2019年上海市高考数学试卷一、填空题.)th1.计算：lim________．t2.设，hthth䁕是纯虚数，其中是虚数单位，则＝________．h3.若，则t________．4.已知香䁨的内角、香、䁨所对的边分别是、、，若hththh＝，则角䁨的大小是________.h5.设常数，若t的二项展开式中项的系数为，则＝________．6.方程t的实数解为________．7.在极坐标系中，曲线cost与cos的公共点到极点的距离为________．8.盒子中装有编号为，h，，，，，，，的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是________（结果用最简分数表示）．9.设香是椭圆Γ的长轴，点䁨在Γ上，且䁨香，若香＝，香䁨h，则Γ的两个焦点之间的距离为________.10.设非零常数是等差数列，h，，，的公差，随机变量等可能地取值，h，，，，则方差________.h11.若coscostsinsin，sinhtsinh，则sint________.hh12.设为实常数，䁕是定义在上的奇函数，当븀时，䁕tt．若䁕t对一切成立，则的取值范围为__________.13.在‸平面上，将两个半圆弧䁕hth䁕和䁕hth䁕，两条直线和围成的封闭图形记为，如图中阴影部分，记绕轴旋转一周而成的几何体为．过䁪䁕䁕作的水平截面，所得截面积为ht．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为________．试卷第1页，总7页
14.对区间上有定义的函数䁕，记䁕＝＝䁕䁪．已知定义域为䁪的函数＝䁕有反函数＝䁕，且䁪䁕）＝䁪h䁕䁪h䁪䁕＝䁪䁕．若方程䁕＝有解，则＝________．二、选择题.)15.设常数，集合䁕䁕，香，若香，则的取值范围为䁕A.䁪h䁕B.䁪hC.h䁪t䁕D.h䁪t䁕16.钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的䁕A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.在数列中，＝h，若一个行h列的矩阵的第行第列的元素＝tt，＝䁪h,…,；＝䁪h,…,h䁕，则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（）A.B.hC.D.18.在边长为的正六边形香䁨쳌中，记以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、h、、、；以为起点，其余顶点为终点的向量分别为、h、、、．若、分别为tt䁕tt䁕的最小值、最大值，其中䁪䁪䁪h䁪䁪䁪，䁪䁪䁪h䁪䁪䁪，则、满足（）A.＝，㐠B.븀，㐠C.븀，＝D.븀，븀三、解答题.)19.如图，在长方体香䁨香䁨中，香h，，，证明直线香䁨平行于平面䁨，并求直线香䁨到平面䁨的距离．20.甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是t䁕元．（1）要使生产该产品h小时获得的利润不低于元，求的取值范围；（2）要使生产千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．21.已知函数hsin，其中常数㐠.h䁕若在䁪上的最大值为h，求的取值范围；试卷第2页，总7页
