1数据链接真题试做2数据聚焦考点梳理a3数据剖析题型突破第24讲圆的基本性质目录\n数据链接真题试做命题点1垂径定理及其推论命题点2与圆周角有关的计算\n垂径定理及其推论命题点11.(2010·河北,6)如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A.点PB.点QC.点RD.点M返回子目录B数据链接真题试做1\n2.(2012·河北,5)如图,CD是☉O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是（）A.AE>BEB.=C.∠D=∠AECD.△ADE∽△CBE返回子目录D\n3.(2009·河北,20)如图是一个半圆形桥洞截面示意图,圆心为点O,直径AB是河底线,弦CD是水位线,CD∥AB,且CD=24m,OE⊥CD于点E.已测得sin∠DOE=.返回子目录(1)求半径OD;(2)根据需要,水面要以每小时0.5m的速度下降,则经过多长时间才能将水排干?\n解:(1)∵OE⊥CD于点E,CD=24m,∴ED=CD=12m.在△DOE中,∠DEO=90°,∴sin∠DOE==,∴OD=13m.返回子目录(2)∵OE===5(m)5÷0.5=10(h),∴经过10h才能将水排干.\n与圆周角有关的计算命题点2返回子目录4.(2009·河北,5)如图,四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形,A,B,O是小正方形的顶点,☉O的半径为1,P是☉O上的点,且位于右上方的小正方形内,则∠APB等于()BA.30°B.45°C.60°D.90°\n返回子目录5.(2011·河北,16)如图,点O为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB延长线上,BD=BC,则∠D=.27°\n数据聚焦考点梳理考点1圆的有关概念及性质考点2弦、弧、圆心角的关系考点3圆周角定理及其推论考点4垂径定理及其推论\n圆的有关概念及性质考点1返回子目录1.圆的有关概念(1)圆的定义:在一个平面内,到定点的距离①定长的所有点组成的图形,叫做圆.(2)弦:连接圆上任意两点的②叫做弦;经过圆心的弦叫做直径.(3)圆弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;大于半圆的弧叫做③;小于半圆的弧叫做④.数据聚集考点梳理2等于线段优弧劣弧\n弦、弧、圆心角的关系考点2返回子目录1.圆心角的定义:顶点在圆心的角.2.圆的有关性质(1)对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任何一条⑤所在直线都是圆的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)⑥的三个点确定一个圆.不在同一直线上直径\n圆周角定理及其推论考点3返回子目录1.圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧⑦,所对的弦⑧,相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等.3.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.相等也相等\n返回子目录2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的⑨.3.推论:(1)半圆(或直径)所对的圆周角是⑩;90°的圆周角所对的弦是直径.(2)同弧或等弧所对的圆周角⑪.4.圆内接四边形的性质(1)圆内接四边形的对角⑫.(2)圆内接四边形的任意一个外角⑬它的内对角(和它相邻的内角的对角).互补等于相等直角一半\n返回子目录【易错提示】由于圆中一条弦对应两段弧,故若题干中并未明确弦对应哪段弧,而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时,就要分情况讨论,如图所示:（∠ACB=∠α)(∠ACB=180°-∠α)\n垂径定理及其推论考点4返回子目录1.垂径定理及其推论(1)定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD是弦,CB⊥AD于点E,则AE=,=,=.(2)推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.如图,已知CB是直径,AD不是直径,AE=DE,则BC⊥AD,=,=.ED\n返回子目录2.垂径定理的应用如图,☉O的半径OD与弦AB垂直,用r表示圆的半径、a表示弦长、d表示弦心距、h表示弓形高,则有如下公式:(1)r=d+h;(2)r2=+d2=+(r-h)2;(3)sin∠AOD=,cos∠AOD=.\n数据剖析题型突破考向1弦、弧、圆心角的关系考向2垂径定理及其推论考向3圆周角定理及其推论\n弦、弧、圆心角的关系（5年考1次）考向1A.3α+β=180°B.2α+β=90°C.2α+β=180°D.2α-β=90°返回子目录1.（2021·石家庄43中一模)如图,已知BC是☉O的直径,半径OA⊥BC,点D在劣弧上(不与点A,点C重合),BD与OA相交于点E.