单元质检卷八 平面解析几何(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东枣庄二模)已知点(1,1)在抛物线C:y2=2px(p>0)上,则抛物线C的焦点到其准线的距离为( )A.B.C.1D.22.(2021河北石家庄模拟)已知椭圆C:=1的离心率为,则椭圆C的长轴长为( )A.2B.4C.4D.83.(2020全国Ⅰ,理4)已知点A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,点A到抛物线C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p=( )A.2B.3C.6D.94.设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若双曲线C的一条渐近线与直线l平行,另一条渐近线与直线l垂直,则双曲线C的方程为( )A.=1B.x2-=1C.-y2=1D.x2-y2=15.(2021江苏南通一模)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为( )A.=1B.=1C.=1D.=16.(2021广东梅州二模)F1,F2是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点P(2,3)在双曲线C上,且F1F2⊥F2P,则双曲线C的离心率为( )\nA.2B.C.D.7.(2021北京房山二模)设F1,F2是双曲线C:-y2=1的两个焦点,点O为坐标原点,点P在双曲线C上,且|OP|=|OF1|,则△PF1F2的面积为( )A.B.2C.D.18.已知椭圆=1(a>b>0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点A是椭圆的下顶点,直线AF2交椭圆于另一点P,若|PF1|=|PA|,则椭圆的离心率为( )A.B.C.D.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,焦距为6,则椭圆的方程可以为( )A.=1B.=1C.=1D.=110.(2021福建厦门外国语学校模拟)已知双曲线的方程为=1,则下列说法正确的是( )A.焦点为点(±,0)B.渐近线方程为x±3y=0C.离心率e=D.焦点到渐近线的距离为11.设圆锥曲线Γ有两个焦点F1,F2.若曲线Γ上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线Γ的离心率等于( )A.B.\nC.D.212.(2021河北沧州三模)已知斜率为k的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线C交于A,B两点.抛物线C的准线上一点M(-1,-1),满足=0,则( )A.p=2B.k=-2C.|AB|=D.△MAB的面积为三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为,则椭圆C的方程可以为 . 14.(2021北京顺义二模)若双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距等于实轴长的倍,则双曲线C的渐近线方程为 . 15.(2021山东淄博一模)若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,-2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于 . 16.(2021浙江,16)已知椭圆=1(a>b>0)的焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),若过点F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 . 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求符合下列要求的曲线的标准方程:(1)已知椭圆的焦点在x轴上,且长轴长为12,离心率为;(2)已知双曲线过点A(-7,-6),B(2,3).\n18.(12分)(2021湖南高三模拟)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一个焦点为(,0),一条渐近线方程为2x-y=0.(1)求双曲线C的标准方程;(2)已知倾斜角为的直线l与双曲线C交于A,B两点,且线段AB的中点的纵坐标为4,求直线l的方程.19.(12分)已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C2:=1的右顶点重合.(1)求抛物线C1的标准方程;(2)设过点(0,1)的直线l与抛物线C1交于不同的两点A,B,点F是抛物线C1的焦点,且=1,求直线l的方程.20.(12分)(2021福建龙岩三模)已知a>b>0,曲线Γ由曲线C1:=1(y≥0)和曲线C2:=1(y<0)组成,其中曲线C1的右焦点为F1(2,0),曲线C2的左焦点为F2(-6,0).(1)求a,b的值;\n(2)若直线l过点F2交曲线C1于点A,B,求△ABF1面积的最大值.21.(12分)(2021河北张家口一模)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)上一动点P,左、右焦点分别为F1,F2,且F2(2,0),定直线l:x=,PM⊥l,点M在直线l上,且满足.(1)求双曲线的标准方程;(2)若直线l0的斜率k=1,且l0过双曲线右焦点与双曲线右支交于A,B两点,求△ABF1的外接圆方程.22.(12分)已知抛物线C:y2=4px(p>0)的焦点为F,且点M(1,2)到点F的距离比到y轴的距离大p.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线l:x-m(y+2)-5=0与抛物线C交于A,B两点,是否存在实数m使|MA||MB|=64?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.\n单元质检卷八 平面解析几何1.B 解析因为点(1,1)在抛物线上,所以1=2p,所以p=,所以C的焦点到其准线的距离为.故选B.2.C 解析由题可知c2=m+4-m=4,所以c=2.又因为e=,所以m=8,所以椭圆C的长轴长为2=4.故选C.3.C 解析设点A的坐标为(x,y).由点A到y轴的距离为9可得x=9.由点A到抛物线C的焦点的距离为12,可得x+=12,解得p=6.4.D 解析抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),则直线l的方程为y=-b(x-1).∵双曲线C:=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,且双曲线C的一条渐近线与直线l平行,另一条渐近线与直线l垂直,∴-=-b,·(-b)=-1,∴a=1,b=1,∴双曲线C的方程为x2-y2=1.故选D.5.D 解析设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0),焦距为2c,则解得故选D.6.A 解析由题可知,c=2,=3,且c2=a2+b2,所以a=1,b=,所以e==2.故选A.\n7.D 解析由已知,不妨设F1(-2,0),F2(2,0).由题可知a=,c=2.因为|OP|=|OF1|=|F1F2|,所以点P在以线段F1F2为直径的圆上,所以△PF1F2是以点P为直角顶点的直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16.