课时规范练8 函数的奇偶性与周期性基础巩固组1.(2021山东德州高三月考)下列函数既是偶函数又存在零点的是( )A.y=lnxB.y=x2+1C.y=sinxD.y=cosx2.(2021广东肇庆高三二模)已知函数f(x)=为奇函数,则a=( )A.-1B.C.-D.13.(2021广东广州高三月考)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+a,则g(2)=( )A.-4B.4C.-8D.84.(2021山东聊城高三期中)已知奇函数f(x)=则f(-1)+g(2)=( )A.-11B.-7C.7D.115.(多选)(2021辽宁大连高三期中)已知定义域为I的偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且∃x0∈I,f(x0)<0,则下列函数不符合上述条件的是( )A.f(x)=x2+|x|B.f(x)=2x-2-xC.f(x)=log2|x|D.f(x)=6.(多选)(2021湖北天门高三一模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)的图象关于直线x=1对称,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,则下列判断正确的是( )A.f(x)的值域为(0,1]B.f(x)的周期为2C.f(x+1)是偶函数D.f(2021)=17.(2021浙江金华高三月考)函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=a(x+1)-2x,则f(f(3))= . 8.(2021河南郑州高三月考)已知函数f(x)满足f(x)+f(-x)=2,g(x)=+1,y=f(x)与y=g(x)的图象交于点(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2= . \n综合提升组9.(2021山西太原高三期中)函数f(x)=ex-2-e2-x的图象( )A.关于点(-2,0)对称B.关于直线x=-2对称C.关于点(2,0)对称D.关于直线x=2对称10.(多选)(2021江苏苏州高三月考)对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和211.(多选)(2021河北唐山高三二模)已知函数f(x)满足f(-x)=f(x),且f(x+2)=-f(2-x),则下列结论一定正确的是( )A.f(x)的图象关于点(-2,0)对称B.f(x)是周期为4的周期函数C.f(x)的图象关于直线x=-2对称D.f(x+4)为偶函数12.(2021广东佛山高三二模)已知函数f(x)=x(2x-2-x),则不等式2f(x)-3<0的解集为 . 13.(2021重庆八中高三月考)已知函数f(x)=(x∈R且x≠1)的最大值为M,最小值为m,则M+m的值为 . 创新应用组14.已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,则( )A.f=0B.f(-1)=0C.f(2)=0D.f(4)=015.如果存在正实数a,使得f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶函数,我们称函数f(x)为“和谐函数”.给出下列四个函数:①f(x)=(x-1)2+5;②f(x)=cos2x-;③f(x)=sinx+cosx;④f(x)=ln|x+1|.其中“和谐函数”的个数为 . \n课时规范练8 函数的奇偶性与周期性1.D 解析选项A中的函数既不是奇函数,也不是偶函数,不合题意;选项C中的函数是奇函数,不合题意;B项中的函数是偶函数,但不存在零点,故选D.2.D 解析函数的定义域为{x|x≠-1且x≠a},因为f(x)=为奇函数,所以定义域关于原点对称,则a=1,所以f(x)=,f(-x)==-f(x),满足f(x)为奇函数,故选D.3.C 解析因为f(x)-g(x)=x3+x2+a,①所以f(-x)-g(-x)=-x3+x2+a,因为f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,所以f(x)+g(x)=-x3+x2+a,②②-①得:2g(x)=-2x3,所以g(x)=-x3,所以g(2)=-23=-8,故选C.4.C 解析f(-1)+g(2)=f(-1)+f(2)=f(-1)-f(-2)=(-1)3-1-[(-2)3-1]=-2-(-9)=7,故选C.5.ABD 