直线与圆锥曲线1．直线与圆锥曲线的位置关系1．若直线与曲线交于不同的两点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为表示双曲线的右支，由消去得，整理得，设直线与曲线的两交点为，，其中，，则，解得，又，解得，综上：，故选D．2．设双曲线与直线相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B19
【解析】，所以，，，故选B．3．（多选）已知双曲线，过其右焦点F的直线l与双曲线交于A，B两个不同的点，则下列判断正确的为（）A．的最小值为B．以F为焦点的抛物线的标准方程为C．满足的直线有3条D．若A，B同在双曲线的右支上，则直线l的斜率【答案】BD【解析】选项A．当直线l的斜率为0时，A，B两点分别为双曲线的顶点，则又，故选项A不正确；选项B．，则以F为焦点的抛物线的标准方程为，故选项B正确；选项C．当A，B两点同在双曲线的右支时（通经为最短弦），则，此时无满足条件的直线；当A，B两点分别在双曲线一支上时（实轴为最短弦），则，此时无满足条件的直线，19
故选项C不正确；选项D．过右焦点F分别作两渐近线的平行线，如图，将绕焦点沿逆时针方向旋转到与重合的过程中，直线与双曲线的右支有两个焦点，此时直线l的斜率或，故选项D正确，故选BD．4．已知在平面直角坐标系中，直线既是抛物线的切线，又是圆的切线，则_______．【答案】【解析】联立与，可得，因为直线与抛物线相切，故，即，因为直线与圆相切，故可得圆心到直线的距离，则，解得（舍）或，故答案为．5．已知斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为y轴上一点且满足|MA|=|MB|，则点M的纵坐标的取值范围是___________．【答案】19
【解析】设直线的方程为，由消去并化简得，设，，，，解得．，．由于，所以是垂直平分线与轴的交点，垂直平分线的方程为，令，得，由于，所以，也即的纵坐标的取值范围是，故答案为．6．若线段与椭圆没有交点，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】线段与椭圆没有交点，线段在椭圆的内部或外部，线段在椭圆的内部时，，；线段19
在椭圆的外部时，线段包含了所在直线在第一象限的部分，而椭圆的中心是原点，因此线段所在直线与椭圆无公共点，代入可得，，，，综上所述，或，故答案为或．7．已知椭圆的离心率，长轴的左右端点分别为，．（1）求椭圆的方程；（2）设动直线与曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，求证：以为直径的圆过定点．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）椭圆长轴端点在轴上，可设椭圆方程为，由题意可得，解得，椭圆的方程为．（2）由，得，曲线与直线只有一个公共点，，即，设，则，，；19
由，得，即，，，，，即，以为直径的圆恒过定点．8．已知中心为坐标原点，关于坐标轴对称的椭圆经过点，．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过椭圆的左焦点交椭圆于两点，若，求直线的方程．【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线的方程为或．【解析】（1）设椭圆的方程为，，在椭圆上，，，椭圆的方程为．（2）由（1）可知：椭圆的左焦点，设直线的方程为，由，联立得，直线交椭圆于两点，，设，，，19
又，，，，，，，，直线的方程为，即或．2．与圆锥曲线有关的弦长面积问题1．已知双曲线的左､右焦点分别为，，一条渐近线为，过点且与平行的直线交双曲线C于点M，若，则渐近线的方程为___________．【答案】【解析】令双曲线的半焦距为c，则，由双曲线对称性知，不妨令直线的方程为，则过点且与平行的直线的方程为，由消去y并整理得，解得点M的横坐标为，于是得，，由双曲线定义知，因此有，即，所以渐近线的方程为，故答案为．19
2．O为坐标原点，F为抛物线的焦点，P为C上一点，若，则的面积为______．【答案】【解析】由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，由，设，则，，所以，即点的坐标为，则的面积为．故答案为．3．设抛物线的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过弦AB的中点M作E的准线的垂线，与抛物线E交于点P，若，则______．【答案】14【解析】抛物线方程为，，抛物线焦点为，准线为，设，，由知，直线的斜率存在且不为0，如图，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，19
过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，，得，，得，，，解得，，，故答案为14．4．抛物线的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，P为准线上一点，线段PF与抛物线交于M点，若是斜边长为的等腰直角三角形，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是斜边长为的等腰直角三角形，∴，过M作MN垂直准线于N点，则，∴，即，∴，19
