课时训练(二十七) 圆的有关概念与性质|夯实基础|1.☉O的半径为5cm,点A到圆心O的距离OA=3cm,则点A与☉O的位置关系为( )A.点A在☉O上B.点A在☉O内C.点A在☉O外D.无法确定2.[2022·黄石]如图27-9所示,☉O的半径为13,弦AB的长度是24,ON⊥AB,垂足为N,则ON的长为( )图27-9A.5B.7C.9D.113.如图27-10,已知半径OD与弦AB互相垂直,垂足为C.若AB=8cm,CD=3cm,则☉O的半径为( )图27-10A.256cmB.5cmC.4cmD.196cm4.如图27-11,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,连接OC,OD,则下列结论不一定正确的是( )图27-1115\nA.CE=DEB.AE=OEC.BC=BDD.△OCE≌△ODE5.[2022·聊城]如图27-12,在☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )图27-12A.25°B.27.5°C.30°D.35°6.[2022·南充]如图27-13,BC是☉O的直径,A是☉O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是( )图27-13A.58°B.60°C.64°D.68°7.[2022·济宁]如图27-14,点B,C,D在☉O上,若∠BCD=130°,则∠BOD的度数是( )图27-14A.50°B.60°C.80°D.100°15\n8.[2022·青岛]如图27-15,点A,B,C,D在☉O上,∠AOC=140°,B是AC的中点,则∠D的度数是( )图27-15A.70°B.55°C.35.5°D.35°9.[2022·包头样题二]如图27-16,在☉O中,AC∥OB,∠BAC=25°,则∠ADB的度数为( )图27-16A.55°B.60°C.65°D.70°10.[2022·衢州]如图27-17,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F.若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( )图27-17A.3cmB.6cmC.2.5cmD.5cm11.[2022·广州]如图27-18,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )15\n图27-18A.AD=2OBB.CE=EO C.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD12.如图27-19,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE∶S△CDB的值等于( )图27-19A.1∶2B.1∶3C.1∶2D.2∶313.[2022·无锡]如图27-20,点A,B,C都在☉O上,OC⊥OB,点A在劣弧BC上,且OA=AB,则∠ABC= °. 图27-2014.[2022·杭州]如图27-21,AB是☉O的直径,C是半径OA的中点,过点C作DE⊥AB,交☉O于点D,E,过点D作直径DF,连接AF,则∠DFA= °. 15\n图27-2115.[2022·烟台]如图27-22,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点O,A,B,C在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点O为原点建立直角坐标系,则过A,B,C三点的圆的圆心坐标为 . 图27-2216.[2022·包头样题三]如图27-23,四边形ABCD内接于☉O,四边形ABCO是平行四边形,则∠ADC= °. 图27-2317.[2022·青山区二模]如图27-24,四边形ABCD是菱形,☉O经过点A,C,D,与BC相交于点E,连接AC,AE.若∠D=78°,则∠EAC= °. 图27-2418.[2022·临沂]如图27-25,在△ABC中,∠A=60°,BC=5cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形片的直径是 cm. 图27-2515\n19.[2022·包头]如图27-26,A,B,C为☉O上的三个点,∠BOC=2∠AOB,∠BAC=40°,则∠ACB= °. 图27-2620.[2022·青山区三模]如图27-27,在平行四边形ADBO中,☉O经过点A,D,B,如果☉O的半径OA=4,那么弦AB= . 图27-2721.[2022·昆区一模]如图27-28,在☉O中,CD是直径,弦AB⊥CD,垂足为E,连接BC.若AB=22,∠BCD=30°,则☉O的半径为 . 图27-2822.如图27-29,AB,CD是☉O中互相垂直且相等的两条弦,垂足为E.若AE=3,BE=1,则☉O的半径为 . 图27-2923.[2022·包头样题一]如图27-30,已知A,B,C,D是☉O上的四个点,AB=AD,BC为☉O的直径,AC交BD于点E.若15\nBC=6,AE·AC=4,则AC的长为 . 图27-3024.[2022·东河区二模]如图27-31,MN是☉O的直径,MN=4,∠AMN=40°,B为AN的中点,P是直径MN上的一个动点,则PA+PB的最小值为 . 图27-3125.[2022·安徽]如图27-32,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹,不写作法);15\n(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.图27-3226.[2022·无锡]如图27-33,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cosB=35,求AD的长.图27-3327.[2022·青山区二模]已知:如图27-34,△ABC内接于☉O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交☉O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连接AD.