第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题六 函数与导数第三讲 导数的简单应用与定积分\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中．高考导航\n高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷13导数的几何意义，5全国卷乙卷10，12利用导数研究函数极值，导数和函数的单调性和最值的关系102020Ⅰ卷6导数的几何意义5Ⅱ卷/Ⅲ卷21(1)导数的几何意义的应用6\n年份卷别题号考查角度分值2019Ⅰ卷13，20求切线方程，利用导数研究函数17Ⅱ卷20利用导数讨论函数的单调性及公切线问题12Ⅲ卷6，20导数的几何意义的应用，利用导数讨论函数的单调性及最值问题17\n自主先热身•真题定乾坤\n1．(2020·全国卷Ⅰ卷)函数f(x)＝x4-2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝-2x-1B．y＝-2x＋1C．y＝2x-3D．y＝2x＋1【解析】∵f(x)＝x4-2x3，∴f′(x)＝4x3-6x2，∴f(1)＝-1，f′(1)＝-2，因此，所求切线的方程为y＋1＝-2(x-1)，即y＝-2x＋1.故选B.真题热身B\n2．(2019·全国卷Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝-1B．a＝e，b＝1C．a＝e-1，b＝1D．a＝e-1，b＝-1【解析】∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1＝2，∴a＝e-1，将(1，1)代入y＝2x＋b，得2＋b＝1，即b＝-1.故选D.D\n3．(2018·全国卷Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a-1)x2＋ax.若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝-2xB．y＝-xC．y＝2xD．y＝x【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a-1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y-f(0)＝f′(0)x，化简可得y＝x，故选D.D\n4．(2021·全国卷乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x-a)2(x-b)的极大值点，则()A．a<bB．a>bC．ab<a2D．ab>a2D\n\n\n解法二：f′(x)＝a[2(x-a)(x-b)＋(x-a)2]＝(a-x)[-a(3x-2b-a)]，令g(x)＝-a(3x-2b-a)，因为x<a，a-x>0；x>a时，a-x<0，所以x＝a时，函数取得极大值，只需g(a)>0，即-a(2a-2b)>0，得ab>a2，故选D.\nB\n\n\n\n\n5x-y＋2＝0\n7．(2019·全国卷Ⅰ卷)曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为_____________.【解析】y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝3(x2＋3x＋1)ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝3，则曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0，0)处的切线方程为y＝3x，即3x-y＝0.3x-y＝0\n1．高考对导数的几何意义的考查，多在选择、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题第一问．2．高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择、填空的后几题中出现，难度较大．有时出现在解答题第一问．3．近几年全国课标卷对定积分及其应用的考查极少，题目一般比较简单，但也不能忽略．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n1．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y-f(x0)＝f′(x0)(x-x0)．考点一 导数的计算、几何意义及定积分\n2．基本初等函数的导数公式\n\n\n(1)(2021·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝asinx＋bx3＋4(a∈R，b∈R)，f′(x)为f(x)的导函数，则f(2016)＋f(-2016)＋f′(2016)-f′(-2016)＝()A．0B．2015C．8D．2016C典例1【解析】(1)∵f(x)＝asinx＋bx3＋4，∴f′(x)＝acosx＋3bx2，∴f(x)＋f(-x)＝8，f′(x)-f′(-x)＝0，∴f(2016)＋f(-2016)＋f′(2016)-f′(-2016)＝8.故选C.\nB\nC\n\nB\n\n8π\n1．求曲线y＝f(x)切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程．(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．\n2．利用定积分求平面图形的面积正确画出几何图形，结合图形位置，准确确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值．\nC\n\n4\n\n导数与函数单调性的关系(1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(-∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.(2)f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，f(x)为常数函数，函数不具有单调性．考点二 利用导数研究函数的单调性\n角度1讨论函数的单调性(2021·武清区校级模拟)已知函数f(x)＝lnx-ax2＋(2-a)x，a∈R.(1)已知x＝1为f(x)的极值点，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论函数g(x)＝f(x)＋ax的单调性．典例2\n\n\n\n\n\n求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论．(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论．\n[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制．\nA典例3\n\n\n\n已知y＝f(x)在(a，b)上的单调性求参数范围的方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)转化为不等式的恒成立问题求解：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”．(3)若函数y＝f(x)在(a，b)上不单调，通常转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解．\nA\n\n\n[e-1，＋∞)\n\n\n可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)为函数f(x)的极小值．(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．考点三 利用导数研究函数的极值与最值\n典例4\n\n\n\n设p(x)＝-2x2＋4x-4，对称轴为x＝1，x＝1时，p(x)max＝-2<0，所以h(x)min＝4ln4-4-2(ln4)2<0，当x→0时，h(x)<0，当x→＋∞时，h(x)>0，所以在(0，ln4)，函数h(x)没有零点，∃x0∈(ln4，＋∞)，使得h(x)＝0，即∃x0∈(ln4，＋∞)，使得f′(x)＝0，且x0是唯一的，所以f(x)在(0，＋∞)上的极值点的个数为1.\n(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当Δ>0时，应通过求根公式求出其根．(2)涉及含参数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值．\n5．已知函数f(x)＝lnx＋ax-a2x2(a≥0)．(1)若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．\n\n\n\n明晰易错点•高考零失误\n求过曲线y＝x3-2x上的点(1，-1)的切线方程．【错解】因为y′＝3x2-2，所以k＝y′|x＝1＝3×12-2＝1.所以切线方程为：y＋1＝x-1即x-y-2＝0.【易错释疑】错把(1，-1)当切点．典例1易错点一：混淆“切点”致误\n\n\n已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值为10，则a＋b＝________.【错解】-7或0【易错释疑】x＝1是f(x)的极值点⇒f′(1)＝0；忽视了“f′(1)＝0不能得到x＝1是f(x)的极值点”的情况．典例2易错点二：极值的概念不清楚致误-7\n\n函数f(x)＝ax3-x2＋x-5在R上的增函数，则a的取值范围为__________.典例3易错点三：导数与单调性关系理解不准致误\n
