第4讲一次方程(组)命题点年份题号考查内容考查频次考查方向二元一次方程组的解法202211利用加减消元法解方程组．选择题1个常与其他知识结合，预计2022年考查的可能性很大一次方程(组)的应用202224(3)与中位数有关的列方程解决问题解答题1问近三年考查了1次，还是与中位数相结合，预计2022年考查的可能性比较大 等式的基本性质性质1等式两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍①________．如果a＝b，那么a±c②________b±c.性质2等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不为0)，所得结果仍③________．如果a＝b，那么ac＝bc(c≠0)，＝(c≠0). 一次方程(组)概念解法一元一次方程含有④________未知数、且未知数的次数是⑤________，这样的方程叫做一元一次方程．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.二元一次方程含有两个⑥________，并且含有未知数的项的⑦________都是1的方程叫做二元一次方程．一般需找出满足方程的整数解即可.二元一次方程组两个⑧____________所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．解二元一次方程组的基本思路是⑨________．基本解法有：⑩________消元法和________消元法. 【易错提示】 (1)解一元一次方程去分母时常数项不要漏乘，移项一定要变号；(2)二元一次方程组的解应写成的形式． 列方程(组)解应用题的一般步骤8\n1.审审清题意，分清题中的已知量、未知量；2.设设________，设其中某个量为未知数，并注意单位，对含有两个未知数的问题，需设两个未知数；3.列弄清题意，找出________；根据________，列方程(组)；4.解解方程(组)；5.验检验结果是否符合题意；6.答答题(包括单位).一次方程(组)用到的思想方法：1．消元思想：将二元一次方程组通过消元使其变成一元一次方程．2．整体思想：在解方程时结合方程的结构特点，灵活采取整体思想，使整个过程简捷．3．转化思想：解一元一次方程最终要转化成ax＝b；解二元一次方程组先转化成一元一次方程．4．数形结合思想：利用图形的性质建立方程模型解决几何图形中的问题．5．方程思想：利用其他知识构造方程解决问题． 命题点1 一元一次方程及解法 (2022·滨州)解方程：2－＝.【解答】 解一元一次方程一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等步骤．值得注意的是，去分母勿“漏项”，移项要变号． 1．(2022·娄底)已知关于x的方程2x＋a－5＝0的解是x＝2，则a的值为________．2．解方程：x＋＝1－.命题点2 二元一次方程组及解法 (2022·无锡)解方程组：【思路点拨】 二元一次方程组的解法主要有：代入消元法和加减消元法．基本思路是转化为一元一次方程后进行求解．先把②整理，再用减法消去x求出y，然后代入①求出x即可．【解答】 8\n用代入消元法时，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数时要特别细心；用加减消元法时，当两个方程相加减时，要特别注意符号问题． 1.(2022·河北)利用加减消元法解方程组下列做法正确的是（）A.要消去y，可以将①×5＋②×2B.要消去x，可以将①×3＋②×(－5)C.要消去y，可以将①×5＋②×3D.要消去x，可以将①×(－5)＋②×22．用代入法解方程组下列解法中最简便的是（）A．由①得x＝－代入②B．由①得y＝－x代入②C．由②得x＝8－3y代入①D．由②得y＝－代入①3．解方程组：命题点3 一次方程(组)的应用 某公园的门票价格如下表：购票人数1～5051～100100以上票价(元/人)1085 某校九年级甲、乙两个班共100多人去该公园举行毕业联欢活动，其中甲班有50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买门票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一个团体购票，一共只要515元．问：甲、乙两班分别有多少人？【思路点拨】 由两班单独购票时甲班票价8元/人，乙班票价10元/人，两个班共付920元及购团体票时票价5元/人，共付款515元，可列方程组求解．【解答】 综合表格中的信息与文字叙述，理解题意是解决本题的关键．8\n1．(2022·江西)小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格？(2022·资阳改编)学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元．求篮球和足球的单价．1．(2022·滨州)把方程x＝1变形为x＝2，其依据是（） A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质12.(2022·石家庄十八县大联考一)已知是二元一次方程组的解，则m＋n的值是（）A．0B．－2C．1D.33．(2022·山西)王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和(本金＋利息)33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x＋3×4.25%x＝33825B．x＋4.25%x＝33825C．