2021年天津市中考中考数学试卷

2021年天津市中考中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　　A．B．2C．D．152．（3分）（2021•天津）的值等于　　A．B．C．1D．23．（3分）（2021•天津）据2021年5月12日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为　　A．B．C．D．4．（3分）（2021•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　A．B．C．D．5．（3分）（2021•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是　　A．B．第35页（共35页）\nC．D．6．（3分）（2021•天津）估计的值在　　A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间7．（3分）（2021•天津）方程组的解是　　A．B．C．D．8．（3分）（2021•天津）如图，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是　　A．B．C．D．9．（3分）（2021•天津）计算的结果是　　A．3B．C．1D．10．（3分）（2021•天津）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　A．B．C．D．第35页（共35页）\n11．（3分）（2021•天津）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，在同一条直线上时，下列结论一定正确的是　　A．B．C．D．12．（3分）（2021•天津）已知抛物线，，是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是　　A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　　．14．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　　．15．（3分）（2021•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．16．（3分）（2021•天津）将直线向下平移2第35页（共35页）\n个单位长度，平移后直线的解析式为　　．17．（3分）（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为　　．18．（3分）（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于　　；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　　．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2021•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　　；（Ⅱ）解不等式②，得　　；第35页（共35页）\n（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．20．（8分）（2021•天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为　　，图①中的值为　　；（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．21．（10分）（2021•天津）已知内接于，，，点是上一点．（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；（Ⅱ）如图②，若，连接，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小．第35页（共35页）\n22．（10分）（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔的正南方向，距离灯塔257海里的处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔的南偏东方向上，同时位于处的北偏东方向上的处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）参考数据：，取1.73．23．（10分）（2021•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．第35页（共35页）\n已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学校的时间0.10.50.813离学校的距离2　　　　12　　（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为　　；②李华在陈列馆参观学习的时间为　　；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为　　；④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为　　．（Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式．24．（10分）（2021•天津）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点．（Ⅰ）如图①，求点的坐标；（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．①如图②，当点在轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，第35页（共35页）\n与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．25．（10分）（2021•天津）已知抛物线，为常数，经过点，顶点为．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点．当为何值时，的最小值为，并求此时点，的坐标．第35页（共35页）\n2021年天津市中考中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　　A．B．2C．D．15【分析】根据有理数的乘法法则计算可得．【解答】解：，故选：．【点评】本题主要考查有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．2．（3分）（2021•天津）的值等于　　A．B．C．1D．2【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：．故选：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．3．（3分）（2021•天津）据2021年5月12第35页（共35页）\n日《天津日报》报道，第七次全国人口普查数据公布，普查结果显示，全国人口共141178万人．将141178用科学记数法表示应为　　A．B．C．D．【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．【解答】解：．故选：．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．4．（3分）（2021•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是　　A．B．C．D．【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【解答】解：．是轴对称图形，故此选项符合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；．不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．第35页（共35页）\n5．（3分）（2021•天津）如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是　　A．B．C．D．【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【解答】解：从正面看，从左到右有三列，每列的小正方形的个数分别为1、2、2．故选：．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．6．