第七章 图形与变换第24讲 图形的平移、对称和旋转A组 基础题组一、选择题1.(2022江西)下列图形中,是轴对称图形的是( )2.(2022青岛)观察下列四个图形,中心对称图形是( )3.(2022青岛)如图,若将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1,则顶点B的对应点B1的坐标为( )A.(-4,2)B.(-2,4)C.(4,-2)D.(2,-4)16\n4.(2022青岛)如图,三角形纸片ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,点E为AB的中点.沿过点E的直线折叠,使点B与点A重合,折痕EF交BC于点F,已知EF=32,则BC的长是( )A.322B.32C.3D.335.(2022菏泽)如图,矩形ABOC的顶点A的坐标为(-4,5),D是OB的中点,E是OC上的一点,当△ADE的周长最小时,点E的坐标是( )A.0,43B.0,53C.(0,2)D.0,1036.(2022济宁)如图,在平面直角坐标系中,点A,C在x轴上,点C的坐标为(-1,0),AC=2.将Rt△ABC先绕点C顺时针方向旋转90°,再向右平移3个单位长度,则变换后点A的对应点坐标是 ( )A.(2,2)B.(1,2)C.(-1,2)D.(2,-1)16\n7.(2022滨州)如图,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则有以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变,其中正确的个数为( )A.4B.3C.2D.1二、填空题8.(2022滨州)如图,将矩形ABCD沿GH对折,点C落在Q处,点D落在AB边上的E处,EQ与BC相交于点F,若AB=6,AD=8,AE=4,则△EBF的周长为 . 9.将一个含45°角的三角板ABC按如图所示方式摆放在平面直角坐标系中,将其绕点C顺时针旋转75°,点B的对应点B'恰好落在x轴上,若点C的坐标为(1,0),则点B'的坐标为 . 三、解答题10.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-1,3),B(-4,0),C(0,0).(1)画出将△ABC先向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1;(2)画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O;(3)在x轴上存在一点P,满足点P到点A1与点A2的距离之和最小,请直接写出P点的坐标.16\n11.(2022烟台)【操作发现】(1)如图1,△ABC为等边三角形,现将三角板中的60°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于30°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=30°,连接AF,EF.①求∠EAF的度数;②DE与EF相等吗?请说明理由;【类比探究】(2)如图2,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,先将三角板的90°角与∠ACB重合,再将三角板绕点C按顺时针方向旋转(旋转角大于0°且小于45°),旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使∠DCE=45°,连接AF,EF,请直接写出探究结果:①求∠EAF的度数;②线段AE,ED,DB之间的数量关系.B组 提升题组16\n一、选择题 1.(2022滨州)如图,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP=3,若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是( )A.362B.332C.6D.32.如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE,将△ABE沿AE折叠,点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=( )A.34B.25C.35D.453.(2022山西)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=6,将△ABC绕点C沿逆时针方向旋转得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB边上,则点B'与点B之间的距离为( )A.12B.6C.62D.634.(2022德州)如图放置的两个正方形,大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),M在BC边上,且BM=b,连接AM,MF,MF交CG于点P,将△ABM绕点A旋转至△ADN,将△MEF绕点F旋转至△NGF,给出以下五个结论:①∠MAD=∠AND;②CP=b-b2a;③△ABM≌△NGF;④S四边形AMFN=a2+b2;⑤A,M,P,D四点共圆.其中正确的个数是( )16\nA.2B.3C.4D.5二、填空题5.(2022威海改编)如图,将矩形ABCD(纸片)折叠,使点B与AD边上的点K重合,EG为折痕,点C与AD边上的点K重合,FH为折痕,已知∠1=67.5°,∠2=75°,EF=3+1,则BC的长为 . 三、解答题6.