4.5 解直角三角形[过关演练] (30分钟 70分)1.cos60°的值等于(D)A.3B.1C.22D.12【解析】根据特殊角的三角函数值,可得cos60°=12.2.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那么sinα的值是(C)A.35B.34C.45D.43【解析】作AB⊥x轴于点B,由勾股定理得OA=5,在Rt△AOB中利用正弦的定义得出sinα=ABOA=45.3.如图,已知AD是等腰△ABC底边上的高,且sinB=45.点E在AC上,且AE∶EC=2∶3,则tan∠ADE=(D)A.13B.23C.25D.128\n【解析】作EF∥CD交AD于点F,∵sinB=sinC=ADAC=45,∴设AD=4x,则AC=5x,CD=3x.∵AEEC=AFDF=AD-DFDF=23,∴DF=125x,AF=85x,∵AFAD=EFCD=25,∴EF=65x,∴tan∠ADE=EFDF=12.4.△ABC在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1),AD⊥BC于点D,下列选项中,错误的是(C)A.sinα=cosαB.tanC=2C.sinβ=cosβD.tanα=1【解析】∵AD⊥BC,AD=BD,∴α=45°,∴sinα=cosα,tanα=1.在Rt△ACD中,CD=1,AD=2,∴AC=12+22=5,∴tanC=ADCD=2,sinβ=15=55,cosβ=25=255,∴sinβ≠cosβ.5.(2022·浙江金华)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为(B)A.tanαtanβB.sinβsinαC.sinαsinβD.cosβcosα【解析】在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα.6.(2022·江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值(A)A.等于37B.等于33C.等于34D.随点E位置的变化而变化8\n【解析】∵EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,∵EH∥CD,∴△AEH∽△ACD,∴EHAH=CDAD=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=GFAG=3x3x+4x=37.7.(2022·重庆)如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45)(A)A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米【解析】作BM⊥ED交ED的延长线于点M,作CN⊥DM于点N.在Rt△CDN中,∵CNDN=10.75=43,∴设CN=4k,DN=3k,∵CD=10,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8,DN=6,∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8,MN=BC=20,EM=MN+DN+DE=66,在Rt△AEM中,tan24°=AMEM,∴0.45=8+AB66,∴AB=21.7(米).8.在△ABC中,AB=122,AC=13,cos∠B=22,则BC的边长为(D)A.7B.8C.8或17D.7或17【解析】∵cos∠B=22,∴∠B=45°,当△ABC为钝角三角形时,如图1,∵AB=122,∠B=45°,∴AD=BD=12,∵AC=13,∴由勾股定理得CD=5,∴BC=BD-CD=12-5=7;当△ABC为锐角三角形时,如图2,∴BC=BD+CD=12+5=17.综上,BC的长为7或17.9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线,CD=5,AC=6,则sinB的值是 35 . 【解析】∵在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,CD=5,∴AB=2CD=10,∴sinB=ACAB=610=35.10.(2022·北京)如图所示的网格是正方形网格,∠BAC > ∠DAE.(填“>”“=”或“<”) 8\n【解析】如图,连接NH,BC,过点N作NP⊥AD于点P,S△ANH=2×2-12×1×2×2-12×1×1=12AH·NP,32=52PN,PN=35,在Rt△ANP中,sin∠NAP=PNAN=355=35=0.6,在Rt△ABC中,sin∠BAC=BCAB=222=22>0.6,∵正弦值随着角度的增大而增大,∴∠BAC>∠DAE.11.(2022·浙江宁波)如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠B是锐角,AE⊥BC于点E,M是AB的中点,连接MD,ME.若∠EMD=90°,则cosB的值为 3-12 . 【解析】延长DM交CB的延长线于点H,连接ED.∵四边形ABCD是菱形,∴AD=BC=AB=2,AD∥CH,∴∠ADM=∠H,∵AM=BM,∠AMD=∠HMB,∴△ADM≌△BHM,∴HB=AD=2,HM=DM,∵EM⊥DH,∴EH=ED,设BE=x,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠AEB=∠EAD=90°,∵AE2=AB2-BE2=DE2-AD2,∴22-x2=(2+x)2-22,解得x=3-1或-3-1(舍弃),∴cos∠ABE=BEAB=3-12.12.如图,一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡,从A滑行至B,已知AB=500米,则这名滑雪运动员的高度下降了 280 米.(参考数据:sin34°≈0.56,cos34°≈0.83,tan34°≈0.67) 【解析】在Rt△ABC中,sinB=ACAB,∴AC=ABsin34°≈500×0.56=280(米).13.(8分)某地铁站口的垂直截图如图所示,已知∠A=30°,∠ABC=75°,AB=BC=4米,求点C到地面AD的距离.(结果保留根号)8\n解:过点B作BE⊥AD于点E,作BF∥AD,过点C作CF⊥BF于点F,在Rt△ABE中,∠A=30°,∴BE=12AB=2(米).