模块卷(二)时间:110分钟 分值:140分三角函数、向量、数列一、选择题:本题共12小题每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020陕西合阳中学9月月考,4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ=( )A. B. C.- D.-答案 B 根据题图得A=2,=-=,∴T=π,∴=π,又ω>0,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ).将代入得2sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,故选B.2.(2020宁夏兴庆月考,4)已知数列{an}满足an+1=an+2n,a1=1,则a15=( )A.111 B.211 C.311 D.411答案 B 数列{an}满足an+1=an+2n,则n≥2时,an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),……,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,∴an-a1=2(1+2+3+…+n-1)(n≥2),
∴an=2(1+2+3+…+n-1)+1=2×+1=n2-n+1(n≥2).当n=1时,a1=1也符合上式,∴an=n2-n+1(n∈N*).则a15=152-15+1=211.故选B.3.(2019江西吉安期末,5)已知tan(-2019π+θ)=-2,则2sinsin=( )A.-2 B. C. D.答案 B ∵tan(-2019π+θ)=-2,∴tanθ=-2.则2sinsin=(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)=sin2θ-cos2θ+(-1)sinθcosθ====.故选B.方法总结 同角三角函数基本关系的应用技巧:(1)弦切互化:利用公式tanα=实现角α的弦切互化;(2)和(差)积转换:利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2α+cos2α=cos2α(tan2α+1)=sin2α=tan.
4.(2018吉林第一次调研,7)已知α,β为锐角,且cosα=,cos(α+β)=-,则cosβ=( )A.- B.- C. D.答案 C ∵α为锐角,cosα=,∴sinα=,∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),又∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=,故选C.5.(2019广东东莞第二次调研,8)将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象,则g(x)( )A.周期为π,最大值为1,图象关于直线x=对称,为奇函数B.周期为π,最大值为1,图象关于点对称,为奇函数C.周期为π,最大值为1,在上单调递减,为奇函数D.周期为π,最大值为1,在上单调递增,为奇函数答案 D 将函数f(x)=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)=cos=sin2x的图象,则函数g(x)的周期为π,最大值为1,在上单调递减,在上单调递增,并且为奇函数,
其图象关于直线x=+(k∈Z)对称,关于点对称,结合四个选项知选D.6.(2018陕西延安黄陵中学(重点班)第一次大检测,10)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且满足a2,2a5,3a8成等差数列,则=( )A. B. C. D.答案 C 设等比数列{an}的公比为q(q≠1),∵a2,2a5,3a8成等差数列,∴4a5=a2+3a8,即4a1q4=a1q+3a1q7,3q6-4q3+1=0,解得q3=或q3=1(舍去),∴===,故选C.7.(2018河南商丘第二次模拟,6)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),且Sn为{an}的前n项和,则( )A.an≥2n+1 B.Sn≥n2C.an≥2n-1 D.Sn≥2n-1答案 B 由题意得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,……,an-an-1≥2(n≥2),∴a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1)(n≥2),∴an-a1≥2(n-1)(n≥2),又∵a1=1,∴an≥2n-1(n≥2),又a1=1适合上式,∴an≥2n-1(n∈N*).∴a1≥1,a2≥3,a3≥5,……,an≥2n-1,∴a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,∴Sn≥=n2.故选B.
8.(2020广西桂林十八中8月月考,6)已知向量a,b满足|a|=,|b|=1,且|b+a|=2,则向量a与b的夹角的余弦值为( )A. B. C. D.答案 D 由|b+a|=2得(b+a)2=4,即a2+2a·b+b2=4.又∵|a|=,|b|=1,∴2+2a·b+1=4,解得a·b=.设向量a与b的夹角为θ,则有cosθ====,故选D.9.(2020福建莆田一中摸底,6)如图,在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若=a,=b,则=( )A.a+b B.a+bC.a+b D.a+b答案 C ∵=a,=b,∴=+=+=a+b.∵E是OD的中点,∴=,∴|DF|=|AB|,∴==(-)=×=a-b,∴=+=a+b+a-b=a+b,故选C.10.(2020湖北汉阳模拟,8)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(-)·(+-2)=0,则△ABC为( )A.直角三角形 B.一般等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形答案 B 由(-)·(+-2)=0,可知·(+)=0,设BC的中点为D,则+=2,故·=0,所以CB⊥AD,又∵D是BC的中点,∴△ABC为等腰三角形,由已知条
件得不到直角或等边关系,故△ABC为一般等腰三角形.故选B.11.(2018安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,·=,点P是△ABC所在平面内一点,则当++取得最小值时,·=( )A. B.- C.9 D.-9答案 D ∵·=||·||·cos∠ABC=||2,∴||·cos∠ABC=||=6,∴⊥,即∠BAC=,以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),x,y∈R,则++=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∵x,y∈R,∴当x=2,y=1时,++取得最小值,此时·=(2,1)·(-6,3)=-9,故选D.12.(2019浙江金丽衢联考,10)数列{an}满足:a1=1,an+1=an+,则a2018的值所在区间为( )A.(0,100) B.(100,200)C.(200,300) D.(300,+∞)答案 A 由an+1=an+,得an+1-an=.又a1=1,所以数列{an}是递增的,即an≥1.因为
=++2,即-=+2≤3,所以-≤3,-≤3,-≤3,……,-≤3,上面各式相加,得-≤3×2017,所以a2018≤<=100,故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020河南、河北两省9月联考,14)若sin=,α∈(0,π),则tanα= . 答案 -或-解析 ∵sin=,∴(sinα-cosα)=,即sinα-cosα=①,两边平方得1-2sinα·cosα=,∴2sinα·cosα=-.∴(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα=,∴sinα+cosα=±②,由①②解得或∴tanα==-或-.14.(2020山西康杰中学等四校9月联考,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为△ABC的面积,sin(A+C)=,且A,B,C成等差数列,则C的大小为 . 答案
解析 在△ABC中,由A,B,C成等差数列,可得2B=A+C,又知A+B+C=π,∴B=.由sin(A+C)=得sinB=,又sinB≠0,则b2-c2=ac①.∵B=,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac②.由①②得a=2c,b=c,∴cosC===.又∵C∈(0,π),∴C=.15.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为 . 答案 解析 解法一:由题意可知,=+,=-+.因为·=1,所以(+)·=1,即+·-=1.①因为||=1,∠BAD=60°,所以·=||,因此①式可化为1+||-||2=1.解得||=0(舍去)或||=,所以AB的长为.