故选D．5．倾斜角为135°的直线与抛物线相切，分别与轴、轴交于、两点，过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解析】由题可设直线的方程，由，得，∴，解得，∴，令，得；令，得，即，∴过，两点的最小圆即以，为直径的圆，其圆心为，半径为，方程为，又抛物线的准线为，∴过，两点的最小圆截抛物线的准线所得的弦长为，故选B．6．过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，且．若（其中），则t的值为（）A．B．C．2D．3【答案】D【解析】抛物线的焦点，依题意，直线AB不垂直于坐标轴，设直线，由消去y并整理得，而，设，则有，19
又，即，因，且，即，则有，解得，又，于是得，，所以t的值为3，故选D．7．已知，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，由题意知，直线的斜率为，则直线的方程为，∴，化简整理得，即，∴或（舍去），即，∴，，设的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接，，，则由，得，∴，得，（利用等面积法求内切圆的半径）故的内切圆的面积为，故选B．19
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于其中一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设双曲线的左焦点、右焦点，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，由，可得，即，设，，可得，即，整理可得，即，由双曲线的定义可得，所以，19
设直线的倾斜角为，在中，，，，所以，所以，所以，整理可得，解得或（舍），所以双曲线的离心率为，故选B．9．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，椭圆的右焦点到直线的距离是4．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆的上顶点的直线与该椭圆交于另一点，当弦的长度最大时，求直线的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因为椭圆的右焦点到直线的距离是4，∴，∴，又因为离心率，所以，，∴椭圆方程为．（2）当直线的斜率不存在时，；当直线的斜率存在时：设直线的方程为，19
联立，得，∴，，∴，令，∴，∴时，，取得最大值，即时，最大为18，即最大为，∴直线的方程为或．10．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合．（1）求抛物线的方程；（2）过点作斜率不为0的直线交抛物线于，两点，过，作的垂线分别与轴交于，，求四边形面积的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：双曲线方程化为标准方程是，其焦点坐标为，，因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以，，，故抛物线的方程为．（2）设直线，代入抛物线方程得，19
设点，，则，，直线，所以点，同理可得，所以四边形的面积，由抛物线的对称性，只需考虑的情形，则，所以，令，得，当时，；当时，，所以当时，四边形的面积最小，最小值为．11．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为，设圆心的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．【答案】（1）；（2）12，．【解析】（1）解：设动圆圆心，则，化简整理得，故曲线的轨迹方程为．（2）解：设直线方程为，，19
由消去得，所以，，，，，，，，当且仅当，即（满足）时，|AB|取得最大值12，此时，，直线AB方程为．12．已知椭圆的焦距为，点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且线段AB被直线OM平分，求（O为坐标原点）面积的最大值．【答案】（1）；（2）4．【解析】（1）由题意知，解得，所以椭圆C的方程为．（2）因为点M的坐标为，所以直线OM的方程为．19
设，，AB的中点，则．因为A，B两点都在椭圆C上，所以，两式相减可得，则．所以可设直线l的方程为，联立，整理得，则，解得，，，所以．原点O到直线l的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以面积的最大值为4．13．已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且与轴垂直．19
（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与交于、两点，点，且的面积是面积的2倍，求直线的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：因为与轴垂直，所以，，且，则，即，所以，故的方程为．（2）解：由题意，得，当与轴重合时，，，从而面积是面积的3倍，此时不适合题意；当与轴不重合时，设直线的方程为，，，联立，得，由题意，得，且，，由的面积是面积的2倍，得，所以，所以，，即，解得，所以直线的方程为．14．已知椭圆的焦距为4，点在G上．（1）求椭圆G的方程；19
（2）过椭圆G右焦点F的直线l与椭圆G交于M，N两点，O为坐标原点，若，求直线l的方程．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）解：椭圆的焦距是4，所以焦点坐标是，，因为点在G上，所以，所以，，所以椭圆G的方程是．（2）解：显然直线l不垂直于x轴，可设l的方程为，，，将直线l的方程代入椭圆G的方程，得，则，．因为，所以，则，即，由，得，．所以，解得，即，所以直线l的方程为．19
