易错点20等差数列一、单选题 + 1.已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，若 = + ，则使得 为整数的正 整数n共有 个A.3B.4C.5D.62. 香䁨中，“角A，B，C成等差数列”是“ 䁨= + 香”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.设非零等差数列 的公差为d，则使得数列也为等差数列的d有 A.1个B.2个C.3个D.无数个4.已知数列 是等差数列，其公差为 = ，且对任意的 ，均有 + + ，则d的所有值构成的集合为 A. B. C. + D. 5.数列 满足： = ，且对任意的 都有： + = + + ，则+++ += A.B.C.D. 6.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0和第 + 个0之间有 + 个 ，即，则该数的所有数字之和为 ᦙ 个A.1973B.1974C.1975D.19767.在等差数列 中，若 是方程 = 的两根，则 + + + 的值为A.4B.2C. D. 8.已知等差数列 的前n项和为 ，若 = ，则 =A.2018B.2019C.4036D.4038二、填空题\n9.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额 单位：元 ，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按 ， ， 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______．10.在等差数列 中，满足 = ，且 是数列 前n项的和，若 取得最大值，则 =___________ + + 11.若两个等差数列 ， 的前n项和分别为 ，香 且满足香= ，则 的值为 + _________． 12.在数列 在中， = ， + + = + ， ，其中 为常数， 则 =______三、解答题13.已知数列 中， = ， ，前n项和为 ， = + ，且 䁪 求数列 的通项公式； 记 = + ，求数列 的前n项和 ．\n14.已知等差数列 的公差 ，若 = ，且 ， ， 成等比数列． 求数列 的通项公式； 设 = ，求数列 的前n项和 ． + 15.设等比数列 的前n项和为 ，若 = ，且 ， ， 成等差数列． Ⅰ 求 的通项公式； Ⅱ 比较 与 + + + 的大小．\n16.已知等差数列 的前n项和为 ，且 = ， + = ． Ⅰ 求 、 ； Ⅱ 设= ， 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数m的取值范围 一、单选题 + 1.已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，若 = + ，则使得 为整数的正 整数n共有 个A.3B.4C.5D.6【答案】D + 【解析】解： = + ，可设 = + = + ， + + + + 则 = = + + + 则=== + + + + 要使为整数 + 是36的大于等于4的奇约数，即 + = 或 + = 或 + = 或 + = 或 + = 或 + = ， = ，3，6，9，15，33． 使得为整数的正整数n的个数是6． 故选D．2. 香䁨中，“角A，B，C成等差数列”是“ 䁨= + 香”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若A，B，C成等差数列，则 +䁨= 香， 香= ，\n若 䁨= + 香，则sin +香 = 香+ 香，即 香+ 香= 香+ 香， 香= 香，若 = 或 香= ，即 = 或香= ， 角A，B，C成等差数列是 䁨= + 香成立的充分不必要条件．故选：A． 3.设非零等差数列 的公差为d，则使得数列也为等差数列的d有 A.1个B.2个C.3个D.无数个【答案】A【解析】解：由非零等差数列 的公差为 常数 ，则 + = ， 要使得数列也为等差数列，设公差为 常数 ，则 = ， + + 即== ， + + 可得非零数列 是常数数列，故公差为0，只有1种情况，故选A．4.已知数列 是等差数列，其公差为 = ，且对任意的 ，均有 + + ，则d的所有值构成的集合为 A. B. C. + D. 【答案】D【解析】解：，且．由，得，整理得 ， ．\n若，取正整数，则当时，，与 矛盾，因此．同理可得 式中，，所以．又，所以䁪经检验当时， 两式对任意的恒成立，故选：D． 5.数列 满足： = ，且对任意的 都有： + = + + ，则+++ += A.B.C.D. 【答案】D【解析】解： + = + + ， + = + ，即 = ， = ， ， = ，等式两边同时相加得 = + + + + ，即 = + + + + + + = + + + + + =， 则== ， + + +++ + = + + + = = =， 故选D．6.计算机内部运算通常使用的是二进制，用1和0两个数字与电路的通和断两种状态相对应．