(2022德州)再读教材:宽与长的比是5-12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计,下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示:MN=2)第一步,在矩形纸片一端,利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平;第二步,如图②,把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平;第三步,折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图③中所示的AD处;第四步,展平纸片,按照所得的点D折出DE,使DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形.问题解决:(1)图③中AB= (保留根号); (2)如图③,判断四边形BADQ的形状,并说明理由;16\n(3)请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由;实际操作:(4)结合图④,请在矩形BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.第七章 图形与变换第24讲 图形的平移、对称和旋转A组 基础题组一、选择题1.C 2.C3.B 如图,点B1的坐标为(-2,4),故选B.4.B ∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=45°.由折叠的性质可得∠BAF=∠B=45°,∴∠AFB=180°-∠B-∠BAF=90°.在Rt△ABF中,点E是AB的中点,∴EF是斜边AB上的中线,∴AB=2EF=2×32=3.在Rt△ABC中,AB=AC=3,根据勾股定理得BC=32+32=32.5.B 作A关于y轴的对称点A',连接A'D交y轴于E,16\n则此时,△ADE的周长最小.∵四边形ABOC是矩形,∴AC∥OB,AC=OB,∵A的坐标为(-4,5),∴A'(4,5),B(-4,0),∵D是OB的中点,∴D(-2,0).设直线DA'的解析式为y=kx+b(k≠0),∴5=4k+b,0=-2k+b,解得k=56,b=53,∴直线DA'的解析式为y=56x+53,当x=0时,y=53,∴E0,53,故选B.6.A 由题意可知旋转之后点A的对应点坐标为(-1,2),再向右平移3个单位长度后,点A的对应点坐标为(2,2),故选A.7.B 如图,作PE⊥OA于E,PF⊥OB于F.∵∠PEO=∠PFO=90°,∴∠EPF+∠AOB=180°.∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠EPF=∠MPN,∴∠EPM=∠FPN.∵OP平分∠AOB,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,∴PE=PF,在Rt△POE和Rt△POF中,16\nOP=OP,PE=PF,∴△POE≌△POF,∴OE=OF.在△PEM和△PFN中,∠MPE=∠NPF,PE=PF,∠PEM=∠PFN,∴△PEM≌△PFN,∴EM=NF,PM=PN,故(1)正确,∴S△PEM=S△PFN,∴S四边形PMON=S四边形PEOF=定值,故(3)正确,OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=定值,故(2)正确,MN的长度是变化的,故(4)错误.故选B.二、填空题8.答案 8解析 设AH=a,则DH=AD-AH=8-a,在Rt△AEH中,∠EAH=90°,EH2=AE2+AH2,∵AE=4,AH=a,EH=DH=8-a,∴(8-a)2=42+a2,解得a=3.∵∠BFE+∠BEF=90°,∠BEF+∠AEH=90°,∴∠BFE=∠AEH.又∵∠EAH=∠FBE=90°,∴△EBF∽△HAE,∴C△EBFC△HAE=BEAH=AB-AEAH=23.∵C△HAE=AE+EH+AH=AE+AD=12,16\n∴C△EBF=23C△HAE=8.9.答案 (1+2,0)解析 ∵∠ACB=45°,∠BCB'=75°,∴∠ACB'=120°,∴∠ACO=60°.又∵∠AOC=90°,∴∠OAC=30°,∴AC=2OC.∵点C的坐标为(1,0),∴OC=1,∴AC=2OC=2.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=BC=2,∴B'C=BC=2,∴OB'=1+2,∴B'点的坐标为(1+2,0).三、解答题10.解析 (1)如图所示,△A1B1C1为满足题意的三角形.(2)如图所示,△A2B2O为满足题意的三角形.(3)P165,0.作点A1关于x轴的对称点A3,连接A2A3,与x轴交于点P,则点P即为所求的点.∵A2的坐标为(3,1),A3的坐标为(4,-4),∴A2A3所在直线的解析式为y=-5x+16.令y=0,则x=165.∴P点的坐标为165,0.11.解析 (1)①∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠BAC=∠B=60°,16\n∵∠DCF=60°,∴∠ACF=∠BCD,在△ACF和△BCD中,AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=60°,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°.