2.7函数的图象第二章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.备考指导函数的图象问题是高考命题的热点,复习时要掌握基本初等函数的图象,能够利用平移、对称等变换画出与常用函数有关的函数图象,并能数形结合解决有关函数的零点、参数取值范围、不等式的解集等问题.此外,要会用排除法选择已知函数解析式的图象.通过本节的复习,提升直观想象的数学素养和数形结合思想解题的能力.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.利用描点法作函数图象的流程\n2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.\n(2)对称变换\n1.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点对称.\n2.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称;(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图象.()(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.()(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.()(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.()××√√×\n2.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为()A.y=f(|x|)B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|)D.y=-f(|x|)C\nB\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1作函数的图象\n(2)将y=2x的图象向左平移2个单位长度得到y=2x+2的图象,如图②.①②\n③④\n拓展延伸将例1(3)的函数解析式改为“y=|x2-2x-1|”,作出其图象.解先作出函数y=x2-2x-1的图象,再保留x轴及其上方部分图象不变,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到函数y=|x2-2x-1|的图象,如图(实线部分).\n解题心得作函数图象的一般方法:(1)直接法.当函数的解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法.变换包括:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.(3)描点法.当上面两种方法都无法运用时,可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.\n对点训练1作出下列函数的图象:(1)y=10|lgx|;(2)y=|x-2|·(x+1).这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图).\n\n能力形成点2知式判图、知图判图问题A\n(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为()B\n\n解题心得函数图象的辨识可从以下几个方面入手:(1)从函数的定义域判断图象左右的位置;从函数的值域判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性.(4)从函数的周期性判断图象的循环往复.(5)取特殊点,把点的坐标代入函数解析式中,从点的位置进行判断.(6)必要时可求导研究函数的性质,从函数的特征点,排除不合要求的图象.充分利用上述几个方面,排除错误选项,筛选正确选项.\nB\n\n(2)已知函数y=f(1-x)的图象如图所示,则y=|f(x+2)|的图象是()A把函数y=f(1-x)的图象向左平移1个单位长度得y=f(-x)的图象;作出f(-x)的图象关于y轴对称的函数图象得y=f(x)的图象;将f(x)的图象向左平移2个单位长度得y=f(x+2)的图象;将y=f(x+2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方,即可得到|f(x+2)|的图象.故选项A符合题意.\n能力形成点3函数图象的应用命题角度1利用函数图象确定方程的根的个数A.8B.10C.12D.16C\n∵奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是周期函数,其周期T=4.故f(x)在区间(0,6)内的函数图象如图所示.∴可知方程在区间(0,6)内的根共有4个,其和为x1+x2+x3+x4=2+10=12,故选C.\n命题角度2利用函数的图象求参数的取值范围D\n\n命题角度3利用函数的图象求不等式的解集例5如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是()A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}C如图,作出函数y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,得点D的坐标为(1,1).由图可知,当-1<x≤1时,f(x)≥log2(x+1),故所求的解集为{x|-1<x≤1}.\n解题心得1.方程的根的个数为相应函数的图象与x轴交点的个数,或是方程变形后,转化为两个熟悉的函数图象的交点个数.2.已知含参数的方程根的情况,可用数形结合法求参数的范围,一般先把方程变形成一端含参数,再转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题.3.有关函数不等式的问题,常常转化为两个函数图象的上、下关系来解.\nC\n[-8,-1]\n\n第三环节 学科素养提升\n利用排除法解决识图与辨图题答案:D解析:由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.\n典例2如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为()答案:B\n\n反思提升解决识图与辨图题,如果通过函数的解析式不容易分辨,那么可通过函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域等性质及特殊点的位置排除不适合的选项.
