第20讲 匀速圆周运动体验成功1.以下关于与地球自转有关的地球外表上各点的说法，正确的选项是( )A.线速度随纬度增大而减小B.角速度随纬度增大而减小C.向心加速度随纬度增大而增大D.自转周期等于一昼夜即24小时解析：地球自转时，各处角速度相等，线速度等于角速度乘以该纬度圆的半径.答案：AD2.如以下图，小金属球的质量为m，用长为L的轻悬线固定于O点，在O点的正下方处钉有一颗钉子P，把悬线沿水平方向拉直.假设小金属球被无初速度释放，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)，那么( )A.小球的角速度突然增大B.小球的线速度突然减小到零C.小球的加速度突然增大D.悬线的张力突然增大解析：碰到钉子的瞬间线速度不变，做圆周运动的半径突然变小.故角速度突然变大，向心加速度a＝突然变大，悬线张力T＝mg＋突然变大.答案：ACD14/14\n3.图示为向心力演示器.转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动，小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，标尺8上露出的红白相间等分格子的多少可以显示出两个球所受向心力的大小.现分别将小球放在两边的槽内，为探究小球受到的向心力大小与角速度的关系，以下做法正确的选项是( )A.在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的钢球做实验B.在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的钢球做实验C.在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的钢球做实验D.在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的钢球做实验解析：向心力公式F＝mω2r，应用控制变量法做实验，使小球做圆周运动的轨迹半径相等，用质量相同的钢球做实验才可以比较总结出向心力大小与角速度的关系，应选项A正确.答案：A4.在汽车技术中，速度和行程的测量有好几种方法，图甲所示为一光电式车速传感器，其原理简图如图乙所示，A为光源，B为光电接收器，A、B均与车身相对固定，旋转齿轮C与车轮D相连接，它们的转速比nC∶nD＝1∶2.车轮转动时A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收后转换成电信号，由电子电路记录和显示.假设某次实验显示出单位时间内的脉冲数为n，要求出车的速度还必须测量的物理量或数据为： .汽车速度的表达式为：v＝ .解析：设齿轮C的齿数为P，由题意知，C及车轮的角速度ω＝2π·，再设车轮的半径为R，故车速v＝ω·R＝.14/14\n答案：车轮的半径R和齿轮的齿数P 5.如图甲所示，某同学在水平操场上骑自行车，人与车的总质量为m，车胎与地面之间的最大静摩擦力是其对地面的压力的μ倍(μ<1).那么该同学以速度v0骑行时转弯的半径不能小于多少？解析：骑自行车在水平路面上转弯时的受力情况如图乙所示，在竖直方向上有：FN＝mg在水平方向上：f＝m≤μFN可得：R≥即：该同学转弯的半径不得小于.答案：6.一辆质量m＝2.0t的小轿车驶过半径R＝90m的一段圆弧形桥面，取g＝10m/s2.问：(1)假设桥面为凹形，汽车以20m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面的压力是多少？(2)假设桥面为凸形，汽车以10m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多少？(3)汽车以多大的速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？解析：(1)汽车通过凹形桥面的最低点时，在水平方向上受到牵引力F和阻力f的作用，在竖直方向上受到桥面向上的支持力FN1和向下的重力G＝mg的作用，如图甲所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的正上方，支持力FN1与重力G＝mg的合力为FN1－mg，这个合力就是汽车通过桥面的最低点时的向心力，即F向＝FN1－mg.由向心力公式有：14/14\nFN1－mg＝m解得桥面对汽车的支持力大小为：FN1＝m＋mg＝2.89×104N乙根据牛顿第三定律知，汽车行驶在桥面最高点时对桥面的压力大小是2.89×104N.(2)汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向上受到牵引力F和阻力f的作用，在竖直方向上受到竖直向下的重力G＝mg和桥面向上的支持力FN2的作用，如图乙所示.圆弧形轨道的圆心在汽车的正下方，重力G＝mg与支持力FN2的合力为mg－FN2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即：F向＝mg－FN2.