2006年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）)1.已知相切两圆的半径是一元二次方程ݔͳ的两个根，则这两个圆的圆心距是（）A.B.或C.D.2.为了估计湖中有多少条鱼，先从湖中捕捉ͳ条鱼做记号，然后放回湖里，经过一段时间，等带记号的鱼完全混于鱼群中之后，再捕捞第二次，鱼共ͳͳ条，有ͳ条做了记号，则估计湖里有多少条鱼（）A.ͳͳ条B.ͳͳ条C.ͳͳ条D.ͳͳͳ条3.某地ͳͳ年外贸收入为蘔亿元，ͳͳ年外贸收入达到了亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为（）A.蘔ͷݔ蘔ͷ.B＝ݔ＝C.蘔ͷݔͷ蘔.D＝ݔͷݔ＝4.如图，、、是双曲线上的三点，过这三点分别作轴的垂线，得到三个三角形，，，设它们的面积分别是、、，则（）A.B.C.D.＝＝5.在䳌䁨中，䁨ͳ，下列各式中正确的是（）A.sinsin䳌B.tantan䳌C.sincos䳌D.coscos䳌6.书包里有数学书本、英语书本、语文书本，从中任意抽取一本，则是数学书的概率是（）A.B.C.D.ͳͳ7.如图，在直角坐标系中，将矩形䳌䁨沿䳌对折，使点落在处，已知，䳌＝，则点的坐标是（）A.ͷB.ͷC.ͷD.ͷ试卷第1页，总10页
8.已知二次函数̀ݔܾݔ的图象如图所示，对称轴是，则下列结论中正确的是（）A.̀䁞ͳB.ܾͳC.ܾ̀ͳD.̀ݔܾͳ9.如图，在直角梯形䳌䁨中，䳌䳌䁨，＝，䳌䁨＝，䁨＝，为梯形的中位线，为梯形的高，则下列结论：①䳌䁨＝ͳ；②四边形䁨为菱形；③䳌䁨；④以䳌为直径的圆与䁨相切于点，其中正确结论的个数为（）A.B.C.D.10.已知＝的图象是抛物线，若抛物线不动，把轴、轴分别向上、向右平移个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（）A.＝ͷݔݔͷ＝.Dͷ＝.Cݔͷ＝.Bݔ11.若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A.香B.香C.香D.香12.在中，弦䁨与直径䳌相交于点，夹角为ͳ，且分直径为香两部分，䳌厘米，则弦䁨的长为多少厘米（）A.B.C.D.二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）)13.在函数中，自变量的取值范围是________．14.已知、是方程ͳ的两根，则ݔ的值是________．15.如图，是正方体的平面展开图，每个面上标有一个汉字组成的三个词，分别是兰州人引以自豪的“三个一”（一本书、一条河、一碗面），在正方体上与“读”字相对的面上的字是________．16.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为ܾܾ̀̀，根据这个规则，方程试卷第2页，总10页
ͷݔͳ的解为．17.一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是ͳ푚，当重物上升ͳ푚时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为________度．（假设绳索与滑轮之间没有滑动，取蘔，结果精确到）18.开口向下的抛物线ͷ푚ݔ푚ݔ的对称轴经过点ͷ，则푚________．19.已知等腰䳌䁨内接于半径为的，如果底边䳌䁨的长为，则底角的正切值为________．20.请选择一组你喜欢的̀，ܾ，的值，使二次函数̀ݔܾݔͷ̀ͳ的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，随的增大而增大；当䁞时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是________．三、解答题（共10小题，满分70分）)21.随机抽查某城市ͳ天的空气状况统计如下：污染指数ͷ染ͳͳͳͳͳ天数ͷͳ其中，染ͳ时，空气质量为优；ͳ染ͳͳ时，空气质量为良；ͳͳ染ͳ时，空气质量为轻微污染．（1）请用扇形统计图表示这ͳ天中空气质量的优、良、轻微污染的分布情况；（2）估计该城市一年（天）中有多少天空气质量达到良以上．22.小明想测量学校内一棵不可攀的树的高度，由于我法直接测量，䳌两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方法．（1）画出测量图；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）计算，䳌间的距离．23.如图，䳌是的直径，交䳌䁨的中点与，䁨．（1）求证：䳌䁨；试卷第3页，总10页
