2022年梧州市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均的零分）1.（）A.6B.7C.8D.102.化简：a+a=（）A.2B.a2C.2a2D.2a3.sin300=（）A.0B.1C.D.4.如图1，直线AB∥CD，AB、CD与直线BE分别交与点B、E，∠B=70°，∠BED=（）A.1100B.500C.600D.7005.如图2，⊿ABC以点O为旋转中心，旋转1800后得到⊿A’B’C’.ED是⊿ABC的中位线，经旋转后为线段E’D’.已知BC=4，则E’D’=（）A.2B.3C.4D.1.56.如图3，由四个正方体组成的图形，观察这个图形，不能得到的平面图形是（）9\n7.如图4，在菱形ABCD中，已知∠A=600，AB=5，则⊿ABD的周长是（）A.10B.12C.15D.208.以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是（）A.2cm，3cm，4cmB.2cm，3cm，5cmC.2cm，5cm，10cmD.8cm，4cm，4cm9.如图5，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若∠1=200，则∠2=（）A.800B.700C.400D.20010.小李是9人队伍中的一员，他们随机排成一列队伍，从1开始按顺序报数，小李报到偶数的概率是（）A.B.C.D.11.如图6，AB是⊙O的直径，AB垂直于弦CD，∠BOC=700，则∠ABD=（）A.200B.460C.550D.70012.父子两人沿周长为a的圆周骑自行车匀速行驶.同向行驶时父亲不时超过儿子，而反向行驶时相遇的频率增大为11倍.已知儿子的速度为v，则父亲的速度为（）A.1.1vB.1.2vC.1.3vD.1.4v二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13.计算：0-7=.9\n14.若反比例函数的图象经过点（2，4），则k的值为.15.若一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，则此三角形的周长扩大为原来的倍.16.因式分解：ax2-9a=.17.若一条直线经过点（-1，1）和点（1，5），则这条直线与x轴的交点坐标为.18.如图7，AC⊥BC，AC=BC=4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作.过点O作BC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是.三、解答题（本大题共8分，满分66分.）19.解方程：.20.如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF.求证：四边形BECF是平行四边形.21.某校为了招聘一名优秀教师，对入选的三名候选人进行教学技能与专业知识两种考核，现将甲、乙、丙三人的考核成绩统计如下：9\n（1）如果校方认为教师的教学技能水平与专业知识水平同等重要，则候选人将被录取.（2）如果校方认为教师的教学技能水平比专业知识水平重要，因此分别赋予它们6和4的权.计算他们赋权后各自的平均成绩，并说明谁将被录取.22.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同，现在每天生产多少台机器？23.海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=.（1）求小岛两端A、B的距离；（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值.9\n24.我市某商场有甲、乙两种商品，甲种每件进价15元，售价20元；乙种每件进价35元，售价45元.（1）若商家同时购进甲、乙两种商品100件，设甲商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元.写出y与x的函数关系式.（2）该商家计划最多投入3000元用于购进此两种商品共100件，则至少要购进多少件甲种商品？若售完这些商品，商家可获得的最大利润是多少元？（3）“五·一”期间，商家对甲、乙两种商品进行表中的优惠活动，小王到该商场一次性付款324元购买此类商品，商家可获得的最小利润和最大利润各是多少？25.已知，点C在以AB为直径的半圆上，∠CAB的平分线AD交BC于点D，⊙O经过A、D两点，且圆心O在AB上.（1）求证：BD是⊙O的切线.（2）若，，求⊙O的面积.26.如图，抛物线y=a(x-h)2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C.（1）求此抛物线的解析式.（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得⊿ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标.