3×4.25%x＝33825D．3(x＋4.25%x)＝338254．(2022·保定一模)2022年6月26日，保定市气象台继续发布高温橙色预警，提醒有关部门和单位按照职责落实防暑降温保障措施．为促进销售，某商场把某品牌空调按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2080元．设该空调的成本价为x元．根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x(1＋30%)×80%＝2080B．x·30%·80%＝2080C．2080×30%×80%＝xD．x·30%＝2080×80%5.(2022·石家庄42中一模)小明用20元钱去买钢笔和铅笔，一支钢笔5元钱，一支铅笔1元钱，如果将这20元都买成铅笔和钢笔，购买方案共有（）A．3种B．4种C．5种D．6种6．(2022·漳州)如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意所列方程组正确的是（）A.B.C.D.8\n7．(2022·西宁)在关于x、y的方程组中，x＋y＝________．8.(2022·石家庄28中一模)根据下图提供的信息，可知一个杯子的价格是________元．9．(2022·安顺)如果4xa＋2b－5－2y3a－b－3＝8是二元一次方程，那么a－b＝________．10.(2022·石家庄42中一模改编)若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，求k的值.11．(2022·石家庄41中一模)定义一种新运算“”：ab＝a－2b，比如：2(－3)＝2－2×(－3)＝2＋6＝8.(1)求(－3)2的值；(2)若(x－3)(x＋1)＝1，求x的值．12．(2022·资阳)在关于x、y的二元一次方程组中，(1)若a＝3，求方程组的解；(2)若S＝a(3x＋y)，当a为何值时，S有最值？13．(2022·宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角不再利用)．A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．8\n(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面个数；(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？14．(2022·凉山)根据图中给出的信息，解答下列问题：(1)放入一个小球水面升高________cm，放入一个大球水面升高________cm；(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？15．(2022·株洲)P表示n边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是：P＝·(n2－an＋b)(其中，a，b是常数，n≥4)(1)填空：通过画图可得：四边形时，P＝________(填数字)，五边形时，P＝________(填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a，b的值(注：本题的多边形均指凸多边形)．8\n参考答案考点解读考点1 ①相等 ②＝ ③相等考点2 ④一个 ⑤1 ⑥未知数 ⑦次数 ⑧二元一次方程 ⑨消元 ⑩代入 加减考点3 未知数 等量关系 等量关系各个击破例1 去分母，得12－2(2x＋1)＝3(1＋x)．去括号，得12－4x－2＝3＋3x.移项，合并同类项，得－7x＝－7.系数化为1，得x＝1.题组训练 1.1 2.6x＋3(x－1)＝6－2(x＋2).6x＋3x＋2x＝3＋6－4.11x＝5.x＝.例2 由②得2x－2y＝1③.①－②，得y＝4.把y＝4代入①，得x＝.∴原方程组的解为题组训练 1.D 2.C 3.由①，得x－2y＝－2.由②，得3x－4y＝2.①×2－②，得x＝6.所以原方程的解为例3 设甲、乙两班分别有x人和y人，得解得答：甲班55人，乙班48人．题组训练 1.设每支中性笔x元，每盒笔芯y元，根据题意得解得答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元． 2.设一个篮球x元，则一个足球(x－30)元，由题意得2x＋3(x－30)＝510.解得x＝120.答：一个篮球120元，一个足球90元．整合集训1．B 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.9 8.8 9.0 10.解方程组得代入2x＋3y＝6中得k＝. 11.(1)(－3)2＝(－3)－2×2＝－3－4＝－7.(2)∵(x－3)(x＋1)＝1，∴(x－3)－2(x＋1)＝1.∴x＝－6. 12.(1)方程组①＋2×②，得5x＝a＋2.当a＝3时，x＝1.把x＝1代入②，解得y＝1.所以若a＝3，方程组的解为(2)解方程组①＋2×②，得x＝.③把③代入②，得y＝.∵S＝a(3x＋y)＝a(3×＋)＝a2＋a＝(a＋)2－.8\n∴当a＝－时，S有最小值． 13.(1)裁出的侧面个数为6x＋4(19－x)＝(2x＋76)个，裁出的底面个数为5(19－x)＝(－5x＋95)个．(2)由题意得＝.解得x＝7.当x＝7时，＝30.答：能做30个盒子． 14.(1)2 3 (2)设应放入大球m个，小球n个．由题意得解得答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 15.(1)1 5 (2)将上述值代入公式可得化简得解得8
