2.9函数模型及其应用\n-2-知识梳理双基自测211.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);\n-3-知识梳理双基自测212.指数、对数、幂函数模型的性质比较递增递增y轴x轴\n2-4-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)幂函数增长比一次函数增长更快.()(2)在区间(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.()(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.()(4)已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).()(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越快的形象比喻.()×√√√√\n-5-知识梳理双基自测234152.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-6-知识梳理双基自测234153.某工厂生产一种产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300(0<x≤240,x∈N).若每台产品的售价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利润=销售收入-产品成本)时的产量是()A.70台B.75台C.80台D.85台答案解析解析关闭根据题意知销售收入是25x,故利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300,因此当x=75时,wmax=-0.1×752+15×75-300=262.5(万元).答案解析关闭B\n-7-知识梳理双基自测234154.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表.则x,y最适合的函数模型是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x答案解析解析关闭根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D答案解析关闭D\n-8-知识梳理双基自测234155.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是.答案解析解析关闭依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2,解得a=2,所以加密为y=2x-2.因此,当y=14时,由14=2x-2,解得x=4.答案解析关闭4\n-9-考点1考点2考点3考点4例1经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间和最小值.思考生活中常见的哪些问题涉及的两个变量之间的关系是二次函数关系?\n-10-考点1考点2考点3考点4解:由题意知S(t)=g(t)f(t),解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.\n-11-考点1考点2考点3考点4对点训练1某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注:利润和投资单位:万元).\n-12-考点1考点2考点3考点4(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部投入到A,B两种产品的生产.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②问:如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?\n-13-考点1考点2考点3考点4\n-14-考点1考点2考点3考点4所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.\n-15-考点1考点2考点3考点4例2某市明年计划投入600万元加强民族文化基础设施改造.据调查,改造后预计该市在一个月内(以30天计),民族文化旅游人数f(x)(单位:万人)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足近似满足g(x)=104-|x-23|.(1)求该市旅游日收益p(x)(单位:万元)与时间x(1≤x≤30,x∈N*)的函数关系式;(2)若以最低日收益的15%为纯收入,该市对纯收入按1.5%的税率来收回投资,按此预计两年内能否收回全部投资.思考分段函数模型适合哪些问题?\n-16-考点1考点2考点3考点4\n-17-考点1考点2考点3考点4所以当x=9时,p(x)取得最小值400万元.则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%=648>600,所以600万元的投资可以在两年内收回.\n-18-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.\n-19-考点1考点2考点3考点4对点训练2国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?解:(1)设每团人数为x,由题意得0<x≤75(x∈N*),飞机票价格为y元,\n-20-考点1考点2考点3考点4(2)设旅行社获利S元,因为S=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,故当x=30时,S取最大值12000.又S=-10(x-60)2+21000,x∈(30,75],所以当x=60时,S取得最大值21000.故当x=60时,旅行社可获得最大利润.\n-21-考点1考点2考点3考点4例3某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道,沿前侧内墙保留3m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?\n-22-考点1考点2考点3考点4故当矩形温室的边长各为40m,20m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648m2.\n-23-考点1考点2考点3考点4值范围,及取得最值时等号成立的条件.如果等号不能取得,一般利用函数单调性求解最值.\n-24-考点1考点2考点3考点4对点训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.\n-25-考点1考点2考点3考点4所以当隔热层厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小值,最小值为70万元.\n-26-考点1考点2考点3考点4例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人(精确到1年).(1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决?\n-27-考点1考点2考点3考点4解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x.\n-28-考点1考点2考点3考点4(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).所以10年后该城市人口总数约为112.7万.(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,即大约15年后该城市人口总数将达到120万人.\n-29-考点1考点2考点3考点4解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数型函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.\n-30-考点1考点2考点3考点4中I为声强(单位:W/m2).(1)平常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7W/m2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?\n-31-考点1考点2考点3考点4∵50+10lg5>50,∴这两位同学会影响其他同学休息.