设∠CBD=α,∠AOD=β,则（）B数据剖析题型突破3\n返回子目录2.(2021·河北中考压轴卷)如图,点A是☉O上一点,BC是直径,AC=2,AB=4,点D在☉O上且平分弧BC,则DC的长为()DA.2B.C.2D.\n返回子目录3.(2021·承德模拟)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=CD,点A为的中点,∠BDC=60°,则∠ADB等于()AA.40°B.50°C.60°D.70°\n返回子目录4.(2021·石家庄模拟)如图,AB是☉O的直径,点D为☉O上一点,且∠ABD=30°,BO=4,则的长为()DA.πB.πC.2πD.π\n返回子目录5.(2021·河北模拟)如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别是∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为()BA.6B.8C.5D.5\n返回子目录6.(2021·河北质量检测)如图,已知在☉O中,半径OA=,弦AB=2,∠BAD=18°,OD与AB交于点C,则∠ACO=°.81在同圆或等圆中,已知等弦、等弧、等圆心角这三组量中的任意一组量时,可利用转化思想将其转化为另外的两组量对应相等,进而寻求解题思路.\n垂径定理及其推论（5年考0次）考向2返回子目录1.(2021·承德模拟)如图,☉O的直径为10,弦AB的长为6,点P为弦AB上的动点,则线段OP长的取值范围是()CA.3≤OP≤5B.4<OP<5C.4≤OP≤5D.3<OP<5\n返回子目录2.(2021·南充中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,CD=2OE,则∠BCD的度数为()BA.15°B.22.5°C.30°D.45°\n返回子目录3.(2021·唐山模拟)《九章算术》是我国古代著名数学著作,书中记载:“今有圆材,埋在壁中,不知大小以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用数学语言可表述为:“如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥DC于点E,ED=1寸,AB=10寸,求直径CD的长.”则CD=()A.13寸B.20寸C.26寸D.28寸C\n返回子目录4.(2021·石家庄模拟)如图,点A,B,C,D都在半径为2的☉O上,若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()DA.4B.2C.D.2\n返回子目录5.(2021·河北押题卷)如图所示,在☉O中,AB为弦,OC⊥AB交AB于点D,且OD=DC,点P为☉O上任意一点,连接PA,PB,若☉O的半径为1,则S△PAB的最大值为()CA.1B.C.D.\n返回子目录6.(2021·河北模拟)如图,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,点D是的中点,AC与BD相交于点E.若点E是BD的中点,则AC的长是()DA.B.3C.3D.4垂径定理在圆的有关证明或计算中有十分重要的作用,常作的辅助线是作圆心到弦的垂线段,结合方程思想,利用圆心到弦的垂线段、弦的一半和半径组成直角三角形来求解.\n圆周角定理及其推论（5年考0次）考向3返回子目录1.(2021·河北二模)如图,点A,B,C,D在☉O上,=,∠CAD=35°,∠ACD=55°,则∠AOB=()BA.120°B.110°C.90°D.85°\n返回子目录2.(2021·石家庄重点中学联考)如图,AB是☉O的直径,EF,EB是☉O的弦,连接OF,若∠AOF=40°,则∠E的度数是()DA.40°B.50°C.55°D.70°\n返回子目录3.(2021·河北模拟)如图,已知☉O是正方形ABCD的外接圆,点E是弧AD上任意一点,则∠BEC的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°B\n返回子目录4.(2021·荆州中考)如图,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴的正半轴上,点D在OA的延长线上.若A(2,0),D(4,0),以点O为圆心,OD长为半径的弧经过点B,交y轴正半轴于点E,连接DE,BE,则∠BED的度数是()CA.15°B.22.5°C.30°D.45°\n返回子目录5.(2021·河北模拟)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)证明:∵AB是☉O的径,∴∠ADB=90°.∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD.∴AE=ED.\n返回子目录在与圆有关的角度计算中,圆心角和圆周角的关系有非常大的作用,即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)由(1)得OC⊥AD,∴=,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°.∴的长为π×5=2π.