现有一个2019位的二进制数，其第一个数字为1，第二个数字为0，且在第k个0\n和第 + 个0之间有 + 个 ，即，则该数的所有数字之和为 ᦙ 个A.1973B.1974C.1975D.1976【答案】C【解析】解：将数字从左往右只有以0为分界进行分组，第一组为10，数字之和为1；第二组为1110，数字之和为3；第三组为111110，数字之和为5；以此类推，故前n组的数字之和是以1为首项，2为公差的等差数列，则第n组数字之和为 ．前n组的数字个数是以2为首项，2为公差的等差数列，则第n组数字个数为2n． + 由题知共2019个数字，根据 ᦙ ，解得 ， 则前44组共有 + = hᦙ个数字，则前1980个数字之和为 + = ，剩余数字个数为 ᦙ hᦙ= ， 则所有数字之和为 + = h ，故选C．7.在等差数列 中，若 是方程 = 的两根，则 + + + 的值为A.4B.2C. D. 【答案】A【解析】解：由题意知 + = ，则 + + + = + = ．故选A．8.已知等差数列 的前n项和为 ，若 = ，则 =A.2018B.2019C.4036D.4038【答案】D【解析】解： 由题知 为等差数列， = ， + === ， 故选D．二、填空题9.某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额 单位：元 ，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按 ，\n ， 进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为______．【答案】600【解析】解： ，b，c成等差数列， = + ， 又由频率分布直方图可得 + + = 䁪 + 䁪 = 䁪 ， = 䁪 ，故消费金额超过150元的频率为 + 䁪 = 䁪 ，故该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为 䁪 = ，故答案为600．10.在等差数列 中，满足 = ，且 是数列 前n项的和，若 取得最大值，则 =___________【答案】11【解析】解：等差数列 中，满足 = ， 由等差数列通项公式可知 = + ，即 = ， 由等差数列前n项和公式可得 = + = + \n = +， 因为 所以当 = 时， 取得最大值，故答案为：11． + + 11.若两个等差数列 ， 的前n项和分别为 ，香 且满足香= ，则 的值为 + _________． 【答案】 【解析】解：由等差数列的求和公式和性质可得： + + + == + + + + ===，香 故答案为：． 12.在数列 在中， = ， + + = + ， ，其中 为常数， 则 =______【答案】 【解析】解： = ， 数列 为等差数列， = = ， + == ， = = ， = ．故答案为 ．三、解答题13.已知数列 中， = ， ，前n项和为 ， = + ，且 䁪\n 求数列 的通项公式； 记 = + ，求数列 的前n项和 ．【答案】解： 在数列 中， = ， = + 且 ， 式 式得： = ， 数列 是以 = = 为首项，公差为1的等差数列， = + = ， = ，当 时， = = = ，当 = 时， = ，也满足上式， 数列 的通项公式为 = ㌳ 由 知， = ， = ， 则 = + + + + = + + + + + + 两式相减得， = + + + + + ， = ++ + ， + = + = + ， = ．14.已知等差数列 的公差 ，若 = ，且 ， ， 成等比数列． 求数列 的通项公式； 设 = ，求数列 的前n项和 ． + 【答案】解： = ， + = ， ， ， 成等比数列， + = + + ，化简得 = ， \n又因为 ，且由 可得， = ， = ， 数列的通项公式是 = ． 由 得 === ， + + + = + + + = + + + = =， + + + 所以 =． + 15.设等比数列 的前n项和为 ，若 = ，且 ， ， 成等差数列． Ⅰ 求 的通项公式； Ⅱ 比较 与 + + + 的大小．【答案】解： Ⅰ 因为 ， ， 成等差数列，所以 = + ，即 = + + + + ，整理可得 = ，所以 的公比为 ．又 = = ，得 = ，所以 = ， ． Ⅱ 因为 = ， ， + 所以 ==． + + 于是 =， + + + + 又因为 + + + ==， 所以 = + + + ．16.已知等差数列 的前n项和为 ，且 = ， + = ． Ⅰ 求 、 ； Ⅱ 设 = ， 的前n项和为 ，若 恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】解： Ⅰ 设等差数列 的公差为d．\n = + = = 由题意可得，解得 + = + = = + + 所以 = + = + ， ==； Ⅱ 由= ，得 === ． + + 所以 = + + + = + + + = ． + + 因为 ，所以 ，若 恒成立，需 ．故m的取值范围为 +