解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D作DM⊥AB于点M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=,∴D.设||=m(m>0),则B(m,0),C,因为E是CD的中点,所以E.所以=,=.由·=1可得+=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或m=.故AB的长为.16.(2018广东佛山教学质量检测(二),16)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=3-,n∈N*,则a1+a2+…+an= . 答案 1-解析 因为a1+3a2+…+(2n-1)an=3-,所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1=3-(n≥2),
两式相减得(2n-1)an=(n≥2),∴an=(n≥2).当n=1时,a1=3-=,适合上式,∴an=(n∈N*).因此a1+a2+…+an==1-.三、解答题:共60分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(12分)(2020豫北六校对抗赛,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若(a-b)⊥(a+λb),求实数λ的值.解析 (1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=43,|a|=4,|b|=3,∴64-8×4×3cosθ+27=43,∴cosθ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.(2)由(1)得|a+b|====.(3)∵(a-b)⊥(a+λb),∴(a-b)·(a+λb)=0,∴(a-b)·(a+λb)=a2+λa·b-a·b-λb2=0,即42+λ×4×3×-4×3×-9λ=0,∴3λ=10,∴λ=.18.(12分)(2019安徽合肥第一次教学质量检测,17)已知函数f(x)=cos2x+sin.(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若α∈,f(α)=,求cos2α.解析 (1)∵f(x)=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x+cos2x=sin,∴函数f(x)的最小正周期T=π.(2)由f(α)=可得,sin=.∵α∈,∴2α+∈.又∵0<sin=<,∴2α+∈,∴cos=-,∴cos2α=cos=coscos+sinsin=.19.(12分)(2020宁夏银川二中9月月考,17)已知向量m=,n=,记f(x)=m·n.(1)若f(x)=1,求cos的值;(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范围.解析 (1)f(x)=m·n=sincos+cos2=sin+cos+=sin+,
由f(x)=1,得sin=,所以cos=1-2sin2=.(2)因为(2a-c)cosB=bcosC,所以由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB=sin(B+C),因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,所以cosB=,又0<B<,所以B=,则A+C=π,A=π-C,又0<C<,0<A<,则<A<,又因为f(2A)=sin+,<A+<,所以<sin≤1,所以f(2A)的取值范围是.20.(12分)(2018福建福州八校联考,21)数列{an}中,a1=3,an+1=2an+2(n∈N*).(1)求证:{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,Sn=b1+b2+b3+…+bn,证明:对任意n∈N*,都有≤Sn<.解析 (1)由an+1=2an+2(n∈N*),得an+1+2=2(an+2),又∵a1=3,∴a1+2=5,∴{an+2}是首项为5,公比为2的等比数列,∴an+2=5×2n-1,
∴an=5×2n-1-2.(2)证明:由(1)可得bn=,∴Sn=,①Sn=,②①-②化简可得Sn===.∴Sn<,又∵Sn+1-Sn=bn+1=>0,∴数列{Sn}单调递增,则Sn≥S1=,∴对任意n∈N*,都有≤Sn<.21.(12分)(2019浙江绍兴数学调测,20)已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a5+1,a23+1成等比数列.数列{bn}满足:b1+b2+…+bn=2n+1-2.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)令数列{cn}的前n项和为Tn,且cn=若对n∈N*,T2n≥T2k恒成立,求正整数k的值.解析 (1)由已知得=a1(a23+1),即=a1·(a1+45),所以a1=3,所以an=2n+1.当n=1时,b1=2,当n≥2时,bn=2n+1-2n=2n,又b1=2适合上式,所以bn=2n(n∈N*).(2)因为T2n=++…+-=-=-+,
所以T2n+2-T2n===.设dn=,则dn+1-dn=-=<0恒成立,因此d1>d2>d3>d4>…,由于d1>1,d2>1,d3>1,d4<1,……,因此T4-T2<0,T6-T4<0,T8-T6<0,T10-T8>0,所以{T2n}中T8最小,所以k的值为4.