解析∀x∈R,f(x)=x2+|x|≥0,故A不符合题意;函数f(x)=2x-2-x是定义在R上的奇函数,故B不符合题意;函数f(x)=log2|x|是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,且在(0,+∞)上,f(x)=log2x单调递增,∃x0=,f=-1<0,故C符合题意;幂函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故D不符合题意,故选ABD.6.CD 解析对于A,当x∈(0,1]时,f(x)=-x2+2x,此时0<f(x)≤1,又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0,且当x∈[-1,0)时,-1≤f(x)<0,故在区间[-1,1]上,-1≤f(x)≤1,A错误;对于B,函数f(x)图象关于直线x=1对称,则有f(2-x)=f(x),又由f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x)=-f(2+x),则有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)是最小正周期T=4的周期函数,B错误;对于C,f(x)的图象关于直线x=1对称,则函数f(x+1)的图象关于y轴对称,f(x+1)是偶函数,C正确;对于D,f(x)是周期T=4的周期函数,则f(2021)=f(1+4×505)=f(1)=1,D正确.故选CD.7.11 解析f(0)=a-1=0,a=1.当x<0时,-x>0,f(-x)=-x+1-2-x=-f(x),即f(x)=x-1+2-x,故f(x)=f(3)=4-23=-4,f(-4)=-5+24=11,故f(f(3))=11.8.2 解析因为f(x)+f(-x)=2,所以y=f(x)关于点(0,1)对称,y=g(x)=+1也关于点(0,1)对称,则交点(x1,y1)与(x2,y2)关于(0,1)对称,所以y1+y2=2.9.C 解析∵f(x)=ex-2-e2-x,∴f(2+x)=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x,f(2-x)=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex,∴f(2+x)+f(2-x)=0,因此,函数f(x)的图象关于点(2,0)对称,故选C.10.ABC 解析因为f(x)=asinx+bx+c,所以f(1)+f(-1)=asin1+b+c+asin(-1)-b+c=2c.因为c∈Z,所以f(1)+f(-1)为偶数,\n所以f(1)和f(-1)可能为4和6,3和1,2和4,故选ABC.11.AD 解析因为f(x+2)=-f(2-x),所以f(x)的图象关于点(2,0)对称.又因为函数f(x)为偶函数,所以f(x)是最小正周期为8的周期函数,且它的图象关于点(-2,0)对称和关于直线x=4对称,所以f(x+4)为偶函数,故选AD.12.(-1,1) 解析根据题意,对于函数f(x)=x(2x-2-x),都有f(-x)=(-x)(2-x-2x)=x(2x-2-x)=f(x),则f(x)为偶函数,函数f(x)=x(2x-2-x),其导数f'(x)=2x-2-x+xln2(2x+2-x),当x>0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.又f(1)=2-,由2f(x)-3<0可得f(x)<f(1),所以|x|<1,解得-1<x<1,即不等式的解集是(-1,1).13.2 解析f(x)==1-,函数的定义域为R,设g(x)=,函数的定义域为R,∴g(-x)==-=-g(x),∴g(x)为奇函数,∴g(x)max+g(x)min=0.∵M=f(x)max=1-g(x)min,m=f(x)min=1-g(x)max,∴M+m=2-[g(x)max+g(x)min]=2.14.B 解析因为f(x+2)是偶函数,f(2x+1)是奇函数,所以f(x)=f(4-x),f(1)=0,f(x)=f(x+4),即f(3)=f(1)=0,f(-1)=f(3)=0.故B正确.设f(x)=cosx,因为f(x+2)为偶函数,f(2x+1)为奇函数,所以f-=cos-≠0,f(2)=cosπ≠0,f(4)=cos2π≠0.故A,C,D错误.15.1 解析①中f(x)≥5,无论正数a取什么值f(0)≠0,f(x-a)都不是奇函数,故不是“和谐函数”;②中f(x)=cos2x-=sin2x,f(x)的图象向左或右平移个单位长度后其函数变为偶函数,f(x)的图象向左或右平移个单位长度后其函数变为奇函数,故不是“和谐函数”;③中f(x)=sinx+cosx=sinx+,因为fx-=sinx是奇函数,fx+=cosx是偶函数,故是“和谐函数”;④因为f(x)=ln|x+1|,所以只有\nf(x-1)=ln|x|为偶函数,而f(x+1)=ln|x+2|为非奇非偶函数,故不存在正数a使得函数f(x)是“和谐函数”.综上可知,只有③是“和谐函数”.
