第七讲 一元二次方程,考标完全解读)考点考试内容考试要求一元二次方程概念一元二次方程概念了解一元二次方程解法直接开平方法掌握因式分解法掌握配方法掌握公式法掌握根与系数关系根与系数关系理解判别式了解一元二次方程应用列一元二次方程解应用题理解,感受宜宾中考)1.(2022宜宾中考)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( A ) A．k＜1B．k＞1C．k＝1D．k≥02．(2022宜宾中考)若关于x的一元二次方程的两个根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是( B )A．x2＋3x－2＝0 B．x2－3x＋2＝0C．x2－2x＋3＝0 D．x2＋3x＋2＝03．(2022宜宾中考)一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是( B )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断4．(2022宜宾中考改编)对于实数a，b，定义一种运算“*”为：a*b＝a2＋ab－2，则方程x*1＝0的根为__x1＝－2，x2＝1__.5．(2022宜宾中考)关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是__m＞__．6．(2022宜宾中考)已知一元二次方程x2＋3x－4＝0的两根为x1，x2，则x＋x1x2＋x＝__13__．6\n7．(2022宜宾中考)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是__50(1－x)2＝32__．,核心知识梳理) 一元二次方程的概念1．只含有__1__个未知数，未知数的最高次数是__2__，像这样的__整式__方程叫一元二次方程．其一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__．【针对练习】关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是__0≤m≤且m≠1__． 一元二次方程的解法一元二次方程的解法直接开平方法这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程.一元二次方程的解法配方法配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的__完全平方__式，右边是一个非负常数．公式法求根公式为__x＝__，适用于所有的一元二次方程因式分解法因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为__0__；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解【针对练习】一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为( C )A．(x＋4)2＝17 B．(x＋4)2＝15C．(x－4)2＝17 D．(x－4)2＝15 一元二次方程根的判别式2．根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由__b2－4ac__来判定，我们将__b2－4ac__称为根的判别式．3．判别式与根的关系6\n(1)b2－4ac>0⇔方程有__两个不相等__的实数根；(2)b2－4ac<0⇔方程没有实数根；(3)b2－4ac＝0⇔方程有__两个相等__的实数根；(4)b2－4ac≥0⇔方程有实数根．【针对练习】(1)如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( D )A．k＜B．k＜且k≠0C．－≤k＜D．－≤k＜且k≠0(2)关于x的一元二次方程x2－2x－m＝0有两个相等的实数根，则m的值为__－1__． 一元二次方程的应用4．列一元二次方程解应用题的步骤①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验；⑥做结论．5．一元二次方程应用问题常见的等量关系(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，利润率＝利润÷进货价；(4)面积类：求小路宽度和围矩形两类面积应用题，是常考题，另一类边框类应用题，书上的例题也是考点；(5)传染病类应用题：有两种类型，一种传染类，另一种是细胞分裂类，两种类型应用题列方程是不同的，分裂类分裂后原细胞不存在．【针对练习】用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形，设长方形的长为xcm，则可列方程为__x(20－x)＝64______.,重点难点解析) 一元二次方程的概念、解法及解【例1】用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为( ) A．(x＋1)2＝0 B．(x－1)2＝0C．(x＋1)2＝2 D．(x－1)2＝2【解析】在本题中，把常数项－1移项后，方程左右两边应该同时加上一次项系数－2的一半的平方．把方程x2－2x－1＝0的常数移项移到等号的右边，得到x2－2x＝1.方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2－2x＋1＝1＋1.配方，得(x－1)2＝2.【答案】D【点评】用配方法解方程过程中配方是难点，抓住(a±b)2＝a2±2ab＋b2的特征．【针对训练】1．用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为( D )A．(x＋3)2＝1B．(x－3)2＝16\nC．(x＋3)2＝19D．(x－3)2＝192．一元二次方程x2－8x＋15＝0的两根分别是__x1＝3，x2＝5__． 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系【例2】若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋2＝0有实数根，则整数a的最大值为( )A．－1 B．0 C．1 D．2【解析】根据一元二次方程的定义，可得a－1≠0，解得a≠1，再结合b2－4ac＝22－4×(a－1)×2＝12－8a≥0，解得a≤1.5，∴整数a的最大值为0.【答案】B【例3】(泸州中考)设x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实根，则x＋x的值为________．【解析】首先根据根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1x2＝－1，然后把x1＋x2转化为x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2，最后整体代入值计算．∵x1，x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实根，∴x1＋x2＝5，x1x2＝－1.∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝27.【答案】27【点评】本题主要考查了根与系数的关系知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程两根之和与两根之积与系数的关系．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两根为：x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.【针对训练】3．(2022苏州中考)关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值为( A ) A．1 B．－1 C．2 D．－24．关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两实数根之积为负数，则实数m的取值范围是__m＞__．5．(2022盐城中考)若方程x2－4x＋1＝0的两根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为__5__．6．(2022菏泽中考)关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0，则k的值是__0__．7．(2022梅州中考)关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实数根x1，x2满足x1＋x2＝－x1x2，求k的值．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋1)＝4k－3>0，解得k>.∴实数k的取值范围为k>.(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝－(2k＋1)，x1·x2＝k2＋1，6\n∵x1＋x2＝－x1·x2，∴－(2k＋1)＝－(k2＋1)，解得k1＝0，k2＝2，∵k>，∴k的值为2. 一元二次方程的应用【例3】(包头中考)一幅长20cm，宽12cm的图案(如图)，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．【解析】(1)根据横、竖彩条的宽度比分别用含x的式子表示出横、竖彩条的宽度，再根据图案中三条彩条所占面积为一个横彩条面积加上两个竖彩条面积再减去两部分重合的面积，从而得到y与x之间的函数关系式；(2)根据图案中三条彩条所占面积是图案面积的建立方程，解得x，从而求出横竖彩条的宽度．【解答】解：(1)根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，∴y＝20×x＋2×12·x－2×x·x，整理，得y＝－3x2＋54x；(2)根据题意，得y＝×20×12＝96，∴－3x2＋54x＝96，整理，得x2－18x＋32＝0，解得x1＝2，x2＝16(舍)，∴x＝3.答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm.【针对训练】8．(2022菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？解：设这种玩具的销售单价为x元时，厂家每天可获利润20000元．由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20000，6\n(x－360)(1120－2x)＝20000，(x－360)(560－x)＝10000，x2－920x＋211600＝0，(x－460)2＝0，x1＝x2＝460，∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．,当堂过关检测)1.(2022德州中考改编)方程3x(x－1)＝2(x－1)的根是__x1＝1，x2＝__.2．(2022淮安中考)若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k<－__.3．(2022淄博中考)已知α，β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则a2＋αβ－3α的值为__0__．4．(2022宜宾中考)某楼盘2022年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2022年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为__8__100×(1－x)2＝7__600__．6