h䁕令h，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，区间䁪䁪且븀）满足：在䁪上至少含有个零点，在所有满足上述条件的䁪中，求的最小值．h22.如图，已知双曲线䁨h，曲线䁨h＝t，是平面内一点，若存在h过点的直线与䁨，䁨h都有公共点，则称为“䁨䁨h型点”（1）在正确证明䁨的左焦点是“䁨䁨h型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线＝与䁨h有公共点，求证㐠，进而证明原点不是“䁨䁨h型点”；hh（3）求证：圆t内的点都不是“䁨䁨h型点”.h23.给定常数㐠，定义函数䁕＝httt．数列，h，，…满足＝䁕，．t（1）若＝h，求h及；（2）求证：对任意，；t（3）是否存在，使得，h，…，，…成等差数列？若存在，求出所有这样的；若不存在，说明理由．试卷第3页，总7页
参考答案与试题解析2019年上海市高考数学试卷一、填空题.1.2.h3.t4.arccos5.h6.logt7.h8.9.10.h11.sint䁕12.13.hht14.h二、选择题.15.B16.B17.A18.D三、解答题.19.证明：因为香䁨香䁨为长方体，故香㘶㘶䁨，香䁨，故香䁨为平行四边形，故香䁨㘶㘶，显然香不在平面䁨上，于是直线香䁨平行于平面䁨；直线香䁨到平面䁨的距离即为点香到平面䁨的距离设为考虑三棱锥香䁨的体积，以香䁨为底面，可得h䁕，h而䁨中，䁨䁨，h，试卷第4页，总7页
故䁨h，h所以，，hh即直线香䁨到平面䁨的距离为．20.解：（1）生产该产品h小时获得的利润为t䁕h＝ht䁕h根据题意，ht䁕，即∴或∵，∴；（2）设利润为元，则生产千克该产品获得的利润为＝t䁕h＝tt䁕＝䁕thh∵，∴＝时，取得最大利润为元h故甲厂应以千克/小时的速度生产，可获得最大利润为元．21.解：䁕由题意知，hh,解得,所以的取值范围为䁪t䁕.h䁕䁕hsinh䁕，䁕hsinht䁕thsinht䁕t,䁕sinht䁕h或，，hh即䁕的零点间隔依次为和，故若䁕在䁪上至少含有个零点，h则的最小值为t．22.（1）解：䁨的左焦点为䁪䁕，写出的直线方程可以是以下形式：或t䁕，其中．试卷第5页，总7页
（2）证明：因为直线＝与䁨h有公共点，t所以方程组有实数解，因此＝t，得㐠．t若原点是“䁨䁨h型点”，则存在过原点的直线与䁨、䁨h都有公共点．考虑过原点与䁨h有公共点的直线＝或＝㐠䁕．显然直线＝与䁨无公共点．hh如果直线为＝㐠䁕，则由方程组hh，得h븀，矛盾．hh所以直线＝㐠䁕与䁨也无公共点．因此原点不是“䁨䁨h型点”．hh（3）证明：记圆‸t，取圆‸内的一点，设有经过的直线与䁨，䁨hh都有公共点，显然不与轴垂直，故可设＝t．若，由于圆‸夹在两组平行线＝与＝之间，因此圆‸也夹在直线＝与＝之间，从而过且以为斜率的直线与䁨h无公共点，矛盾，所以㐠．因为与䁨由公共点，t所以方程组hh有实数解，h得hh䁕hhhh＝．因为㐠，所以hh，因此＝䁕hhh䁕hhh䁕＝hthh䁕，即hhh．因为圆‸的圆心䁪䁕到直线的距离，thhhthhhh所以븀，从而㐠h，得븀，与㐠矛盾．thhhhh因此，圆t内的点不是“䁨䁨h型点”．h23.（1）解：h＝䁕＝h䁕＝hhttht＝h＝h，＝h䁕＝h䁕＝hhttht＝ht䁕th䁕＝t．tt䁪（2）证明：由已知可得䁕tt䁪븀䁪븀当时，t＝t㐠；当븀时，t＝htth䁕tt＝；当븀时，t＝h㐠h䁕＝．∴对任意，；t（3）解：假设存在，使得，h，…，，…成等差数列．由（2）及㐠，得t，即为无穷递增数列．又为等差数列，所以存在正数，当㐠时，，从而t＝䁕＝tt，由于为等差数列，试卷第6页，总7页
因此公差＝t．①当븀时，则h＝䁕＝，又h＝t＝tt，故＝tt，即＝，从而h＝，当h时，由于为递增数列，故h＝㐠，∴t＝䁕＝tt，而h＝tt，故当＝时，为无穷等差数列，符合要求；②若븀，则h＝䁕＝tt，又h＝t＝tt，∴tt＝tt，得＝，应舍去；③若，则由得到t＝䁕＝tt，从而为无穷等差数列，符合要求．综上可知：的取值范围为䁪䁪t䁕．试卷第7页，总7页