由向心力公式有：mg－FN2＝m桥面的支持力大小为：FN2＝mg－m＝1.78×104N根据牛顿第三定律知，汽车行驶在桥面最高点时对桥面的压力大小是1.78×104N.(3)设汽车的速度为vm时，汽车通过凸形桥面顶点时对桥面的压力为零.根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向上只受到重力G的作用，重力G＝mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向＝mg，由向心力公式有：mg＝m解得：vm＝＝30m/s.14/14\n所以汽车以30m/s的速度通过凸形桥面的顶点时，对桥面刚好没有压力.答案：(1)2.89×104N (2)1.78×104N (3)30m/s14/14\n金典练习九 匀速圆周运动选择题局部共10小题，每题6分.在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确.1.以下能反映坐在行驶的公共汽车内的乘客发生与离心运动有关的现象的是( )A.乘客突然向前倾倒B.乘客突然向后倾倒C.乘客上下振动D.乘客因汽车向左转弯而向右倾倒解析：当物体做圆周运动时，才会发生离心运动，故D选项正确.答案：D2.如以下图，汽车以某一速率通过半圆形拱桥的顶点，以下关于汽车在该处受力情况(空气阻力不计)的说法中，正确的选项是( )A.汽车受重力、支持力和向心力的作用B.汽车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和向心力的作用C.汽车所受的向心力就是重力D.汽车所受的重力和支持力的合力充当向心力解析：汽车受重力、支持力、路面阻力和牵引力的作用，其中重力与支持力的合力提供向心力.答案：D3.图示是便携式放音机根本运动的构造示意图，那么在正常播放音乐时，保持不变的是( )A.磁带盘边缘的线速度大小B.磁带盘的角速度14/14\nC.磁带盘的转速D.磁带盘的周期解析：磁带放音机的播放原理为磁带上的磁信号感应磁头上的线圈转化成电信号.为了保持放音速度平稳，压带轮和主轴要确保磁带传送的线速度大小恒定，故A选项正确.答案：A4.如以下图，放置在水平圆盘上的小物块A跟着圆盘一起做匀速圆周运动.那么A的受力情况是( )A.受重力、支持力B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C.受重力、支持力、向心力和摩擦力D.以上均不正确解析：物块A在水平圆盘上，受到竖直向下的重力G、竖直向上的支持力FN的作用，这两个力是一对平衡力.至于物块A是否受摩擦力，方向如何，必须由运动状态才可确定.摩擦力的方向可由牛顿第二定律判断，由于物块A随圆盘做圆周运动，具有指向圆心的向心加速度，故其必受向心力的作用.由于重力和支持力均不能提供向心力，这样只有A受到的摩擦力充当向心力，因此，物块A受到摩擦力的作用且摩擦力一定指向圆心.由此可知，做匀速圆周运动的物块A相对圆盘有沿半径向外的运动趋势.所以B选项正确.答案：B5.图示为一种“滚轮——平盘无级变速器”的示意图，它由固定于主动轴上的平盘和可随从动轴移动的圆柱形滚轮组成.由于摩擦的作用，当平盘转动时，滚轮就会跟随转动.如果滚轮不打滑，那么主动轴转速n1、从动轴转速n2、滚轮半径r以及滚轮中心距离主动轴轴线的距离x之间的关系是( )14/14\nA.n2＝n1 B.n2＝n1C.n2＝n1D.n2＝n1解析：滚轮与平盘接触处的线速度相等，故有：ω1x＝ω2r即2πn1x＝2πn2r可得：n2＝n1.答案：A6.图示是用以说明向心力与质量、半径之间的关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP＝2mQ.当整个装置以角速度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，那么此时( )A.两球受到的向心力的大小相等B.P球受到的向心力大于Q球受到的向心力C.rP一定等于D.当ω增大时，P球将向外运动解析：两球在水平方向上只受到轻绳拉力的作用，故两球受到的向心力大小相等(等于轻绳张力)即mPrPω2＝mQrQω2由上可知上等式与ω的大小无关，随ω的增大两球的位置不变，且由mP＝2mQ可得：rP＝rQ.答案：AC7.高速行驶的竞赛汽车依靠摩擦力转弯是有困难的，所以竞赛场地的弯道处做成侧向斜坡，如果弯道半径为r，斜坡和水平方向成θ角，那么汽车完全不依靠摩擦力转弯的速度大小为( )14/14\nA.B.C.D.解析：完全不依靠摩擦力转弯时，汽车垂直运动方向平面的受力如以下图有：F向＝mgtanθ＝解得：v＝.答案：C8.如图甲所示，在双人把戏滑冰运动中，有时会看到被男运发动拉着的女运发动离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩表演.目测体重为G的女运发动做圆锥摆运动时与水平冰面的夹角约为30°，重力加速度为g，那么可估算出该女运发动( )A.