又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以12==|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,所以|PF1||PF2|=2,所以|PF1||PF2|=1.故选D.8.A 解析由题可知|AF1|=|AF2|=a,|PF1|+|PF2|=2a.因为|PF1|=|PA|,所以|PF2|=a,|PF1|=a,cos∠APF1=,化简得a2=3c2.又e=∈(0,1),所以椭圆的离心率为.故选A.9.BD 解析因为2c=6,所以c=3.又2a+2b=18,a2=b2+c2,所以所以椭圆方程为=1或=1.故选BD.10.BC 解析由题可知a=3,b=,c==4,则双曲线的焦点为点(±4,0);渐近线方程为y=±x=±x,即x±3y=0;离心率e=;焦点(4,0)到渐近线x+3y=0的距离为d=.\n故选BC.11.AC 解析设圆锥曲线的离心率为e.令|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2.若圆锥曲线Γ为椭圆,则e=;若圆锥曲线Γ为双曲线,则e=.综上,曲线Γ的离心率为.故选AC.12.ABD 解析由题可知=1,所以p=2,故选项A正确;因为p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x,所以其焦点为F(1,0).因为直线l过抛物线的焦点,所以直线l的方程为y=k(x-1).因为=0,所以点M在以线段AB为直径的圆上.设A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组两式相减得=k.设AB的中点为Q(x0,y0),则y0=.又点Q(x0,y0)在直线l上,所以x0=+1,所以点Q是以线段AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知,圆Q的半径r=+2.因为|QM|2==r2,所以,解得k=-2,故选项B正确;\n因为k=-2,所以弦长|AB|=2r=2=5,故选项C不正确;因为k=-2,所以直线l的方程为2x+y-2=0,所以点M到直线l的距离d=,所以S△MAB=·d·|AB|=×5=,故选项D正确.故选ABD.13.=1(答案不唯一) 解析因为焦点在x轴上,所以设椭圆的方程为=1(a>b>0).又因为离心率为,所以,所以,即.14.x-y=0或x+y=0 解析因为双曲线C:=1(a>0,b>0)的焦距等于实轴长的倍,所以2c=2a,即c=a,所以.又因为,所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.15.2 解析由题可知抛物线y2=2px(p>0)开口向右,准线方程为x=-.将点A的坐标代入抛物线方程得4=2px0,即x0=.因为抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,-2)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,所以x0+=3x0,\n所以=3×,所以p2=8,所以p=2.16. 解析不妨设c=2,切点为B,则sin∠PF1F2=sin∠BF1A=,tan∠PF1F2=,所以k=.又k=,|F1F2|=2c=4,所以|PF2|=,所以|PF1|=,所以2a=|PF1|+|PF2|=4,即a=2,所以e=.17.解(1)设所求的椭圆标准方程为=1(a>b>0).由题可知2a=12,即a=6,且离心率e=,所以c=3,所以b2=a2-c2=62-32=27,所以所求椭圆的标准方程为=1.(2)设所求的双曲线方程为mx2+ny2=1,由题可得解得所以所求双曲线的标准方程为=1.18.解(1)由题可知c=.因为双曲线C的一条渐近线方程为2x-y=0,所以=2.又c2=a2+b2,所以5=a2+4a2,解得a2=1,b2=4,\n所以双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点的坐标为(x0,4),则=1,①=1.②②-①得,所以=4,即k==x0.又k=tan=-1,所以x0=-1,所以直线l的方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.19.解(1)由题可知,双曲线C2:=1的右顶点为(2,0),∴=2,∴p=4,∴抛物线C1的标准方程为y2=8x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题可知直线l的斜率存在且不为零,故设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).联立得k2x2+(2k-8)x+1=0.由Δ>0得(2k-8)2-4k2>0,∴k<2,∴x1+x2=-,x1x2=.又=1,F(2,0),∴=(x1-2)(x2-2)+y1y2=1,\n∴x1x2-2(x1+x2)+4+(kx1+1)(kx2+1)=(1+k2)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5=1,∴k2+4k-5=0,解得k=1或k=-5,∴直线l的方程为x-y+1=0或5x+y-1=0.20.解(1)∵F1(2,0),F2(-6,0),∴解得(2)由(1)知,曲线C1:=1(y≥0).由题可知直线斜率存在且不为零,故设直线l的方程为x=my-6(m>0).联立得(5+4m2)y2-48my+64=0.∵5+4m2>0,Δ=(48m)2-4×64×(5+4m2)>0,且m>0,∴m>1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,∴|y1-y2|=,∴△ABF1面积S=|F1F2||y1-y2|=×8×=64.令t=>0,则m2=t2+1,∴S=,当且仅当t=,即m=时等号成立,∴△ABF1面积的最大值为.21.解(1)设点P(x,y).∵,∴,\n∴(x-2)2+y2=,∴1+y2=,∴双曲线的标准方程为-y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由题可知直线l0:y=x-2,联立得2x2-12x+15=0,∴x1+x2=6,x1x2=.又y1+y2=x1+x2-4,∴AB中点为M(3,1).又△ABF1外接圆圆心在AB的垂直平分线l1上,∴l1:y=-x+4.|AB|==2.设圆心(x0,y0)满足解得∴半径R=,∴外接圆方程为.22.解(1)因为点M到点F的距离比到y轴的距离大p,所以点M到点F的距离与到直线x=-p的距离相等,所以点M在抛物线C上,所以4=4p,解得p=1,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)存在.联立得y2-4my-8m-20=0.由题可知Δ=16m2+4(8m+20)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4(2m+5).因为=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)\n=+(y1-2)(y2-2)=+y1y2-2(y1+y2)+5=-4(2m+5)-8m+5=0,所以MA⊥MB,即△MAB为直角三角形.设d为点M到直线l的距离,则|MA||MB|=|AB|·d==4|1+m|=16|1+m|=64,所以(m+1)4+4(m+1)2-32=0,解得(m+1)2=4或(m+1)2=-8(舍去),所以m=1或m=-3,所以当实数m=1或m=-3时,|MA||MB|=64.