②DE=EF.理由如下:∵∠DCF=60°,∠DCE=30°,∴∠FCE=60°-30°=30°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.(2)①∠EAF=90°.∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠BAC=∠B=45°,∵∠DCF=90°,∴∠ACF=∠BCD.在△ACF和△BCD中,AC=BC,∠ACF=∠BCD,CF=CD,∴△ACF≌△BCD(SAS),∴∠CAF=∠B=45°,AF=DB,∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°.②AE2+DB2=DE2,理由如下:∵∠DCF=90°,∠DCE=45°,16\n∴∠FCE=90°-45°=45°,∴∠DCE=∠FCE.在△DCE和△FCE中,CD=CF,∠DCE=∠FCE,CE=CE,∴△DCE≌△FCE(SAS),∴DE=EF.在Rt△AEF中,AE2+AF2=EF2,又∵AF=DB,∴AE2+DB2=DE2.B组 提升题组一、选择题1.D 作P点分别关于OA、OB的对称点C、D,连接CD,分别交OA、OB于点M、N,如图,则MP=MC,NP=ND,OP=OD=OC=3,∠BOP=∠BOD,∠AOP=∠AOC,∴PN+PM+MN=ND+MC+MN=DC,∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°,∴此时△PMN周长最小.作OH⊥CD于H,则CH=DH,∵∠OCH=30°,∴OH=12OC=32,CH=3OH=32,∴CD=2CH=3,∴△PMN周长最小为3.故选D.2.D 过点E作EH⊥CF于点H.16\n由折叠的性质得BE=EF,∠BEA=∠FEA.∵点E是BC的中点,∴CE=BE,∴EF=CE,∴∠FEH=∠CEH.∵∠AEB+∠FEA+∠FEH+∠CEH=180°,∴∠AEB+∠CEH=90°.又∵∠CEH+∠ECH=90°,∴∠AEB=∠ECH,∴sin∠ECF=sin∠AEB=ABAE.易求得AE=10,∴sin∠ECF=sin∠AEB=810=45.故选D.3.D 如图,连接BB',由旋转可知AC=A'C,BC=B'C,∵∠A=60°,∴△ACA'为等边三角形,∴∠ACA'=60°,∴∠BCB'=∠ACA'=60°,∴△BCB'为等边三角形.在Rt△ABC中,∠A=60°,AC=6,则BC=63,∴BB'=BC=63,故选D.4.D ①∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°,∴∠BAM+∠DAM=90°,∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,∴∠NAD=∠BAM,∠AND=∠AMB,∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=90°,∴∠DAM=∠AND,故①正确;②∵四边形CEFG是正方形,∴PC∥EF,16\n∴△MPC∽△MFE,∴PCEF=CMME,∵大正方形ABCD边长为a,小正方形CEFG边长为b(a>b),BM=b,∴EF=b,CM=a-b,ME=(a-b)+b=a,∴PCb=a-ba,∴CP=b-b2a,故②正确;③∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,∴GN=ME,∵AB=a,ME=a,∴AB=ME=NG,在△ABM与△NGF中,AB=NG=a,∠B=∠NGF=90°,GF=BM=b,∴△ABM≌△NGF.故③正确;④∵将△ABM绕点A旋转至△ADN,∴AM=AN,∵将△MEF绕点F旋转至△NGF,∴NF=MF,∵△ABM≌△NGF,∴AM=NF,∴四边形AMFN是菱形,∵∠BAM=∠NAD,∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°,∴∠NAM=90°,∴四边形AMFN是正方形.∵在Rt△ABM中,a2+b2=AM2,∴S四边形AMFN=AM2=a2+b2.故④正确;⑤∵四边形AMFN是正方形,∴∠AMP=90°,16\n∵∠ADP=90°,∴∠AMP+∠ADP=180°,∴A,M,P,D四点共圆,故⑤正确.故选D.二、填空题5.答案 3+2+3解析 由题意得∠3=180°-2∠1=45°,∠4=180°-2∠2=30°,BE=EK,KF=FC.过点K作KM⊥EF,垂足为M.设KM=x,则EM=x,MF=3x,∴x+3x=3+1.解得x=1,∴EK=2,KF=2,∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3+2+3,∴BC的长为3+2+3.三、解答题6.解析 (1)5.(2)四边形BADQ是菱形.理由如下:∵四边形ACBF是矩形,∴BQ∥AD.∵AB∥DQ,∴四边形ABQD是平行四边形,由折叠的性质可知AB=AD,∴四边形ABQD是菱形.(3)黄金矩形有矩形BCDE,矩形MNDE.理由:∵AD=AB=5,AN=AC=1,∴CD=AD-AC=5-1.16\n又∵BC=2,∴CDBC=5-12,∴矩形BCDE是黄金矩形.∵MN=2,DN=AD+AN=5+1,∴MNDN=21+5=5-12,∴矩形MNDE是黄金矩形.(4)如图,在矩形BCDE上添加线段GH,使得四边形GCDH为正方形,此时四边形BGHE是黄金矩形.长GH=5-1,宽HE=3-5.16