（2）求证：是的切线．24.如图，在䳌䁨中，，分别是䳌，䁨上的一点，䳌与䁨交于点，给出下列四个条件：①䳌䁨；②䳌䁨；③䳌䁨；④䳌䁨．（1）上述四个条件中，哪两个可以判定䳌䁨是等腰三角形？（2）选择第（1）题中的一种情形为条件，试说明䳌䁨是等腰三角形．25.有两个可以自由转动的均匀转盘、䳌，分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示，丁洋和王倩同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：①分别转动转盘和䳌；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为ͳ，丁洋获胜，否则，王倩获胜．（1）用列表法（或树状图）求丁洋获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．26.如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位䳌时，宽ͳ푚，水位上升푚就达到警戒线䁨，这时水面宽度为ͳ푚．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时ͳ蘔푚的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？晦27.已知一次函数晦的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点的纵坐标为．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象求出时，的取值范围．28.在的内接䳌䁨中，䳌ݔ䁨，䳌䁨，垂足为，且，设试卷第4页，总10页
的半径为，䳌的长为．（1）求关于的函数关系式；（2）当䳌的长等于多少时，的面积最大，并求出的最大面积．29.广场上有一个充满氢气的气球，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在、处，他们看气球的仰角分别是ͳ、，点与点的高度差䳌为米，水平距离䁨为米，的高度为ͳ蘔米，请问此气球有多高？（结果保留到ͳ蘔米）30.如图，已知为䳌的边上的一点，以为顶点的䁡的两边分别交射线䳌于、䁡两点，且䁡＝䳌＝（为锐角）．当䁡以点为旋转中心，边与重合的位置开始，按逆时针方向旋转（䁡保持不变）时，、䁡两点在射线䳌上同时以不同的速度向右平行移动．设＝，䁡＝ͷ䁞䁞ͳ，的面积为．若sin，＝．（1）当䁡旋转ͳ（即＝ͳ）时，求点䁡移动的距离；（2）求证：䁡䁡；（3）写出与之间的关系式；（4）试写出随变化的函数关系式，并确定的取值范围．试卷第5页，总10页
参考答案与试题解析2006年甘肃省兰州市中考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1.B2.D3.A4.D5.C6.C7.A8.D9.B10.B11.D12.B二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）13.䁞14.15.面16.或17.18.19.或20.ݔ三、解答题（共10小题，满分70分）21.解：（1）设ͳ天中空气质量分别为优、良、轻微污染的扇形图的圆心角依次为，，，ͳ，ͳͳ，ͳͳͳ，ͳ则扇形统计图如图所示：（2）一年中空气质量达到良以上的天数约为：ݔ蘔天．ͳͳ试卷第6页，总10页
22.解：（1）如图：（2）利用阳光下的影子来测量得树影长䳌̀，一名同学影长为ܾ，学生高为䁨．（3）同时刻物高与影长成比例．䳌∴，䳌䁨ܾ̀即，䳌̀∴䳌．ܾ23.证明：（1）∵䳌是的直径，∴䳌ͳ．又∵䳌䁨，∴䳌䁨，䳌䁨．∵䁨䳌ͳ，∴䳌䁨．（2）连接，∵䳌，䳌䁨，∴䁨．又∵䁨，∴．所以是的切线．24.解：（1）①③，①④，②③和②④；（2）以①④为条件，理由：∵䳌䁨，∴䳌䁨䁨䳌．又∵䳌䁨，∴䳌ݔ䁨䁨䳌ݔ䁨䳌，即䳌䁨䁨䳌，∴䳌䁨，∴䳌䁨是等腰三角形．25.每次游戏可能出现的所有结果列表如下：ͳ╲䳌ͳͳ试卷第7页，总10页
ͳͳ根据表格，共有种可能的结果，其中和为ͳ的有三种：ͷͳͳ，ͷ，ͷ∴丁洋获胜的概率为这个游戏不公平．∵丁洋获胜的概率为，王倩获胜的概率为，∵，∴游戏对双方不公平．26.解：（1）设所求抛物线的解析式为：̀ͷ̀ͳ，由䁨ͳ푚，可设ͷܾ，由䳌ͳ푚，水位上升푚就达到警戒线䁨，则䳌ͷͳܾ，把、䳌的坐标分别代入̀得：ܾ̀，ͳͳܾ̀̀解得．ܾ∴；（2）∵ܾ，∴拱桥顶到䁨的距离为푚，∴（小时）．ͳ蘔所以再持续小时到达拱桥顶．27.解：（1）由已知，设交点ͷ푚푚晦则有晦푚푚∴晦∴ݔͳ，；ݔͳ（2）由方程组，得ݔͳݔͳ试卷第8页，总10页
，由图象，可知当或ͳ时，．28.解：（1）作直径，连接䁨，如图所示，则䁨ͳ，∵䳌䁨，∴䁨䳌ͳ度．又䳌，∴䳌䁨．䳌∴，即．䁨整理得ͷݔ．（2）由（1）知ͷݔ，则当时，取得最大值，最大值为．∴的最大面积为．29.解：设米，∵䳌，∴䳌䳌ݔ，∴䳌ݔݔݔ䁨ݔ，在中，tanͳ，∴ͷݔtanͳ，ͷݔ，ͷݔ蘔，∴气球的高度为ݔݔ蘔ݔ䳌ݔͳ蘔蘔米．30.∵sin且为锐角，∴＝ͳ，即䳌＝䁡＝ͳ．∴初始状态时，䁡为等边三角形，∴䁡＝＝，当旋转到时，点䁡移动到䁡，∵＝ͳ，䳌＝䁡＝ͳ，∴䁡＝ͳ．在中，䁡＝＝＝，∴䁡䁡＝䁡䁡＝＝，∴点䁡移动的距离为；证明：在䁡和䁡中，䁡＝䁡＝ͳ，䁡＝䁡，∴䁡䁡；∵䁡＝䁡＝，∴䁡＝䁡䁡＝ͷ＝．过点作䳌，垂足为．试卷第9页，总10页
在中，＝cosͳ＝，＝sinͳ，∴䁡＝䁡＝．在䁡中，䁡＝ݔ＝ͷݔͷ＝䁡ݔ．∴＝ݔ，即；在中，边上的高为，∴．∵䁞ͳ，∴䁞ͳ，即．又∵䁞ͳ，∴的取值范围是ͳ．∵是的正比例函数，且比例系数䁞ͳ，∴ͳ，即ͳ．试卷第10页，总10页
