专题回顾1.5立体几何同步练习一、选择题1．下列几何体是台体的是()A．B．C．D．【答案】D【解析】A中几何体四条侧棱的延长线不是相交于一点，所以不是棱台；B中几何体上下底面不平行，所以不是圆台；C中几何体是棱锥，不是棱台；D中几何体侧面的母线延长相交于一点，且上下底面平行，是圆台．故选：D．2．如图所示的是水平放置的三角形直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′离C′比D′离B′近，又A′D′∥y′轴，那么原△ABC的AB、AD、AC三条线段中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC【答案】C【解析】由题意得到原△ABC的平面图为：其中，AD⊥BC，BD＞DC，∴AB＞AC＞AD，∴△ABC的AB、AD、AC三条线段中最长的是AB，最短的是AD．故选：C．3．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．不确定【答案】B【解析】∵，∴平面∵∴平面∴∥，故选B．4．线段AB的两端在直二面角α－l－β的两个面内，并与这两个面都成30°角，则异面直线AB与l所成的角是( )A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】B【解析】设AB=a，在平面α内，作AA′⊥l于A′，则AA′⊥β，连A′B，则∠ABA′=30°.在Rt△AA′B中，AB=a，所以AA′=a.同理作BB′⊥l于B′，连AB′，则∠BAB′=30°，所以BB′=a，AB′=a，所以A′B′==a，过B作BCA′B′.连接A′C，则A′CBB′，连接AC，在Rt△AA′C中，AC==a.由BC⊥平面AA′C，所以△ABC为直角三角形，且AC=BC，所以∠ABC=45°，为l与AB所成角.选B.5．若圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则其体积是()A．9πB．9C．3πD．3【答案】C【解析】∵圆锥的底面周长为6π，∴圆锥的底面半径r=3；双∵圆锥的母线长l=8，圆锥的高h==所以圆锥的体积V==3π，故选：C．6．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为()A．RB．2RC．3RD．4R【答案】D【解析】3个半径为R的铁球总体积V=3×πR3=4πR3由铸成一个底面半径为R的圆柱时总体积不变故V=πR2H=4πR3解得H=4R故选：D．7．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为()A．B．C．D．【答案】D【解析】∵三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，∴直观图的面积是=，∵=，∴原三角形的面积为=，故选：D．8．设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．9．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )A．30°B．60°C．90°D．120°【答案】C【解析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°知A′C＝．∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°，故选C．10．如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体A-BCD,则在四面体A-BCD中,下列说法正确的是 ( )A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABD【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，又平面⊥平面，平面∩平面,平面，所以⊥平面，又平面，所以平面⊥平面。选D。11．已知高为3的正三棱柱的每个顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则异面直线与所成角的余弦值为 A．B．C．D．【答案】B【解析】设三棱柱的底面边长为a，则此三棱柱的外接球的半径，又由已知有，所以，联立得：，分别取BC、、的中点E、F、G，连接GF、EF、EG，因为，，则或其补角为异面直线与所成角，又易得：，，在中，由余弦定理得：，又为锐角即异面直线与所成角的余弦值为，故选：B．12．在正三棱锥中，三条侧棱两两垂直且侧棱长为1，则点到平面的距离为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设点到平面的距离为.∵三条侧棱两两垂直，且侧棱长为1∴∴∵∴∴，即点到平面的距离为.故选C.二、填空题13．已知直线、与平面、，下列命题：①若平行内的一条直线，则；②若垂直内的两条直线，则；③若，，且，，则；④若，，且，则；⑤若，且，则；⑥若，，，则．其中正确的命题为______（填写所有正确命题的编号）．