7.1基本立体图形、直观图、表面积和体积第七章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.\n备考指导本部分的重点是空间几何体的体积与表面积计算、球的截面性质,重难点是与球的切、接有关的几何体问题.复习时要注意观察所给几何体的结构特征,对球的外接和内切问题要建立相关模型,运用相关公式和结论求解.对直观想象和数学运算素养考查较多.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.空间几何体(1)定义如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.(2)空间几何体的分类及相关概念\n注意:一个多面体最少有4个面、4个顶点和6条棱.\n2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征\n\n\n\n问题思考1(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱吗?不一定,因为“其余各面都是平行四边形”并不等价于“相邻两个四边形的公共边都互相平行”,如图①所示.②(2)有一个面是多边形,其余各面是三角形的多面体一定是棱锥吗?不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图②所示.①\n温馨提示1.常见的几种四棱柱之间的转化关系\n2.(1)正棱锥的各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,斜高(各侧面等腰三角形底边上的高)都相等;(2)正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的正投影(底面正多边形的边心距,也是其内切圆的半径)组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的正投影(底面正多边形的外接圆半径)也组成一个直角三角形.\n3.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征(1)圆柱、圆锥、圆台\n\n\n问题思考2(1)直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥吗?(2)类比圆柱、圆锥的形成过程,圆台可以由平面图形旋转而成吗?不一定.当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,它是由两个同底面圆锥组成的几何体.圆台可以看作是直角梯形以垂直底边的腰所在的直线为旋转轴,其他三边旋转一周而成的曲面所围成的几何体.\n(2)球①球的结构特征\n②球的截面性质a.用一个平面去截一个球,截面是圆面,球心和截面圆心的连线垂直于截面.b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:\n4.立体图形的直观图(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤①建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.②平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线段.③长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中的长度为原来的一半.\n(2)空间几何体直观图的画法①与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴,直观图中与之对应的是z'轴.②直观图中平面O'x'y'表示水平平面,平面O'y'z'和O'x'z'表示竖直平面.③已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中平行性和长度都不变.④成图后,去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线.\n5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式\n6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式\n\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)棱台是用一个平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.()(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱.()(3)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.()(4)在用斜二测画法画水平放置的∠A时,若∠A的两边分别平行于x轴和y轴,且∠A=90°,则∠A在直观图中的度数为45°.()××××\n2.如图,边长为2cm的正方形O'ABC是某一个图形的直观图,则原图形的周长是()A.14cmB.15cmC.16cmD.17cmC\n3.如图,长方体ABCD-A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D',截去的几何体是三棱柱,则剩下的几何体是.五棱柱\n4.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.\n5.如图,将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥,则该棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为.1\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1空间几何体的结构特征例1(1)下列结论正确的是()A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.若棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等,则该棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D\nA错误,如图①,该几何体是由两个同底的三棱锥叠放在一起构成的组合体,它的各个面都是三角形,但它不是三棱锥;B错误,如图②,若△ABC不是直角三角形,或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线,则所得的几何体都不是圆锥;C错误,若该棱锥是六棱锥,则由题设知,它是正六棱锥,易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长,这与题设矛盾.①②\n(2)将数字1,2,3,4,5,6写在每一个骰子的六个表面上,做成6枚一样的骰子.分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图①和②所示的两个柱体,则柱体①和②的表面(不含下底面)数字之和分别是()A.47,48B.47,49C.49,50D.50,49A由题意可知每个骰子相互平行的两个面上的数字间的关系为1与6相对,3与4相对,2与5相对.所以柱体①的表面数字之和为(5+1+6+3+4)+(2+5+6+1)+(1+6+3+4)=47;柱体②的表面数字之和为(6+2+5+3+4)+(2+5+6+1)+(2+5+3+4)=48.故选A.\n解题心得1.要想把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力.2.紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,依据题意判定.3.通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可.\n对点训练1(1)如图,一个正方体的六个面上分别标有A,B,C,D,E,F六个字母,现按下面三种不同的位置摆放,所看见的表面上的字母已标明,则字母A,B,C所对面上的字母依次分别为()A.D,E,FB.F,D,EC.E,F,DD.E,D,FD观察题图知,字母C与字母A,B,D,E相邻,故字母C与字母F相对;从而字母A与字母B,C,D,F相邻,故字母A与字母E相对;剩余最后两个字母B与D相对.