（3分）（2021•天津）估计的值在　　A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】本题需先根据的整数部分是多少，即可求出它的范围．【解答】解：，的值在4和5之间．故选：．【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，在解题时确定无理数的整数部分即可解决问题．第35页（共35页）\n7．（3分）（2021•天津）方程组的解是　　A．B．C．D．【分析】可以用代入消元法解二元一次方程组或者用加减消元法解二元一次方程组．【解答】解：由②①，得：，，把代入①式，得：，解得：，所以，原方程组的解为．故选：．【点评】本题主要考查了学生对解方程组方法的掌握情况．用代入法解方程组的时候建议选择系数绝对值最小的项转化，再代入求解；用加减消元不要急着加减，先观察消哪一个未知数最方便，解完方程组之后，一定要进行最后一步，写解．注意，①算完之后最好把得出的解代入原方程组验证；②对于选择题来说，实在不会解方程组的同学，可以把选项中的解代入原方程组，一一验证也可得出正确的答案．8．（3分）（2021•天津）如图，的顶点，，的坐标分别是，，，则顶点的坐标是　　第35页（共35页）\nA．B．C．D．【分析】首先根据、两点的坐标确定线段的长，然后根据点的坐标向右平移线段的长度即可求得点的坐标．【解答】解：，，，四边形是平行四边形，,点的坐标为，点的坐标为，故选：．【点评】考查了平行四边形的性质及坐标与图形性质的知识，解题的关键是求得线段的长，难度不大．9．（3分）（2021•天津）计算的结果是　　A．3B．C．1D．【分析】根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．【解答】解：第35页（共35页）\n，故选：．【点评】本题考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．10．（3分）（2021•天津）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　A．B．C．D．【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论．【解答】解：反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．，，点在第二象限，点，在第四象限，．故选：．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．11．（3分）（2021•天津）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．当点，，第35页（共35页）\n在同一条直线上时，下列结论一定正确的是　　A．B．C．D．【分析】由旋转的性质得出，，则可得出结论．【解答】解：由旋转的性质得出，，点，，在同一条直线上，，为等边三角形，，，，故选：．【点评】本题考查了旋转的性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．12．（3分）（2021•天津）已知抛物线，，是常数，经过点，，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于的方程有两个不等的实数根；③．第35页（共35页）\n其中，正确结论的个数是　　A．0B．1C．2D．3【分析】①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②将，代入方程，根据根的判别式即可判断；③将，代入，求解后即可判断．【解答】解：①抛物线，，是常数，经过点，，，，，当时，与其对应的函数值．，，解得：，，,，故①正确；②，，，即，△，，△，关于的方程有两个不等的实数根，故②正确；第35页（共35页）\n③，，，，，．故③正确；故选：．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式；熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析三条结论的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　　．【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．14．（3分）（2021•天津）计算的结果等于　9　．【分析】利用平方差公式计算．【解答】解：原式．第35页（共35页）\n故答案为9．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（3分）（2021•天津）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：袋子中共有7个球，其中红球有3个，从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率（A）．16．（3分）（2021•天津）将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为　　．【分析】根据解析式“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将直线向下平移2个单位长度，平移后直线的解析式为，故答案为：．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数解析式“上加下减”的原则是解答此题的关键．17．（3分）（2021•天津）如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE第35页（共35页）\n，交CD于点H，连接GH，则GH的长为　　．【分析】以O为原点，垂直AB的直线为x轴，由已知可得E（4，﹣2），F（2，3），又G为EF的中点，得G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，可得y＝﹣x，从而H（2，﹣1），GH＝＝．【解答】解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，∴E（4，﹣2），F（2，3），∵G为EF的中点，∴G（3，），设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：﹣2＝4k，解得k＝﹣，第35页（共35页）\n∴直线OE解析式为y＝﹣x，令x＝2得y＝﹣1，∴H（2，﹣1），∴GH＝＝，方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，∵O为正方形对角线AC和BD的交点，∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，∴点H、点G分别为OE、FE的中点，∴GH为△OEF的中位线，∴GH＝OF，在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，∴GH＝OF＝，故答案为：．【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出G和H的坐标．18．（3分）（2021•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C第35页（共35页）\n均落在格点上，点B在网格线上．（Ⅰ）线段AC的长等于　　；（Ⅱ）以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝AC．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）　取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于D点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求　．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可．（Ⅱ）取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．【解答】解：（Ⅰ）AC＝＝．故答案为：．（Ⅱ）如图，取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求．第35页（共35页）\n故答案为：取BC与网格线的交点D，连接OD延长OD交⊙O于点E，连接AE交BC于点G，连接BE，延长AC交BE的延长线于F，连接FG延长FG交AB于点P，点P即为所求【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）（2021•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得　　；（Ⅱ）解不等式②，得　　；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为　　．