（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点，若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标.9\n9\n123456789101112ADCDADCABBCB13.-714.815.516.a(x+3)(x-3)17.（-1.5，3）18.19.解：∴20.证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=900，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，又∵AE=DF，∴⊿AEB≌⊿DFC，∴BE=CF.∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴BE∥CF.∴四边形BECF是平行四边形.21.解：（1）甲；（2）甲的平均成绩为：（85×6+92×4）÷10=87.8（分）乙的平均成绩为：（91×6+85×4）÷10=88.6（分）丙的平均成绩为：（80×6+90×4）÷10=84（分）显然，乙的平均分数最高，所以乙将被录取.22.解：设现在每天生产x台机器，则原计划每天生产（x-50）台机器.依题意，得：解之，得：x=200经检验：x=200是所列方程的解.答：现在每天生产200台机器.23.解：（1）在Rt⊿CED中，∠CED=900，DE=30海里，∴cos∠D=，∴CE=40（海里），CD=50（海里）.∵B点是CD的中点，∴BE=CD=25（海里）∴AB=BE-AE=25-8.3=16.7（海里）.答：小岛两端A、B的距离为16.7海里.（2）设BF=x海里.在Rt⊿CFB中，∠CFB=900，∴CF2=CB2-BF2=252-x2=625-x2.在Rt⊿CFE中，∠CFE=900，∴CF2+EF2=CE2，即625-x2+（25+x）2=1600.解之，得x=7.∴sin∠BCF=.24.解：（1）y=(20-15)x+(45-35)(100-x)=-5x+10009\n（2）15x+35(100-x)≤3000，解之，得x≥25.对y=-5x+1000，∵k=-5＜0，∴y随x的增大而减小.∴当x最小=25时，y最大=-5×25+1000=875（元）∴至少要购进25件甲种商品；若售完这些商品，商家可获得的最大利润是875元.（3）设购买甲种商品m件，购买乙种商品n件.①当打折前一次性购物总金额不超过400时，购物总金额为324÷0.9=360（元）.则20m+45n=360，，∴.∵n是4的倍数，∴n=4.∴m=9.此时的利润为：324-（15×9+35×4）=49（元）.②当打折前一次性购物总金额超过400时，购物总金额为324÷0.8=405（元）.则20m+45n=405，，∴.∵m、n均是正整数，∴m=9，n=5或m=18，n=1.当m=9，n=5的利润为：324-（9×15+5×35）=14（元）；当m=18，n=1的利润为：324-（18×15+1×35）=19（元）.综上所述，商家可获得的最小利润是14元，最大利润各是49元.25.解：（1）连接OD.∵AB为直径，∴∠ACB=900，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠CAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠ACB=900，∴BD是⊙O的切线.（2）∵，∴AB=4AC，∵BC2=AB2-AC2，∴15AC2=80，∴AC=，∴AB=4.设⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴∴，解得：r=∴πr2==，∴⊙O的面积为.26.解：（1）∵抛物线y=a(x-h)2+k顶点坐标为B（1，2），∴y=a(x-1)2+2，∵抛物线经过点A（0，1），∴a(0-1)2+2=1，∴a=-1，∴y=-(x-1)2+2=-x2+2x+1.（2）∵A（0，1），C的坐标为（1，0）∴OA=OC，∴△OAC是等腰直角三角形过点O作AC的垂线l，根据等腰三角形的“三线合一”知：l是AC的中垂线，∴l与抛物线的交点即为点P.如图，9\n直线l的解析式为y=x，解方程组得得，（舍）当时，.∴点P的坐标为（，）.（3）点P不是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点.由（1）知，点C的坐标为（1，0）.设直线AC为y=kx+b，则，解之，得，∴直线AC为y=-x+1.设与AC平行的直线的解析式为y=-x+m.解方程组代入消元，得-x2+2x+1=-x+m，∵此点与AC距离最远，∴直线y=-x+m与抛物线有且只有一个交点，即方程-x2+2x+1=-x+m有两个相等的实数根.整理方程得：x2-3x+m-1=0⊿=9-4（m-1）=0，解之得m=.则x2-3x+-1=0，解之得，此时y=.∴第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标为（，）.9