\n(2)设有以下命题:①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;②底面是矩形的平行六面体是长方体;③四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形;④棱台的侧棱延长后必交于一点;⑤直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥.其中真命题的序号是.①③④\n命题①符合平行六面体的定义,故命题①是真命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故命题②是假命题;命题③是真命题,如图①,PD⊥平面ABCD,其中底面ABCD为矩形,可证明∠PAB,∠PCB均为直角,这样四个侧面都是直角三角形;由棱台的定义知命题④是真命题;命题⑤是假命题,当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体不是圆锥,如图②所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体.①②\n能力形成点2空间几何体的直观图例2(1)水平放置的△ABC的直观图如图所示,D'是△A'B'C'中B'C'边的中点,且A'D'∥y'轴,A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中的线段AB,AD,AC,则()A.AB>AD>ACB.AC>AD>ABC.AB=AC>ADD.AD>AB>ACC因为A'D'∥y'轴,所以在原图形中有AD⊥BC.又D'为B'C'的中点,所以AD为BC边上的中线,所以△ABC为等腰三角形.又AD为BC边上的高,所以AB=AC>AD.\n(2)如图,已知△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则△ABC的面积为.\n解题心得1.在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x'轴或y'轴平行,原图形中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线,原图形中的曲线段可以通过取一些关键点,作出在直观图中的相应点后,用平滑的曲线连接而画出.2.把水平放置的直观图还原成原来的图形,基本过程就是逆用斜二测画法,使平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变成原来的2倍.3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积有以下关系:\n对点训练2已知水平放置的正三角形ABC的边长为a,则它的直观图的面积为.①②\n能力形成点3空间几何体的表面积和体积命题角度1空间几何体的表面积例3(1)鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多,形状和内部的构造各不相同,一般都是易拆难装.某鲁班锁玩具的直观图如图所示,每条棱的长均为2,则该鲁班锁的表面积为()A\n\n(2)如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AD∥BC,BC=2CD=2AD=2,若将该直角梯形绕BC边所在直线旋转一周,则所得的几何体的表面积为.根据题意可知,所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1,高为1),下半部分为圆柱(底面半径为1,高为1),如图所示.则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和,即表面积为\n命题角度2空间几何体的体积例4(1)(2020江苏,9)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.\n(2)如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5,则此几何体的体积为.96\n(方法一:分割法)如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.\n(方法二:补形法)将原几何体补成一个直三棱柱,使AA'=BB'=CC'=8.\n解题心得1.求表面积问题的基本思路就是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这也是解决立体几何问题的主要出发点.2.规则几何体的表面积问题,抓住几何体表面的构成,直接代入相关公式求值即可,解决问题的关键是根据已知求出与表面积计算相关的几何量;多面体的表面积是各个面的面积之和.3.求不规则几何体的表面积时,通常根据几何体的结构特征将其分割成基本的柱、锥、台、球体等,先求这些几何体的表面积,再通过求和或作差求得该几何体的表面积,注意衔接部分的处理.4.求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解.(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体计算其体积或者把不规则的几何体补成规则的几何体,便于计算其体积.\n对点训练3(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()B过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以,所以该圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.\n(2)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为()B\nC\n(4)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.\n能力形成点4与球有关的切接问题例5(1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为()C\n(2)已知一个圆柱的轴截面是正方形,在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记球O的体积为V1,圆柱内除了球O之外的几何体的体积为V2,则的值为.2\n(3)已知正三棱锥的高为1,底面边长为,内有一个球与四个面都相切,则棱锥的内切球的半径为.如图,过点P作PD⊥平面ABC于点D,连接AD并延长交BC于点E,连接PE,由题意可知,D为正三角形ABC的中心.\n解题心得解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面,使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系,达到空间问题平面化的目的.\n对点训练4(1)(2020全国Ⅰ,理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32πA\n(2)若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=2,且各面均为直角三角形,则此三棱锥的外接球的体积是,表面积是.4π\n(3)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,,过点D作DE垂直于平面ABCD,交球O的球面于点E,则四棱锥E-ABCD的体积为.\n第三环节 学科素养提升\n思想方法——转化思想在立体几何计算中的应用空间几何体的体积、表面积的结合命题是高考的热点之一,旨在考查学生的识图、用图能力及空间想象能力与运算能力.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解.\n典例如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.\n解题心得1.利用三棱锥的“等积性”,可以把任何一个面作为三棱锥的底面.2.求体积时,可选择容易计算的方式来计算.
