4.1任意角和弧度制、三角函数的概念第四章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.备考指导本节内容是三角函数的基础,复习时要熟记三角函数的定义、各象限符号值特点以及特殊角的三角函数值,注意角度与弧度的互化.特别地,理解并掌握终边相同的角的集合对于记忆后面三角函数的性质大有好处.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.任意角(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.(2)分类:我们规定,一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转,就称它形成了一个零角.这样,我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角.(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和.\n2.弧度制(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号rad表示.(2)公式\n3.任意角的三角函数\n温馨提示1.各象限三角函数值符号的记忆口诀:一全正、二正弦、三正切、四余弦.即第一象限正弦函数值、余弦函数值和正切函数值均为正,第二象限正弦函数值为正,第三象限正切函数值为正,第四象限余弦函数值为正.2.利用角的终边上任意一点的坐标定义三角函数:设点Q(x,y)是角α终边上任一点,则\n1.象限角\n2.轴线角\n4.特殊角的三角函数值\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)小于90°的角是锐角.()(2)若sinα>0,则α是第一、第二象限的角.()(3)相等的角的终边一定相同,终边相同的角也一定相等.()(4)锐角是第一象限角,反之亦然.()(5)三角形的内角必是第一、二象限角.()×××××\nDB\n4.已知角θ的终边经过点P(12,-5),则cosθ的值为.5.若角θ同时满足sinθ<0,且tanθ<0,则角θ的终边一定落在第象限.四由sinθ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半轴重合.由tanθ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边只能位于第四象限.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1角的表示及象限的判定\n\n(3)已知角α为第三象限角,则2α的终边在.第一或第二象限或y轴的非负半轴由α是第三象限角,得则2π+4kπ<2α<3π+4kπ(k∈Z).故角2α的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴.\n拓展延伸例1(1)改为求“终边在射线”上的角α的集合.\n解题心得1.角的终边在一条直线上比在一条射线上多一种情况.2.判断角β所在的象限,先把β表示为β=2kπ+α,α∈[0,2π),k∈Z,再判断角α所在的象限即可.\nC\nC\n二或第四\n\n能力形成点2利用三角函数定义求三角函数值D\n(2)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,则5sinα+5cosα+4tanα=.-2或-4\n解题心得用定义法求三角函数值的两种情况:(1)已知角α终边上一点P的坐标,则直接用三角函数的定义求三角函数值;(2)已知角α的终边所在的直线方程,注意角α的终边位置有两个,对应的三角函数值有两组.\nB<\n能力形成点3扇形弧长、面积公式的应用例3(1)已知扇形的半径为10cm,圆心角为120°,则扇形的弧长为,面积为.\n(2)已知扇形的周长为c,则当扇形的圆心角α=弧度时,其面积最大,最大面积是.2\n解题心得求扇形面积的最值常用的思想方法是转化法.一般从扇形面积公式出发,在弧度制下先使问题转化为关于α的函数,再利用基本不等式或二次函数求最值.\n对点训练3(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的弧长,则扇形的圆心角是弧度,扇形的面积是.π-2设扇形的圆心角为θ,则扇形的周长是2r+rθ.依题意,2r+rθ=πr,所以θ=π-2.故扇形的面积\n(2)已知在半径为10的圆O中,弦AB的长为10,则弦AB所对的圆心角α的大小为,α所在的扇形弧长l为,弧所在的弓形的面积S为.\n第三环节 学科素养提升\n审题线路图——挖掘隐含条件寻找等量关系典例如图,在平面直角坐标系Oxy中,某单位圆的圆心的初始位置在点(0,1)处,此时圆上一点P的位置在点(0,0)处,圆在x轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1)时,的坐标为.审题要点1.已知条件:滚动后的圆心坐标为(2,1)和圆的半径为1.2.隐含条件:点P转动的弧长是2.3.等量关系:P转动的弧长等于弧长所对的圆心角.4.解题思路:求点P坐标可借助已知的坐标(2,1),通过构造直角三角形,并在直角三角形中利用三角函数定义可求出.答案:(2-sin2,1-cos2)\n解析:如图,作CQ∥x轴,PQ⊥CQ,Q为垂足.\n反思提升1.解决本例应抓住在旋转过程中角的变化,结合弧长公式、解三角形等知识来解决.2.审题的关键是在明确已知条件的基础上,寻找出隐含条件;解题的关键是依据已知量寻求未知量,通过未知量的转化探索解题突破口.