【答案】⑤⑥【解析】对于①，若平行内的一条直线，则不一定成立，如时，①错误；对于②，若垂直内的两条直线，则不一定成立，如内的这两条直线平行时，②错误；对于③，若，，且，，当时，则由平面与平面平行的判定定理，不能得出，③错误；对于④，若，，且，则由平面与平面垂直的判定定理，不能得出，④错误；对于⑤，若，且，则由直线与平面平行的性质定理，得出，⑤正确；对于⑥，若，，，则由平面与平面平行的性质定理，即可判定，⑥正确．综上，其中正确的命题序号为⑤⑥．故答案为：⑤⑥．14．以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，将△ABC折成二面角等于____________.时，在折成的图形中，△ABC为等边三角形．【答案】90°【解析】∵，∴即为二面角的平面角，设，则，若为等边三角形，则，∴∴，故填.15．三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长是的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【解析】如图，取AC中点G，连接DG，BG，E，F分别为中心，外接球球心为O，易知OEGF为正方形，求得，，，，故答案为：．16．如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．下列命题正确的为_______________.①存在点，使得//平面；②对于任意的点，平面平面；③存在点，使得平面；④对于任意的点，四棱锥的体积均不变．【答案】①②④【解析】①当为棱上的一中点时，此时也为棱上的一个中点，此时//，满足//平面，故①正确；②连结，则平面，因为平面，所以平面平面，故②正确；③平面，不可能存在点，使得平面，故③错误；④四棱锥的体积等于，设正方体的棱长为1.∵无论、在何点，三角形的面积为为定值，三棱锥的高，保持不变，三角形的面积为为定值，三棱锥的高为，保持不变.∴四棱锥的体积为定值，故④正确.故答案为①②④.三、解答题17．已知一四面体的三组对边分别相等，且长度依次为.（1）求该四面体的体积；（2）求该四面体外接球的表面积.【答案】（1）20（2）【解析】（1）四面体的三组对边分别相等，四面体为某一长方体的六条面对角线组成的三棱锥，设长方体的棱长为，则，解得，四面体的体积.（2）由（1）可知四面体的外接球为长方体的外接球，外接球直径为长方体的体对角线长，外接球的半径为，外接球的表面积为.18．如图，三棱柱中，侧棱垂直底面，，，D是棱的中点．1证明：平面BDC2平面分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比3画出平面与平面ABC的交线．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）见解析。【解析】1证明：由题设知，，，平面，又平面，，由题设知，，即，又，平面BDC．2解：设棱锥的体积为，，由题意得，又三棱锥的体积，：：1，平面分此棱柱所得两部分的体积的比为1：1．3解：延长、，交于点，连结，直线就是平面与平面的交线．19．已知正方体，分别为和上的点，且，.（1）求证：；（2）求证：三条直线交于一点.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】证明：(1)如图，连结和，在正方体中，，∵，∴，又，，∴．又在正方体中，，,∴，又，∴．同理可得，又，∴．∴∥.（2）由题意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直线和必相交，不妨设，则，又，所以，同理．因为，所以，所以、、三条直线交于一点．20．四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD是正三角形，，E为AD的中点，二面角为．证明：平面PBE；求点P到平面ABCD的距离；求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）见证明；（2）（3）【解析】证明：是正三角形，E为AD中点，，，PE与PB是平面PBE内的两条相交线，平面PBE．解：平面PBE，平面PBE，，是二面角的平面角，，平面PBE，平面ABCD，平面平面ABCD，作，垂足为F，则平面ABCD，，点P到面ABC的距离为．，E为AD中点，，即为正三角形，以E为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则0，，，，0，，，，0，，设y，是平面ABP的一个法向量，则，取，得，，与平面APB所成的角和BC与平面APB所成的角相等，设BC与平面APB所成角为，．直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，.（1）求证：；（2）若为等边三角形，，平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】（1）作于，连结.∵，，是公共边，∴，∴．∵，∴，又平面，平面，，∴平面，又平面，∴．（另法：证明,取的中点.）（2）∵平面平面，平面平面，，∴平面．又为等边三角形，，∴.又由题意得，，是公共边，∴，∴，∴平行四边形为有一个角为的边长为的菱形，∴，∴四棱锥的体积．
