专题突破练1 常考小题点过关检测一、单项选择题1.(2021·山东潍坊一模)已知集合A={-2,0},B={x|x2-2x=0},则下列结论正确的是( ) A.A=BB.A∩B={0}C.A∪B=AD.A⊆B2.(2021·广东广州二模)已知集合P={x|-3≤x≤1},Q={y|y=x2+2x},则P∪(∁RQ)=( )A.[-3,-1)B.[-1,1]C.(-∞,-1]D.(-∞,1]3.(2021·湖南娄底高三模拟)若非空集合A,B,C满足A∩B=C,且B不是A的子集,则“x∈A”是“x∈C”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2021·福建福州一中模拟)在复平面内,复数z=a+bi(a∈R,b∈R)对应向量(O为坐标原点),设||=r,以x轴的非负半轴为始边,射线OZ为终边的角为θ,则z=r(cosθ+isinθ).法国数学家棣莫佛发现棣莫佛定理:zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+i)10=( )A.1024-104iB.-1024+1024iC.512-512iD.-512+512i5.(2021·湖南郴州高三模拟)中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育;“乐”主要指美育;“射”和“御”就是体育和劳动;“书”指各种历史文化知识;“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有( )A.408种B.120种C.156种D.240种6.(2021·河北唐山一模)记展开式的偶数项之和为P,则P的最小值为( )A.1B.2C.3D.47.(2021·江苏南京三模)在正方形ABCD中,O为两条对角线的交点,E为边BC上的动点.若=λ+μ(λ>0,μ>0),则的最小值为( )A.2B.5C.D.8.(2021·山东日照一中月考)已知f(x)=x2+4x+1+a,且对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,则实数a的取值范围为( )A.B.[2,+∞)C.[-1,+∞)D.[3,+∞)二、多项选择题9.(2021·河北张家口一模)如果平面向量a=(2,-4),b=(-6,12),那么下列结论正确的是( )A.|b|=3|a|B.a∥bC.a与b的夹角为30°D.a·b=-6010.(2021·河北唐山二模)已知a>b>0,且ab=4,则( )A.2a-b>1B.log2a-log2b>1C.2a+2b>8D.log2a·log2b<111.(2021·山东临沂模拟)下列四个条件中,能成为x>y的充分不必要条件的是( )A.xc2>yc2B.<0C.|x|>|y|D.lnx>lny12.
(2021·广东茂名模拟)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为得意的发现,于是留下遗言:他死后,墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图,设圆柱的体积与球的体积之比为m,圆柱的表面积与球的表面积之比为n,若f(x)=,则( )A.f(x)的展开式中的常数项是56B.f(x)的展开式中的各项系数之和为0C.f(x)的展开式中的二项式系数最大值是70D.f(i)=-16,其中i为虚数单位三、填空题13.(2021·广东深圳红岭中学高三月考)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=1-i(i为虚数单位),则|+z2|= . 14.(2021·上海嘉定二模)将的二项展开式的各项重新随机排列,则有理项互不相邻的概率为 . 15.(2021·湖南长郡中学高三月考)算盘是中国传统的计算工具,其形长方,周为木框,内贯直柱,俗称“档”,档中横以梁,梁上两珠,每珠作数五,梁下五珠,每珠作数一.算珠梁上部分叫上珠,梁下部分叫下珠.例如,在十位档拨一颗上珠和两颗下珠,个位档拨四颗下珠,则表示数字74,若在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠,再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,则所表示的数字大于300的概率为 . 16.(2021·广东佛山高三二模)在△ABC中,点M,N是线段BC上的两点,||=||=||=1,,则= ,||的取值范围是 . 素养升级练答案与解析专题突破练专题突破练1 常考小题点过关检测1.B 解析:由题设得B={0,2},所以A≠B,A∩B={0},A∪B≠A,A不是B的子集.2.D 解析:因为Q={y|y=x2+2x}={y|y=(x+1)2-1}={y|y≥-1},所以∁RQ={y|y<-1},又P={x|-3≤x≤1},所以P∪(∁RQ)={x|x≤1}.3.B 解析:因为A∩B=C,所以若x∈C,则x∈A是真命题;若x∈A,因为B不是A的子集,所以x∈B不一定成立.又A∩B∈C,所以x∈C不一定成立,所以“x∈A”是“x∈C”的必要不充分条件.