(1)求证:∠DAC=∠DBA;(2)求证:P是线段AF的中点;(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求☉O的半径和DF的长.15\n图27-34|拓展提升|28.[2022·包头样题一]如图27-35,AB为☉O的直径,AC交☉O于点E,BC交☉O于点D,CD=BD,∠C=67.5°.下列结论:①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE;④CE·AB=2BD2,其中正确的结论是( )图27-35A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④29.[2022·岳阳]如图27-36,☉O为等腰三角形ABC的外接圆,直径AB=12,P为BC上任意一点(不与点B,C重合),直线CP交AB的延长线于点Q,☉O在点P处的切线PD交BQ于点D,下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 15\n图27-36①若∠PAB=30°,则BP的长为π;②若PD∥BC,则AP平分∠CAB;③若PB=BD,则PD=63;④无论点P在BC上的位置如何变化,CP·CQ为定值.15\n参考答案1.B 2.A 3.A4.B [解析]∵AB⊥CD,∴CE=DE,BC=BD.∵CO=DO,∠OEC=∠OED,OE=OE,∴Rt△OCE≌Rt△ODE.不能确定AE和OE的关系.故选B.5.D [解析]∵∠A=60°,∠ADC=85°,∴∠B=∠ADC-∠A=85°-60°=25°,∴∠O=2∠B=2×25°=50°,∴∠C=∠ADC-∠O=85°-50°=35°.6.A [解析]∵BC是☉O的直径,∴∠CAB=90°.∵OA=OC,∠OAC=32°,∴∠C=∠OAC=32°,∴∠B=90°-32°=58°,故选A.7.D [解析]先找出圆周角∠BCD所对的优弧度数为260°,再结合图形确定劣弧BD的度数为100°,从而根据圆心角∠BOD与劣弧BD的度数之间的相等关系,得出∠BOD的度数是100°,因此,本题应该选D.8.D 9.C 10.D11.D [解析]如图,连接OD.∵AD是弦,且不是☉O的直径,OB是☉O的半径,∴AD≠2OB,故A选项不正确;∵AB⊥CD,∴BC=BD,∴∠BOC=∠BOD=2∠BAD=40°,故D选项正确;∵∠OCE=180°-90°-40°=50°,∴∠BOC≠∠OCE,∴CE≠EO,故B,C选项不正确.12.D15\n13.15 [解析]∵OC⊥OB,OB=OC,∴∠CBO=45°.∵OB=OA=AB,∴∠ABO=60°,∴∠ABC=∠ABO-∠CBO=60°-45°=15°.14.30 [解析]∵AB⊥DE,且C为OA的中点,∴OC=AC=12OA=12OD,∴∠DOC=60°.又∵OA=OF,∴∠OAF=∠DFA=30°.15.(-1,-2) 16.60 17.27 18.103319.20 [解析]∵∠BAC=40°,∴由圆周角定理可知∠BOC=2∠BAC=80°.又∵∠BOC=2∠AOB,∴∠AOB=40°.再次利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=40°,∴∠ACB=20°.20.43 21.263 22.523.42 24.2325.解:(1)如图①所示.(2)如图,连接OE,OC,CE.设OE与BC交于点D,由(1)知AE为∠BAC的平分线,∴∠BAE=∠CAE,∴BE=EC.根据垂径定理的推论知OE⊥BC,则DE=3.15\n∵OE=OC=5,∴OD=OE-DE=2.在Rt△ODC中,DC=OC2-OD2=52-22=21.在Rt△DEC中,CE=DE2+DC2=32+(21)2=30,∴弦CE的长为30.26.解:如图所示,延长AD,BC交于点E.∵四边形ABCD内接于☉O,∠A=90°,∴∠EDC=∠B,∠ECD=∠A=90°,∴△ECD∽△EAB,∴CDAB=ECEA.∵cos∠EDC=cosB=35,∴CDED=35.∵CD=10,∴10ED=35,∴ED=503,∴EC=ED2-CD2=(503) 2-102=403,∴1017=403503+AD,∴AD=6.27.解:(1)证明:∵BD平分∠CBA,15\n∴∠CBD=∠DBA.∵∠DAC与∠CBD都是CD所对的圆周角,∴∠DAC=∠CBD,∴∠DAC=∠DBA.(2)证明:如图,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵DE⊥AB于点E,∴∠DEB=90°,∴∠1+∠3=∠5+∠3=90°,∴∠1=∠5=∠2,∴PD=PA.∵∠4+∠2=∠1+∠3=90°,且∠1=∠2,∴∠3=∠4,∴PD=PF,∴PA=PF,即P是线段AF的中点.(3)∵∠CBD=∠DBA,∴CD=AD.∵CD=3,∴AD=3.∵∠ADB=90°,BD=4,∴AB=5,故☉O的半径为2.5.∵∠FAB=∠FDC,∠ABF=∠ACD,∴△DCF∽△ABF,∴DCAB=DFAF,即35=DF32+DF2,15\n∴DF=94.28.D29.②③④ [解析]①∵∠PAB=30°,∴BP所对的圆心角为60°,BP的长为60×π×6180=2π,故①错误;②连接OP.∵PD是☉O的切线,∴OP⊥PD.∵PD∥BC,∴OP⊥BC,∴CP=PB,∴∠PAC=∠PAB,故②正确;③若PB=BD,则∠BPD=∠BDP.∵OP⊥PD,∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP,∴∠BOP=∠BPO,∴BP=BO=PO=6,即△BOP是等边三角形,∴PD=3OP=63,故③正确;④∵AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=∠APC.又∵∠ACP=∠QCA,∴△ACP∽△QCA,∴CPCA=CACQ,即CP·CQ=CA2(定值),故④正确.15
