方程的应用一、选择题1、（2022年聊城莘县模拟）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是()A、B、C、D、答案：A2、(2022年江苏南京一模)甲、乙、丙、丁四人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，购买的数量及总价分别如下表所示．若其中一人的总价算错了，则此人是（）甲乙丙丁笔记本（本）18152427钢笔（支）30254045总价（元）396330528585A．甲B．乙C．丙D．丁答案：D3、2022年11月中国共产党第十八次全国代表大会报告中提出“2022年实现国内生产总值和城乡居民人均收入比2022年翻一番”.假设2022年某地城乡居民人均收入为3万元，到2022年该地城乡居民人均收入达到6万元，设每五年的平均增长率为a％,下列方程正确的是【B】A.3(1+a％)=6B.3(1+a%)=6C.3+3(1+a％)+3(1+a％)=6D.3(1+2a％)=64、（2022凤阳县县直义教教研中心）凤阳县对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（）．A． B．C． D．5.（2022年唐山市二模）某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为米，则可列方程为（）A(－10)=200B2+2(－10)=200C(+10)=200D2+2(+10)=200答案：C6．（2022年广西梧州地区一模）17\n一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计一共握了28次手，这次聚会的人数是(A)5人(B)6人(C)7人(D)8人答案：Ｄ7.（2022上海黄浦二摸）一件衬衫原价是90元，现在打八折出售，那么这件衬衫现在的售价是（A）82元（B）80元（C）72元（D）18元答案：C二、填空题1、（2022重庆一中一模）为打通一条隧道，某建工集团安排甲、乙两个施工队分别从隧道的东西两头开挖，原计划两队同时开始同时结束，且甲、乙两队每天的工程进度之比是8:5．开工10天后，甲队将进度提高一半，乙队将进度提高20%，则甲队比乙队早8天完工；若开工8天后，甲队将进度提高25%，乙队进度保持不变，则甲队比乙队早_______天完工．【答案】102、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）某公司4月份的利润为160万元，要使6月份的利润达到250万元，设平均每月增长的百分率是x，则可列方程为.160(1+x)2=2503、（2022年杭州拱墅区一模）某药品原价是100元，经连续两次降价后，价格变为81元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是；答案：10%4、10.（2022上海黄浦二摸）方程的解是▲.答案：5．（2022年上海徐汇区二摸）方程的解是▲．答案：或APCBM第12题图N三、解答题1．（2022年安徽初中毕业考试模拟卷一）为了迎接“中国第三届花鼓灯艺术节”的胜利召开，组委会准备用32000元和72000元分别购进甲、乙两种服装，已知需要的乙种服装数量是甲种服装的2倍，经市场调查发现，乙种服装每件售价比甲种贵20元．（1）求这两种服装每件售价分别为多少元？17\n（2）由于组委会采购量大，供应商决定按组委会所购衬衫的平均单价的八折出售给组委会，求每件服装的统一售价．答案：（1）设甲种服装每件元，则乙种服装元，由题意，得，解得，经检验是原方程的根．所以甲、乙两种服装每件售价分别为160元/件，180元/件．（2）因为（件），（件），所以平均单价为：所以每件服装的统一售价为（元）．2.（2022年北京房山区一模）列方程（组）解应用题：2022年3月5日“全国人民代表大会”和“政协全国委员会”在北京召开．从某地到北京，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时．这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车全程二氧化碳的排放总量多54千克，求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量．答案：解法一：设飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是x千克和y千克.-------1分根据题意，得---------------------------------------------------2分解得：-------------------------------------------------4分答:飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克.---5分解法二：设汽车每小时的二氧化碳排放量是千克，则飞机每小时的二氧化碳排放量是(70-)千克-------------------------------------------------------1分根据题意,得3(70-)-9=54----------------------------------------------------2分解得：=13-------------------------------------------------------317\n分70-=57 ------------------------------------------------------4分答:飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是57千克和13千克.-------5分3．（2022年北京龙文教育一模）某采摘农场计划种植两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：项目品种AB年亩产（单位：千克）12002000采摘价格（单位：元/千克）6040(1)若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为46000O元，那么两种草莓各种多少亩?(2)若要求种植种草莓的亩数不少于种植种草莓的一半，那么种植种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多答案：解：设该农场种植种草莓亩，种草莓亩………1分依题意，得：…………2分解得：,……………………………………3分(2)由，解得设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，则：……4分∴当时，y有最大值为464000………………………………5分答：(l)A种草莓种植2.5亩,B种草莓种植3.5亩．(2)若种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多.4．（2022年北京顺义区一模）某商店销售一种旅游纪念品，3月份的营业额为2000元，4月份该商店对这种纪念品打8折销售，结果销售量增加30件，营业额增加800元，求该种纪念品3月份每件的销售价格是多少？答案：解：设该种纪念品3月份每件的销售价格为元，……………………………1分根据题意，列方程得17\n………………………………………………3分解之得．