∵BF∥AD,∴∠ABF=∠A=30°,又∵∠ABC=75°,∴∠CBF=45°.在Rt△BCF中,CF=BC·sin45°=4×22=22(米).∴点C到地面AD的距离为(22+2)米.14.(10分)(2022·辽宁抚顺)如图,BC是路边坡角为30°,长为10米的一道斜坡,在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯,射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°(图中的点A,B,C,D,M,N均在同一平面内,CM∥AN).(1)求灯杆CD的高度;(2)求AB的长度.(结果精确到0.1米,参考数据:3≈1.73,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)解:(1)延长DC交AN于点H.∵∠DBH=60°,∠DHB=90°,∴∠BDH=30°,∵∠CBH=30°,∴∠CBD=∠BDC=30°,∴CD=BC=10(米).答:灯杆CD的高度为10米.(2)在Rt△BCH中,CH=12BC=5,BH=53≈8.65,∴DH=15,在Rt△ADH中,AH=DHtan37°≈150.75=20,∴AB=AH-BH=20-8.65≈11.4(米).答:AB的长度为11.4米.[名师预测]1.∠A,∠B都是锐角△ABC的内角,cosA-32+sinB-322=0,则∠C的度数是(D)A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由题意得cosA-32=0,sinB-32=0,则cosA=32,sinB=32,故∠A=30°,∠B=60°,则∠C=180°-30°-60°=90°.2.坡比常用来反映斜坡的倾斜程度,如图所示,斜坡AB的坡比为(C)8\nA.1∶3B.3∶1C.1∶22D.22∶1【解析】∵AB=3,BC=1,∠C=90°,∴AC=32-12=22,∴斜坡AB的坡比为BCAC=1∶22.3.如图,点D(0,3),O(0,0),C(4,0)在☉A上,BD是☉A的一条弦,则sin∠OBD=(A)A.35B.34C.45D.12【解析】连接CD,∵D(0,3),C(4,0),∴OD=3,OC=4,∵∠COD=90°,∴CD=32+42=5,∵∠OBD=∠OCD,∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35.4.如图,在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE,在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°,∠CAD=60°,在屋顶C处测得∠DCA=90°.若房屋的高BC=6米,则树高DE的长度为(D)A.36米B.62米C.33米D.66米【解析】∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠CAB=45°,BC=6米,∴AC=2BC=62米;∵在Rt△ACD中,∠DCA=90°,∠CAD=60°,∴∠ADC=30°,∴AD=2AC=122米;∵在Rt△DEA中,∠AED=90°,∠EAD=60°,∴DE=AD·sin60°=66米.5.如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足是E,DE=6,sinA=35,则菱形ABCD的周长是 40 . 【解析】由已知可得△AED为直角三角形,则sinA=DEAD,即35=6AD,解得AD=10,故菱形ABCD的周长为10×4=40.6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA=15,则AD的长为 2 . 8\n【解析】过点D作DE⊥AB于点E,∵∠C=90°,AC=BC=6,∴AB=2AC=62,∠A=45°,在Rt△ADE中,设AE=x,则DE=x,AD=2x,在Rt△BED中,tan∠DBE=DEBE=15,∴BE=5x,∴x+5x=62,解得x=2,∴AD=2×2=2.7.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上,则C处与灯塔A的距离是 25 海里. 【解析】根据题意,∠BCD=30°,∵∠ACD=60°,∴∠ACB=30°+60°=90°,∵∠CBA=75°-30°=45°,∴△ABC为等腰直角三角形,∵BC=50×0.5=25,∴AC=BC=25(海里).8.计算:2cos30°-(2022+π)0+|3tan30°-2|.解:原式=2×32-1+|3-2|=3-1+2-3=1.9.如图,为了测量建筑物AB的高度,在D处竖立标杆CD,标杆的高是2m,在DB上选取观测点E,F,从点E测得标杆和建筑物的顶部C,A的仰角分别为58°,45°.从点F测得C,A的仰角分别为22°,70°.求建筑物AB的高度.(结果精确到0.1m,参考数据:tan22°≈0.40,tan58°≈1.60,tan70°≈2.75)解:在Rt△CED中,∠CED=58°,∴DE=CDtan58°=2tan58°,在Rt△CFD中,∠CFD=22°,∴DF=CDtan22°=2tan22°,∴EF=DF-DE=2tan22°-2tan58°,同理EF=BE-BF=ABtan45°-ABtan70°,8\n∴ABtan45°-ABtan70°=2tan22°-2tan58°,解得AB≈5.9(米),答:建筑物AB的高度约为5.9米.10.如图,学校的实验楼对面是一栋教学楼,小敏在实验楼的窗户C处测得教学楼顶部D的仰角是18°,教学楼底部B的俯角是20°,量得实验楼与教学楼之间的距离是AB=30m.(1)求∠BCD的度数;(2)求教学楼的高BD.(结果精确到0.1m,参考数据:tan18°≈0.32,tan20°≈0.36)解:(1)过点C作CE⊥BD于点E,∴∠DCE=18°,∠BCE=20°,∴∠BCD=∠DCE+∠BCE=18°+20°=38°.(2)由已知得CE=AB=30m,在Rt△CBE中,BE=CE×tan20°≈30×0.36=10.80(m),在Rt△CDE中,DE=CE×tan18°≈30×0.32=9.60(m),∴教学楼的高BD=BE+DE=10.80+9.60=20.4(m).答:教学楼的高为20.4m.8
