第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ\n第五讲 指数与指数函数\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点一 指数与指数运算1．根式(1)根式的概念\nxn＝a正数负数两个相反数\naa－aa\n\n3．有理指数幂的运算性质(1)ar·as＝________(a＞0，r、s∈Q)；(2)(ar)s＝______(a＞0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．ar＋sarsarbr\n知识点二 指数函数的图象与性质指数函数的概念、图象和性质\n定义函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数性质函数的定义域为R，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x<0时，恒有0<y<1当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数\n1．画指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象时注意两个关键点：(1，a)，(0，1)．2．底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”．\n×××\n(4)函数y＝3·2x，与y＝2x＋1都不是指数函数．()(5)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.()(6)函数y＝2－x在R上为单调增函数．()√××\nD\n\nC\n－2x2y\n\nB\n\nA\n\nA\n考点突破·互动探究\n例1考点一指数与指数运算——自主练透ACD6\n\n\n\n\n指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．\n(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．\n考向1指数函数的图象及应用——师生共研(1)(2021·秦皇岛模拟)函数f(x)＝21－x的大致图象为()例2考点二指数函数的图象与性质A\n(2)已知0<a<1，b<－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(3)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．a<0，b<0，c<0B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2cD．2a＋2c<2AD\n\n(3)作出函数f(x)＝|2x－1|的图象，如图，∵a<b<c且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知，0<f(a)<1，a<0，c>0，∴0<2a<1.∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，∴f(c)<1，∴0<c<1.∴1<2c<2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又∵f(a)>f(c)，∴1－2a>2c－1，∴2a＋2c<2，故选D．\n[引申](1)f(x)＝a1－x＋3的图象过定点_________.(2)若将本例(3)中“|y|＝2x＋1”改为“y＝|2x－1|”，且与直线y＝b有两个公共点，b的取值范围是_________.(3)若将本例(3)改为：函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是_____________.(1，4)(0，1)(－∞，0]\n[解析](1)当x＝1时，y＝4，因此函数y＝a1－x＋3过定点(1，4)．(2)曲线y＝|2x－1|与直线y＝b的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，则b的取值范围是(0，1)．(3)因为函数y＝|2x－1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k≤0，即k的取值范围为(－∞，0]．\n\n(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．\nD\nD(0，＋∞)\n\n\n(3)作出函数y＝3|x|－1与y＝m的图象如图所示，数形结合可得m>0.\n例3D\nc<b<a\n例4(－3，1)\n\n例5B\n\n(1)简单的指数不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性．要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决．\n(3)解指数方程的方法①同底法：把方程化为af(x)＝ag(x)的情形，然后得出f(x)＝g(x)．②化为ax＝b，利用对数定义求解x＝logab.③把方程化为f(ax)＝0的情形，然后换元，即设ax＝t，然后解方程f(t)＝0，注意只要t>0的解．(4)解指数不等式的方法同底法：把方程化为af(x)>ag(x)的情形，根据函数单调性建立f(x)和g(x)的不等式．\nD－3\n(3)(角度3)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为____________________.(4)(角度3)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m的取值范围是_____________.{x|x>4或x<0}(－∞，4]\n\n名师讲坛·素养提升\n例6\n\n\n\n分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时，要分类研究，再整合得到的结论．指数函数的单调性与底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论．解指数函数综合问题的两个注意点：(1)指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1两种情况讨论．(2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意新元的取值范围．\n〔变式训练3〕设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，求实数a的值．\n