…………………………………………………………4分经检验是所得方程的解．答：该种纪念品3月份每件的销售价格是50元．…………………………5分解法二：设3月份销售这种纪念品件，则4月份销售（+30）件…………1分根据题意，列方程得……………………………………………3分解之得．………………………………………………4分经检验是所得方程的解答：该种纪念品3月份每件的销售价格是（元）…………5分5、(2022年安徽省模拟六)如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是60m．若矩形的面积为400m2，求AB的长度.答案：解：设AB的长度为xm，则BC的长为（60－2x）m依题意，得：x(60－2x)=400（4分）解之，得：x1=20，x2=10（舍去）（7分）答：AB的长度是20m.（8分）6、(2022年安徽省模拟七)为了迎接“安徽省第十届花鼓灯会”的胜利召开，组委会准备用32000元和72000元分别购进甲、乙两种服装，已知需要的乙种服装数量是甲种服装的2倍，经市场调查发现，乙种服装每件售价比甲种贵20元．（1）求这两种服装每件售价分别为多少元？（2）由于组委会采购量大，供应商决定按组委会所购衬衫的平均单价的八折出售给组委会，求每件服装的统一售价．答案：解：（1）设甲种服装每件元，则乙种服装元，由题意，得，（3分）解得，经检验是原方程的根．所以甲、乙两种服装每件售价分别为160元/件，180元/件．（5分）17\n（2）因为（件），（件），所以平均单价为：（7分）所以每件服装的统一售价为（元）．（8分）答案：解：设前一小时的行驶速度为xkm/h．根据题意，得1＋＝－．解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的根．答：出发后第一小时内的行驶速度是60km/h．…………………………7分（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过38000元，且生产B产品不少于28件，问符合条件的生产方案有哪几种？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费200元，生产一件B产品需加工费300元，应选择哪种生产方案，使生产这50件产品的成本最低？（成本=材料费+加工费）【答案】解：（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，则，解得，所以甲材料每千克15元，乙材料每千克25元；（2）设生产A产品m件，生产B产品（50﹣m）件，则生产这50件产品的材料费为15×30m+25×10m+15×20（50﹣m）+25×20（50﹣m）=﹣100m+40000，由题意：﹣100m+40000≤38000，解得m≥20，又∵50﹣m≥28，解得m≤22，∴20≤m≤22，∴m的值为20，21，22，共有三种方案，如下表：A（件）202122B（件）302928则W=﹣100m+40000+200m+300（50﹣m）=﹣200m+55000，∵W随m的增大而减小，而m=20，21，22，∴当m=22时，总成本最低，此时W=﹣200×22+55000=50600元．10、（2022云南勐捧中学二模）（本小题6分）甲乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？【答案】解：设每天加工个玩具，那么乙每天加工（）个玩具，由题意得：，解得：经检验：是原方程的根，。答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具。17\n11、（2022云南勐捧中学三模）(本小题6分)甲乙两个工程队合修一条公路，甲工程队比乙工程队每天多修50米，甲工程队修900米所用时间和乙工程队修600米所用时间相等，问甲乙两个工程队每天分别修多少米？【答案】解：设乙工程队每天修x米，则甲工程队每天修（x+50）米．=，解得x=100，经检验x=100是原方程的解，∴x+100=150．答：乙工程队每天修100米，则甲工程队每天修150米．、12、(2022年广东省中山市一模)中山市某施工队负责修建1800米的绿道．为了尽量减少施工对周边环境的影响，该队提高了施工效率，实际工作效率比原计划每天提高了20%，结果提前两天完成．求实际平均每天修绿道的长度？解：解：设原计划平均每天修绿道的长度为米，则………1分………4分解得………6分经检验：是原方程的解，且符合实际………7分150×1.2=………8分答：实际平均每天修绿道的长度为米．………9分13、（2022温州模拟）23．(本题满分12分)由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的Iphone4手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的Iphone4手机，那么一月销售额为9万元，二月销售额只有8万元．（1）一月Iphone4手机每台售价为多少元？（2）为了提高利润，该店计划三月购进Iphone4s手机销售，已知Iphone4每台进价为3500元，Iphone4s每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？3）该店计划4月对Iphone4的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台Iphone4手机再返还顾客现金a元，而Iphone4s按销售价4400元销售，如要使（2）中所有方案获利相同，a应取何值？【答案】解：（1）解：设二月Iphone4手机每台售价为x元，由题意得 ……………2分解得x=4000(元) ……………1分 经检验：x=4000是此方程的根. X+500=4500…………1分（不检验扣1分）17\n故一月Iphone4手机每台售价为4500元（2）设购进手机m台，由题意得7400＜3500m+4000(20-m)＜7600-------------2分解得8＜m＜12，因为m只能取整数M取8,9,10,11,12共有5种进货方案。---------2分（3）设总获利为w元则w=(500-a)m+400(20-m)=(100-a)+8000------------2分当a=100时（2）中所有方案获利相同。--------------------2分14、（2022重庆一中一模）22．某体育用品专卖店今年3月初用4000元购进了一批“中考体能测试专用绳”，上市后很快售完．该店于3月中旬又购进了和第一批数量相同的专用绳，由于第二批专用绳的进价每根比第一批提高了10元，结果进第二批专用绳共用了5000元．（1）第一批专用绳每根的进货价是多少元？（2）若第一批专用绳的售价是每根60元，为保证第二批专用绳的利润率不低于第一批的利润率，那么第二批专用绳每根售价至少是多少元？（提示：利润=售价进价，利润率=）【答案】解：（1）设第一批绳进货时的价格为每根元，由题意得：.................3分解得：............4分经检验，是所列方程的根，且符合题意….......5分答：第一批专用绳的进货价格是每根40元．