3.2.2函数模型的应用实例（一）（一）教学目标1．知识与技能：初步掌握一次和二次函数模型的应用，会解决较简单的实际应用问题.2．过程与方法：经历运用一次和二次函数模型解决实际问题，提高学生的数学建模能力.3．情感、态度与价值观：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.（二）教学重点、难点一次和二次函数模型的应用是本节的重点，数学建模是本节的难点.（三）教学方法本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入回顾一次函数和二次函数的有关知识.教师提出问题，学生回答.师：一次函数、二次函数的解析式及图象与性质.生：回答上述问题.以旧引新，激发兴趣.应用举例1．一次函数模型的应用例1某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系，并求火车离开北京2h内行驶的路程.教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的函数模型，求出函数关系式.学生根据要求，完成例1的解答.例1解：因为火车匀速运动的时间为(200–13)÷120=(h)，所以.因为火车匀速行驶时间th所行驶路程为120t，所以，火车运行总路程S与匀速行驶时间t之间的关系是2h内火车行驶的路程=233(km).通过此问题背景，让学生恰当选择相应一次函数模型解决问题，加深对函数概念本质的认识和理解.让学生体验解决实际问题的过程和方法.解题方法：1．读题，找关键点；2．抽象成数学模型；3．求出数学模型的解；4．做答.学生总结，教师完善.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的规律和方法.,2．二次函数模型的应用例2某农家旅游公司有客房300间，每间日房租20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间.若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？让学生自己读题，并回答下列问题：①题目求什么，应怎样设未知量；②每天客房的租金收入与每间客房的租金、客房的出租数有怎样的关系；③学生完成题目.法一：用列表法求解.此法可作为学生探求思路的方法，但由于运算比较繁琐，一般不用，应以法二求解为重点.对法二让学生读题，回答问题.教师指导，学生自己动手解题.师生合作由实际问题建模，让学生尝试解答.例2解答：方法一依题意可列表如下：xy0300×20=60001(300–10×1)(20+2×1)=63802(300–10×2)(20+2×2)=67203(300–10×3)(20+2×3)=70204(300–10×4)(20+2×4)=72805(300–10×5)(20+2×5)=75006(300–10×6)(20+2×6)=76807(300–10×7)(20+2×7)=78208(300–10×8)(20+2×8)=79209(300–10×9)(20+2×9)=798010(300–10×10)(20+2×10)=800011(300–10×11)(20+2×11)=798012(300–10×12)(20+2×12)=792013(300–10×13)(20+2×13)=7820……由上表容易得到，当x=10，即每天租金为40元时，能出租客房200间，此时每天总租金最高，为8000元.再提高租金，总收入就要小于8000元了.方法二设客房租金每间提高x个2元，则将有10x间客房空出，客房租金的总收入为y=(20+2x)(300–10x)=–20x2+600x–200x+6000=–20(x2–20x+100–100)+6000解应用题首先要读懂题意，设计出问题指导学生审题，建立正确的数学模型.同时，培养学生独立解决问题的能力.,=–20(x–10)2+8000.由此得到，当x=10时，ymax=8000.即每间租金为20+10×2=40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8000元.3．分将函数模型的应用例3一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示.（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.生：解答：（1）阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.（2）根据图，有这个函数的图象如图所示.实际应用用问题解决的一般步骤：理解问题简化假设数学建模解答模型检验模型评价与应用的进一步深体.巩固练习课堂练习习题1．如果一辆汽车匀速行驶，1.5h行驶路程为90km，求这辆汽车行驶路程与时间之间的函数关系，以及汽车3h所行驶的路程.习题2．已知某食品5kg价格为40元，求该食品价格与重量之间的函数关系，并求8kg食品的价格是多少元.学生练习，师生点评.1．设汽车行驶的时间为th，则汽车行驶的路程Skm与时间th之间的函数关系为S=vt.当t=1.5时，S=90，则v=60.因此所求的函数关系为S=60t，当t=3时，S=180，所以汽车3h所行驶的路程为180km.2．设食品的重量为xkg，则食品的价格y元与重量xkg之间的函数关系式为y=8x，当x=8时，y=64，所以当8kg食品的价格为64元.3．设矩形菜地与墙相对的一边长为学生动手实践、体验所学方法，从而提升解应用题的技能.,习题3．有300m长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙(设长度够用)作为一边，围成一块矩形菜地，问矩形的长、宽各为多少时，这块菜地的面积最大？习题4．某市一种出租车标价为1.20元/km，但事实上的收费标准如下：最开始4km内不管车行驶路程多少，均收费10元(即起步费)，4km后到15km之间，每公里收费1.20元，15km后每公里再加收50%，即每公里1.80元.试写出付费总数f与打车路程x之间的函数关系.xcm，则另一组对边的长为m，从而矩形菜地的面积为：当x=150时，Smax=11250.即当矩形的长为150m，宽为75m时，菜地的面积最大.4．解：所求函数的关系式为归纳小结课堂小结解决应用用问题的步骤：读题—列式—解答.学生总结，师生完善使学生养成归纳总结的好习惯.让学生初步掌握数学建模的基本过程.布置作业习题2—3B第1、3题：教材第71页“思考与讨论”.学生练习使学生巩固本节所学知识与方法.备选例题例1某游艺场每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的关系如图所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？【解析】根据题意，每天的盈利额y元与售出的门票数x张之间的函数关系是：（1）当0≤x≤400时，由3.75x=750，得x=200.（2）当400≤x≤600时，由1.25x+1000=750，得x=–200(舍去).综合（1）和（2），盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张.答：当天售出的门票数为200张时盈利额为750元.例2某个经营者把开始六个月试销A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.250.490.7611.261.51,该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A、B两种商品各多少才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字).【解析】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图：据此，可考虑用下列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y=–a(x–4)2+2(a＞0)①y=bx②把x=1，y=0.65代入①式，得0.65=–a(1–4)2+2，解得a=0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y=–0.15(x–4)2+2表示，再把x=4，y=1代入②式，得b=0.25，故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金额的函数关系可近似地用y=0.25x表示.设下月投资A种商品x万元，则投资B种商品为(12–x)万元，可获纯利润y=–0.15(x–4)2+2+0.25(12–x)=–0.15x2+0.95x+2.6，当≈3.2时，≈4.1.故下月分别投资A、B两种商品3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润4.1万元.【评析】幂函数模型的应用题经常以二次函数的形式出现，要注意y=x2变换到y=a(x–m)2+b后发生的变化.
