝，由此可求出x，再由DE＝x，求出DE即可．15.16．16 点拨：∵四边形ABCD是矩形，AB＝x，AD＝y，∴CD＝AB＝x，BC＝AD＝y，∠BCD＝90°.又∵BD⊥DE，点F是BE的中点，DF＝4，∴BF＝DF＝EF＝4，∴CF＝4－BC＝4－y.在Rt△DCF中，DC2＋CF2＝DF2，即x2＋(4－y)2＝42＝16.∴x2＋(y－4)2＝16.17．3cm 点拨：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB＝BC＝24÷4＝6(cm)．如图，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P′，则CE′的长即为PE＋PC的最小值．∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线，∴点E′在AB15
上，由图形对称的性质可知，BE＝BE′＝BC＝×6＝3(cm)，易知△BCE′是直角三角形，∴CE′＝＝＝3(cm)，故PE＋PC的最小值是3cm.18．7 【点拨】如图，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，过点O作ON⊥BC于点N，易证△OMA≌△ONB，CN＝OM，∴OM＝ON，MA＝NB.∴O点在∠ACB的平分线上．∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC＝6，∴CM＝OM＝6.∴MA＝CM－AC＝6－5＝1.∴BC＝CN＋NB＝OM＋MA＝6＋1＝7.故答案为7.三、19.证明：连接DB.∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC.又∵DE⊥AB，DF⊥BC，15
∴DE＝DF.20．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED为平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴OD＝OC.∴四边形OCED为菱形．(2)解：∵四边形ABCD为矩形，∴BO＝DO＝BD.∴S△OCD＝S△OCB＝S△ABC＝××3×4＝3.∴S菱形OCED＝2S△OCD＝6.21．(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝DC＝CB，∠D＝∠B＝90°.∵E，F分别为DC，BC的中点，∴DE＝DC，BF＝BC.∴DE＝BF.在△ADE和△ABF中，∴△ADE≌△ABF(SAS)．(2)解：由题知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，且AB＝AD＝4，DE＝BF＝CE＝CF＝×4＝2，∴S△AEF＝S正方形ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF＝4×4－×4×2－×4×2－×2×2＝6.22．(1)证明：∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C＝90°，∴∠ADB＝∠DBC.根据折叠的性质得∠ADB＝∠BDF，∠F＝∠A＝90°，∴∠DBC＝∠BDF，∠C＝∠F.∴BE＝DE.在△DCE和△BFE中，∴△DCE≌△BFE.15
(2)解：在Rt△BCD中，∵CD＝2，∠DBC＝∠ADB＝30°，∴BD＝4.∴BC＝2.在Rt△ECD中，易得∠EDC＝30°.∴DE＝2EC.∴(2EC)2－EC2＝CD2.又∵CD＝2，∴EC＝.∴BE＝BC－EC＝.23．(1)证明：如图，连接AC.∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°， ∴∠ABE＝∠ACF＝60°，∠1＋∠2＝60°.∵∠3＋∠2＝∠EAF＝60°，∴∠1＝∠3.∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC为等边三角形．∴AC＝AB.∴△ABE≌△ACF.∴BE＝CF.(2)解：四边形AECF的面积不变．由(1)知△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF，故S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝S△AEC＋S△ABE＝S△ABC.如图，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝MC＝2，∴AM＝＝＝2.15
∴S△ABC＝BC·AM＝×4×2＝4.故S四边形AECF＝4.24．解：(1)如图①.(2)如图②，连接AE，∵点E是点B关于直线AP的对称点，∴∠PAE＝∠PAB＝20°，AE＝AB.∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝AB＝AD，∠BAD＝90°.∴∠AED＝∠ADE，∠EAD＝∠DAB＋∠BAP＋∠PAE＝130°.∴∠ADF＝＝25°.(3)EF2＋FD2＝2AB2.证明如下：如图③，连接AE，BF，BD，由轴对称和正方形的性质可得，EF＝BF，AE＝AB＝AD，易得∠ABF＝∠AEF＝∠ADF，∵∠BAD＝90°.∴∠ABF＋∠FBD＋∠ADB＝90°.∴∠ADF＋∠ADB＋∠FBD＝90°.∴∠BFD＝90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2＋FD2＝BD2.在Rt△ABD中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝2AB2，∴EF2＋FD2＝2AB2.15
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