4.D 解析:由题意,得(-1+i)10=210cos+isin10=1024cos+isin=1024=-512+512i.5.A 解析:根据题意,首先不做任何考虑直接全排列则有=720(种),当“乐”排在第一节时有=120(种),当“射”和“御”两门课程相邻时有=240(种),当“乐”排在第一节,且“射”和“御”两门课程相邻时有=48(种),则满足“乐”不排在第一节,“射”和“御”两门课程不相邻的排法有720-120-240+48=408(种).6.B 解析:由已知得x≠0,则x2>0,所以P=x3x=2x2+2=2,当且仅当2x2=即x=±时等号成立.7.C 解析:如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系.设正方形的边长为1,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),于是可得O设点E的坐标为(1,m)(0≤m≤1),则由=+(λ>0,μ>0),可得(1,m)=λ(1,1)+(λ>0,μ>0),所以1=λ+(λ>0,μ>0),则=2++2,当且仅当即λ=μ=时取等号,此时的最小值为经检验,此时m=[0,1]符合题意.8.B 解析:由题意,函数f(x)=x2+4x+1+a,令t=f(x),则t=x2+4x+1+a=(x+2)2-3+a≥a-3,又对任意x∈R,f(f(x))≥0恒成立,即f(t)≥0对任意t≥a-3恒成立,当a-3≤-2时,即a≤1时,f(t)min=f(-2)=a-3≥0,解得a≥3,此时无解;当a-3>-2时,即a>1时,f(t)min=f(a-3)=a2-a-2≥0,解得a≥2或a≤-1,所以a≥2.综上可得,实数a的取值范围为[2,+∞).9.ABD 解析:因为a=(2,-4),b=(-6,12),所以b=-3a.所以|b|=3|a|,a∥b,a与b的夹角为180°,a·b=2×(-6)+(-4)×12=-60,故选项A,B,D正确,选项C错误.10.ACD 解析:因为a>b>0,且ab=4,对A,a-b>0,所以2a-b>20=1,故A正确;对B,取a=,b=,则log2a-log2b=log2=log2<log22=1,故B错误;对C,2a+2b≥2=2,当且仅当a=b时取等号,又因为a+b≥2=4,当且仅当a=b=2时取等号,所以2a+2b≥22=8,当且仅当a=b=2时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故C正确;对D,当a>1>b>0时,log2a>0,log2b<0,所以log2a·log2b<1;当a>b>1时,log2a>0,log2b>0,所以log2a·log2b=1,当且仅当a=b时取等号,因为a>b>0,所以不能取等号,故D正确.11.ABD 解析:对于A选项:若xc2>yc2,则c2≠0,于是x>y,而当x>y,c=0时xc2=yc2,所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件,故A符合题意;
对于B选项:由<0可得y<x<0,即能推出x>y;但x>y不能推出<0(因为x,y的正负不确定),所以<0”是“x>y”的充分不必要条件,故B符合题意;对于C选项:由|x|>|y|可得x2>y2,则(x+y)(x-y)>0,不能推出x>y;由x>y也不能推出|x|>|y|(如x=1,y=-2),所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件,故C不符合题意;对于D选项:若lnx>lny,则x>y,而由x>y不能推出lnx>lny,所以“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件.故选项D符合题意.12.BC 解析:设内切球的半径为r(r>0),则圆柱的高为2r.于是m=,n=,所以=1,所以f(x)=对于A,f(x)展开式通项为Tr+1=x24-3r=(-1)rx24-4r,令24-4r=0,解得r=6,所以f(x)展开式中的常数项为(-1)6=28,A错误;对于B,f(1)=0,即f(x)展开式的各项系数之和为0,B正确;对于C,f(x)展开式中二项式系数最大值为=70,C正确;对于D,f(i)==(-i+i)8=0,D错误.13 解析:因为复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z1=1-i,所以z2=-1-i,所以|+z2|=|(1-i)2+(-1-i)|=|-1-3i|=14 解析:的展开式的通项为Tr+1=x7-r·r=,当r=0,2,4,6时,对应的项为有理项,一共4项,当r=1,3,5,7时,对应的项为无理项,一共4项,要使得有理项互不相邻,采用插空法,先把无理项排好,再把有理项插到无理项的5个空档中,共有=2880种情况,全部的情况有=40320种,故所求概率P=15 解析:由题意,在个、十、百、千位档中随机选择一档拨一颗下珠,再随机选择两个不同档位各拨一颗上珠,共有=24(种),①当在个、十位档中随机选择一档拨一颗下珠,再从个、十位档中各拨一颗上珠时,得到的数字不大于300,有=2(种);②当在百位档中拨一颗下珠,再从个、十位档中各拨一颗上珠时,得到的数字不大于300,有=1(种).所以所拨数字大于300的概率为P=1-16 ,1 解析:由题意,()==||2=1,,=1-设的夹角为θ,则=||||·cosθ=||·cosθ,∴||=,由题意,||=||=||=1,则M为△ABC外接圆的圆心,则∠BAC=∵点N在线段BC上,∴①假设点N与点M重合,则||=||=1,与||=矛盾,∴cosθ<1.②假设点N与点B重合,则=||||·cos<>=cos<>,∴cos∠BMA=,∴∠BMA=,∴∠BAM=,即cosθ=③假设点N与点C重合,
则=||||·cos<>=cos<>,此时cosθ=综上,cosθ<1,<||≤1.故||的取值范围为,1.
