规范答题增分专项五高考中的解析几何2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n题型一求轨迹方程1.求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.2.讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.\n例1已知圆C:(x+1)2+y2=8,过点D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P.(1)求点P的轨迹E的方程;(2)设过圆心C的直线l1交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l2交曲线E于R,T两点,且l1⊥l2,垂足为W(Q,R,S,T为不同的四个点).②求四边形QRST的面积的最小值.\n\n\n对点训练1\n\n题型二直线与圆锥曲线的位置关系设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由消去y(或消去x)得ax2+bx+c=0.若a≠0,Δ=b2-4ac,则Δ>0⇔相交;Δ<0⇔相离;Δ=0⇔相切.若a=0,则得到一个一次方程:①若曲线C为双曲线,则l与双曲线的渐近线平行;②若曲线C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行或重合.\n例2已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.\n\n对点训练2(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若|PC|=2|AB|,求直线AB的方程.\n\n\n题型三圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆周角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往能使问题简化.\n(1)求直线AB的斜率;(2)若直线AB与圆D相交于M,N两点,记△OAB的面积为S1,△OMN的面积为S2,求S=S1+S2的最大值.\n\n\n\n对点训练3如图,已知抛物线C1:,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.\n\n题型四圆锥曲线中的定值、定点问题1.求解定点问题和定值问题的基本思想是一致的,定值问题是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类问题时要学会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),先用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出关于x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.\n\n\n\n对点训练4设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线l交抛物线C于M,N两点,已知|MN|=4.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F任意作相互垂直的两条直线l1,l2,分别交抛物线C于不同的两点A,B和不同的两点D,E,设线段AB,DE的中点分别为P,Q,求证:直线PQ过定点R,并求出定点R的坐标.\n\n题型五圆锥曲线中参数的取值范围与最值问题参数的取值范围、最值问题的基本解题思想是先建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,再通过解不等式、求函数的值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.\n例5已知点A(x1,y1),D(x2,y2)(x1<x2)是曲线y2=4x(y≥0)上的两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且|BC|=2.(1)当点B的坐标为(1,0)时,求直线AD的斜率;(2)记△OAD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求证:\n\n\n对点训练5已知动圆Q过定点F(0,-1),且与直线l:y=1相切,椭圆N的对称轴为坐标轴,O为坐标原点,F为椭圆N的一个焦点,点A(0,2)在椭圆N上.(1)求动圆圆心Q的轨迹M的标准方程和椭圆N的标准方程;(2)若过F的动直线m交椭圆N于B,C两点,交轨迹M于D,E两点,设S1为△ABC的面积,S2为△ODE的面积,令Z=S1S2,试求Z的最小值.\n\n题型六圆锥曲线中的探索问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往先假设所求的元素存在,再推理论证,检验说明假设是否正确.\n例6已知在Rt△MEF中,两直角边EF,FM的长分别为和1,以EF的中点O为原点,EF所在直线为x轴,以EF的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,椭圆Γ以E,F为焦点,且经过点M.(1)求椭圆Γ的方程;(2)直线l:y=-x+m与椭圆Γ相交于A,B两点,在y轴上是否存在点C,使得△ABC为正三角形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.\n\n\n对点训练6(1)求抛物线C和椭圆M的方程.(2)是否存在正数m,对于经过点P(0,m)且与抛物线C有A,B两个交点的任意一条直线,都有焦点F在以AB为直径的圆内?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.\n\n\n专题总结提升\n1.直线与圆锥曲线问题的常用解题思路(1)从方程的观点出发,把直线方程与圆锥曲线的方程联立,通过消元转化为一元二次方程,利用根与系数的关系来进行讨论,这是用代数方法来解决几何问题的基础.要重视“设而不求”,利用弦长公式简化计算,同时注意利用图形的平面几何性质.(2)以向量为工具,利用向量的坐标运算解决与中点、弦长、角度相关的问题.2.定点问题是解析几何中的一种常见问题,基本的求解思想是:首先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题.\n3.求参数的取值范围的问题时,首先要找到产生取值范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式),(2)曲线上点的坐标的范围,(3)题目中给出的限制条件;其次要建立结论中的量与这些取值范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.4.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.