受到的拉力为GB.受到的拉力为2GC.向心加速度为3gD.向心加速度为2g解析：女运发动的受力情况可简化成如图乙所示，有：T·cos60°＝GT·sin60°＝ma＝Gtan60°解得：T＝2G，a＝g.答案：B9.如图甲所示，m为在水平传送带上被传送的小物体(可视为质点)，A为终端皮带轮.已知皮带轮的半径为r，传送带与皮带轮间不会打滑.当m可被水平抛出时，A轮每秒的转数最少为( )A. B. C. D.解析：方法一 m到达皮带轮的顶端时，假设m14/14\n≥mg，表示m受到的重力小于(或等于)m沿皮带轮外表做圆周运动的所需的向心力，m将离开皮带轮的外外表而做平抛运动，又因为转数n＝＝所以当v≥，即转数n≥时，m可被水平抛出应选项A正确.乙方法二 建立如图乙所示的直角坐标系.当m到达皮带轮的顶端有一速度时，假设没有皮带轮在下面，m将做平抛运动，根据速度的大小可以作出平抛运动的轨迹.假设轨迹在皮带的下方，说明m将被皮带挡住，先沿皮带轮下滑；假设轨迹在皮带的上方，说明m立即离开了皮带轮而做平抛运动.又因为皮带轮圆弧在坐标系中的函数为：y2＋x2＝r2初速度为v的平抛运动在坐标系中的函数为：y＝r－g()2平抛运动的轨迹在皮带轮上方的条件为：x＞0时，平抛运动的轨迹上各点与O点间的距离大于r，即＞r即＞r，解得：v≥又因皮带轮的转速n与v的关系为：n＝可得：当n≥时，m可被水平抛出.答案：A10.如以下图，小球A的质量为2m14/14\n，小球B和C的质量均为m，B、C两球到结点P的轻绳长度相等，滑轮摩擦不计，当B、C两球以某角速度ω做圆锥摆运动时，A球将( )A.向上做加速运动B.向下做加速运动C.保持平衡状态D.上下振动解析：设B、C做角速度为ω的匀速圆周运动时，BP、CP与竖直方向的夹角为θ，两轻绳的张力T＝，B、C球的向心力F＝mgtanθ＝mω2r.那么BP、CP两绳对P点张力的合力为：T左＝2T·cosθ＝2mg故A球将保持平衡状态.答案：C非选择题局部共3小题，共40分.11.(13分)如以下图，有一个置于水平地面上的圆台，其底A的半径为r1，底B的半径为r2(r2＞r1)，母线AB长为L.将圆台推动以后它在水平地面上做无相对滑动的匀速滚动，已知滚动一周的时间为T.求：(1)圆台在地面上压出的轨迹内径RA.(2)圆台滚动过程中相对自身轴心转动的角速度ω.解析：(1)设圆台滚动n转做完一整体圆周运动，有：2πRA＝n·2πr12π(RA＋L)＝n·2πr2解得：RA＝.(2)由(1)可解得：n＝14/14\n故圆台相对自身轴心转动的角速度为：ω＝＝.答案：(1) (2)12.(13分)图甲为电动打夯机的示意图，在电动机的转动轴O上装一个偏心轮，偏心轮的质量为m，其重心离轴心的距离为r.除偏心轮之外，整个装置其余局部的质量为M.当电动机匀速转动时，打夯机的底座在地面上跳动而将地面打实夯紧，试分析并答复：(1)为了使底座刚好跳离地面，偏心轮的最小角速度ω0应是多少？(2)如果偏心轮始终以这个角速度ω0转动，底座对地面压力的最大值为多少？解析：由题意知，底座刚好跳离地面(或对地压力最大)时，偏心轮(m)的重心刚好在半径为r的圆周上的最高点(或最低点)，分别如图乙、丙所示：乙 丙(1)M刚好跳离地面时的受力分析如图乙所示：所以对m有T1＋mg＝mωr对M有：T1－Mg＝0解得：ω0＝.(2)M对地的最大压力为FNm时的受力分析如图丙所示：对m有：T2－mg＝mωr14/14\n对M有：FNm－Mg－T2＝0解得：FNm＝2Mg＋2mg.答案：(1)ω0＝ (2)FNm＝2Mg＋2mg13.(14分)游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来(如图甲所示).我们把这种情况抽象为图乙所示的模型：弧形轨道下端与竖直圆轨道相接，使小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动，其中M、N分别为圆轨道的最低点和最高点.实验发现，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点.已知圆轨道的半径R＝5.0m，小球的质量m＝1.0kg，不考虑摩擦等阻力，取g＝10m/s2.(1)为使小球沿圆轨道运动而不掉下来，h至少为多大？(2)如果h＝15m，小球通过M点时轨道对小球的支持力FM为多大？(3)高度h越大，小球滑至N点时轨道对小球的压力FN也越大，试推出FN关于h的函数关系式.解析：(1)小球恰能通过N点时有：mg＝m由机械能守恒定律：mg(h－2R)＝mv解得：h＝R＝12.5m.(2)由机械能守恒定律：mgh＝mv牛顿第二定律：FM－mg＝m当h＝15m时，解得：FM＝70N.(3)小球从h高处释放后至N点的过程有：14/14\nmg(h－2R)＝mv在N处有：FN＋mg＝m解得：FN＝h－5mg＝4h－50(h≥12.5m).答案：(1)12.5m (2)70N(3)FN＝4h－50(h≥12.5m)14/14
