专题四 三角形、四边形综合问题探究1．(2022宜宾中考模拟)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M，N分别是AB，AC的中点，延长BC至点D，使CD＝BD，连结DM，DN，MN.若AB＝6，则DN＝__3__．2．(2022宜宾中考改编)如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线EG分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连结ED，DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若∠ABC＝30°，∠C＝45°，ED＝2，点H是BD上的一个动点，求HG＋HC的最小值．解：(1)四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB＝ED，GB＝GD，DF＝BF，∴∠EBD＝∠EDB，∵∠EBD＝∠DBC，∴∠EDF＝∠GBF.在△EFD和△GFB中，∴△EFD≌△GFB，∴ED＝BG，∴BE＝ED＝DG＝GB，∴四边形EBGD是菱形；(2)作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连结EC交BD于点H，此时HG＋HC最小．在Rt△EBM中，∵∠EMB＝90°，∠EBM＝30°，EB＝ED＝2，∴EM＝BE＝.∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，5\n∴EM∥DN，EM＝DN＝，MN＝DE＝2.在Rt△DNC中，∵∠DNC＝90°，∠DCN＝45°，∴∠NDC＝∠NCD＝45°，∴DN＝NC＝，∴MC＝3，在Rt△EMC中，∵∠EMC＝90°，EM＝，MC＝3，∴EC＝＝＝10.∵HG＋HC＝EH＋HC＝EC，∴HG＋HC的最小值为10.3．如图，点O是△ABC内一点，连结OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连结，得到四边形DEFG.(1)求证：四边形DEFG是平行四边形；(2)若M为EF的中点，OM＝3，∠OBC和∠OCB互余，求DG的长度．解：(1)∵D，G分别是AB，AC的中点，∴DG∥BC，DG＝BC.∵E，F分别是OB，OC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DG＝EF，DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形；(2)∵∠OBC和∠OCB互余，∴∠OBC＋∠OCB＝90°，∴∠BOC＝90°.∵M为EF的中点，OM＝3，∴EF＝2OM＝6.由(1)有四边形DEFG是平行四边形，∴DG＝EF＝6.4．(2022宜宾中考模拟)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以点B为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A1BC1；再以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A2B1C，连结C1B1，则C1B1与BC的位置关系为________；(2)如图②，当△ABC是锐角三角形，∠ABC＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转α，连结C1B1，探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；5\n(3)如图③，在图②的基础上，连结B1B，若C1B1＝BC，△C1BB1的面积为4，则△B1BC的面积为________．解：(1)平行；(2)C1B1∥BC.理由如下：过点C1，作C1E∥B1C交BC于点E，则∠C1EB＝∠B1CB.由旋转性质可知，BC1＝BC＝B1C，∠C1BC＝∠B1CB，∴∠C1BC＝∠C1EB，∴C1B＝C1E.∵BC1＝BC＝B1C，∴C1E＝B1C.又∵C1E∥B1C，∴四边形C1ECB是平行四边形，∴C1B1∥BC.5．(2022沈阳中考)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D，点F在直线CE的同侧)，连结BF.(1)如图①，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1，①求点F到AD的距离；②求BF的长；(3)若BF＝3，请直接写出此时AE的长．解：(1)BF＝4；(2)①过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H.∵四边形CEFG是正方形，∴EC＝EF，∠FEC＝90°，∴∠DEC＋∠FEH＝90°.又∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠DEC＋∠ECD＝90°，∴∠ECD＝∠FEH.又∵∠EDC＝∠EHF＝90°，∴△ECD≌△FEH，5\n∴FH＝ED.∵AD＝4，AE＝1，∴ED＝AD－AE＝4－1＝3，∴FH＝3，即点F到AD的距离为3；②延长FH交BC的延长线于点K，∴∠DHK＝∠HDC＝∠DCK＝90°，∴四边形CDHK为矩形，∴HK＝CD＝4，∴FK＝FH＋HK＝3＋4＝7.∵△ECD≌△FEH，∴EH＝CD＝AD＝4，∴AE＝DH＝CK＝1，∴BK＝BC＋CK＝4＋1＝5.在Rt△BFK中，BF＝＝＝；(3)AE＝2＋或AE＝1.6．(2022福建中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC，BC上的点，且四边形PEFD为矩形．(1)若△PCD是等腰三角形，求AP的长；(2)若AP＝，求CF的长．解：(1)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，∴DC＝AB＝6，AC＝＝10.要使△PCD是等腰三角形，有如下三种情况：①当CP＝CD时，CP＝6，∴AP＝AC－CP＝4，②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD.∵∠PCD＋∠PAD＝∠PDC＋∠PDA＝90°，∴∠PAD＝∠PDA，∴PD＝PA，∴PA＝PC，∴AP＝＝5；③当DP＝DC时，过D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ.∵S△ADC＝AD·DC＝AC·DQ，∴DQ＝＝，∴CQ＝＝，∴PC＝2CQ＝，∴AP＝AC－PC＝.5\n综上所述，若△PCD是等腰三角形，AP的长为4或5或；(2)连结PF，DE，记PF与DE的交点为O，连结OC.∵四边形ABCD和PEFD都是矩形，∴∠ADC＝∠PDF＝90°，即∠ADP＋∠PDC＝∠PDC＋∠CDF，∴∠ADP＝∠CDF.∵∠BCD＝90°，OE＝OD，∴OC＝ED.在矩形PEFD中，PF＝DE，∴OC＝PF.∵OP＝OF＝PF，∴OC＝OP＝OF，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC.又∵∠OPC＋∠OFC＋∠PCF＝180°，∴2∠OCP＋2∠OCF＝180°，∴∠PCF＝90°，即∠PCD＋∠FCD＝90°.在Rt△ADC中，∠PCD＋∠PAD＝90°，∴∠PAD＝∠FCD，∴△ADP∽△CDF，∴＝＝.∵AP＝，∴CF＝.5