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：第35页（共35页）\n（Ⅳ）原不等式组的解集为．故答案为：，，．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．20．（8分）（2021•天津）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：．根据调查结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为　50　，图①中的值为　　；（Ⅱ）求统计的这组月均用水量数据的平均数、众数和中位数．【分析】（Ⅰ）根据每月用水的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水的户数除以总户数，即可得出的值；（Ⅱ）根据平均数、众数和中位数的定义即可求解．【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的家庭个数为：（个；，即；故答案为：50，20；第35页（共35页）\n（Ⅱ）这组月均用水量数据的平均数是：，出现了16次，出现的次数最多，这组数据的众数是；将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6，这组数据的中位数是．【点评】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握平均数、中位数和众数的计算方法．21．（10分）（2021•天津）已知内接于，，，点是上一点．（Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小；（Ⅱ）如图②，若，连接，过点作的切线，与的延长线交于点，求的大小．【分析】（Ⅰ）如图①，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，再根据圆周角定理得到，，利用互余计算出的度数，利用圆周角定理计算的度数，从而得到的度数；（Ⅱ）如图②，连接，利用平行线的性质得到第35页（共35页）\n，利用圆内接四边形的性质计算出，再根据三角形内角和计算出，接着利用圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用互余计算出的度数．【解答】解：（Ⅰ）如图①，，，为直径，，，；；（Ⅱ）如图②，连接，，，四边形为的内接四边形，，，，，为切线，，，．第35页（共35页）\n【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．22．（10分）（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔的正南方向，距离灯塔257海里的处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔的南偏东方向上，同时位于处的北偏东方向上的处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）参考数据：，取1.73．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．【解答】解：如图，过点作，垂足为，由题意得，，，，在中，第35页（共35页）\n，，，，在中，，，又，，所以，（海里），答：的长约为168海里．【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的关键．第35页（共35页）\n23．（10分）（2021•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行到达书店；在书店停留后，匀速骑行到达陈列馆；在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．给出的图象反映了这个过程中李华离学校的距离与离开学校的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：离开学校的时间0.10.50.813离学校的距离2　10　　　12　　（Ⅱ）填空：①书店到陈列馆的距离为　　；②李华在陈列馆参观学习的时间为　　；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为　　；④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为　　．（Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式．【分析】（Ⅰ）根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可；（Ⅱ）根据函数图象横、纵坐标表示的意义填空即可；第35页（共35页）\n（Ⅲ）根据分段函数，利用待定系数法求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：当时，；当时，；当时，；故答案为：10；12；20；（Ⅱ）由题意得：①书店到陈列馆的距离为：；②李华在陈列馆参观学习的时间为：；③李华从陈列馆回学校途中，减速前的骑行速度为：；④当李华离学校的距离为时，他离开学校的时间为：或，故答案为：①8；②3；③28；④或；（Ⅲ）当时，；当时，；当时，设关于的函数解析式为，根据题意，得：，解得，，综上所述，．【点评】第35页（共35页）\n本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解题意、理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键．24．（10分）（2021•天津）在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点在第一象限，矩形的顶点，，点在轴的正半轴上，点在第二象限，射线经过点．（Ⅰ）如图①，求点的坐标；（Ⅱ）将矩形沿轴向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，．设，矩形与重叠部分的面积为．①如图②，当点在轴正半轴上，且矩形与重叠部分为四边形时，与相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．【分析】（1）作于，根据已知数据计算出和即可得出点坐标；（2）①先用表示出三角形的面积，再根据阴影部分的面积等于三角形的面积减三角形的面积得出函数关系式即可；②根据函数的性质求出在范围内的最大值和最小值即可得出取值范围．【解答】解：（1）如图①，过点作，垂足为，由点，得，，，第35页（共35页）\n，点的坐标为；（2）①由点，，得，由平移知，四边形是矩形，得，，，，，，，，，，，，即；②（Ⅰ）当时，由①知，当时，有最大值为，当时，有最小值为，此时；第35页（共35页）\n（Ⅱ）当时，如图2，令与交于点，与交于点，，此时，当时，有最大值为，当时，有最小值为，；（Ⅲ）当时，如图3，令与交于点，此时点位于第二象限，，此时，当时，有最小值为，当时，有最大值为，；综上，的取值范围为；的取值范围为．第35页（共35页）\n【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握二次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．25．（10分）（2021•天津）已知抛物线，为常数，经过点，顶点为．（Ⅰ）当时，求该抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）当时，点，若，求该抛物线的解析式；（Ⅲ）当时，点，过点作直线平行于轴，是轴上的动点，是直线上的动点．当为何值时，的最小值为，并求此时点，的坐标．【分析】（Ⅰ）由，即可求解；（Ⅱ）由得：，则，即可求解；（Ⅲ）当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，进而求解．【解答】解：抛物线，为常数，经过点，则，（Ⅰ）当时，抛物线的表达式为，第35页（共35页）\n故抛物线的顶点坐标为；（Ⅱ），故点，由得：，即，解得或，故抛物线的表达式为或；（Ⅲ）将点向左平移3个单位，向上平移1个单位得到点，作点关于轴的对称点，则点的坐标为，当满足条件的点落在上时，由图象的平移知，故此时最小，理由：第35页（共35页）\n为最小，即，则，解得（舍去）或，则点、的坐标分别为、，由点、的坐标得，直线的表达式为，当时，，解得，则，即点的坐标为,、点的坐标为，．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．第35页（共35页）