（2）设第二批专用绳每根的售价为元，由题意得：......8分解得：．......9分答：第二批专用绳每根的售价至少为75元．......10分15、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(每小题8分，共16分)(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．CABDEF第17(1)题图(2)一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？(1)证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，17\n∴DEAC，EFAB，…………2分∴四边形ADEF为平行四边形．…………4分又∵AC＝AB，∴DE＝EF．…………6分∴四边形ADEF为菱形．…………8分(2)解：设江水的流速为x千米/时，依题意，得：…………1分＝，………………4分解得：x＝5．………………6分经检验：x＝5是原方程的解．…………7分答：江水的流速为5千米/时．…………8分16、(2022年福州市初中毕业班质量检查)(12分)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝8，DE＝2，线段DE在AC边上运动(端点D从点A开始)，速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止．F为DE中点，MF⊥DE交AB于点M，MN∥AC交BC于点N，连接DM、ME、EN．设运动时间为t秒．(1)求证：四边形MFCN是矩形；(2)设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；(3)在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似，求t的ABCDEMFNABCDEMFN第21题图备用图(1)证明：∵MF⊥AC，∴∠MFC＝90°．…………1分∵MN∥AC，∴∠MFC＋∠FMN＝180°．∴∠FMN＝90°．…………2分∵∠C＝90°，∴四边形MFCN是矩形．…………3分(若先证明四边形MFCN是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2)解：当运动时间为t秒时，AD＝t，∵F为DE的中点，DE＝2，∴DF＝EF＝DE＝1．17\n∴AF＝t＋1，FC＝8－(t＋1)＝7－t．∵四边形MFCN是矩形，∴MN＝FC＝7－t．…………4分又∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A＝45°．∴在Rt△AMF中，MF＝AF＝t＋1，…………5分∴S＝S△MDE＋S△MNE＝DE·MF＋MN·MF＝×2(t＋1)＋(7－t)(t＋1)＝－t2＋4t＋…………6分∵S＝－t2＋4t＋＝－(t－4)2＋∴当t＝4时，S有最大值．…………7分(若面积S用梯形面积公式求不扣分)(3)解：∵MN∥AC，∴∠NME＝∠DEM．…………8分①当△NME∽△DEM时，∴＝．…………9分∴＝1，解得：t＝5．…………10分②当△EMN∽△DEM时，∴＝．…………11分∴EM2＝NM·DE．在Rt△MEF中，ME2＝EF2＋MF2＝1＋(t＋1)2，∴1＋(t＋1)2＝2(7－t)．解得：t1＝2，t2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t为2秒或5秒时，以E、M、N为顶点的三角形与△DEM相似．……12分17、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（10分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢利市场，该店应按原售价的几折出售？17\n18、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知：直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.（1）求抛物线的解析式;（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P，使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）：由题意得，A（3，0），B（0，3）∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入得方程组解得：∴抛物线的解析式为……………………………（4分）（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形,如图所示，若△ABO∽△AP1D，则∴DP1=AD=4,∴P1若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD=4,17\n∵△ABO为等腰三角形,∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=P2M，即点M与点C重合∴P2（1，2）……………………（8分）（3）如图设点E，则①当P1(-1,4)时，S四边形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：,即∵△=(-4)2-4×7=-12<0∴此方程无解②当P2（1，2）时，S四边形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=∴∴∵点E在x轴下方∴代入得：即，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E。………………………………（14分）19、（2022年湖北宜昌调研）2022年YC市人均绿地面积为10平方米，绿地率（即绿地面积占全市总面积的百分数）为m，与2022年相比，2022年YC市人口增加的百分数是人均绿地面积增加的百分数的n倍，而人口增加的百分数恰为2022年绿地率与2022年绿地率之差.设2022年YC市人口数量是a.（1）用a，m表示2022年YC市总面积；（2）用m，n表示2022年YC市人均绿地面积，并按当年的实际数据m=35%，n=0.57求2022年YC市人均绿地面积（精确到1平方米）.第1问1分，第2问列出方程6分，解出方程8分，代值计算2分。17\n解：2022年人均绿地面积为平方米20.（2022年吉林沈阳模拟）（6分）某市在建设“美丽城市”过程中，进行道路改造，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.甲、乙根据题意得：.解得.检验:是原分式方程的解.答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.21、(2022珠海市文园中学一模）某工厂加工某种产品，机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量.答案：解：设手工每小时加工产品的数量为x件(1分)（2分）解之得x=27（1分）经检验，x=27符合题意且符合实际（1分）答：手工每小时加工产品的数量是27件。（1分）22．（2022年广西钦州市四模）2022年1月1日，全球第三大自贸区——中国——东盟自由贸易区正式成立，标志着该贸易区开始步入“零关税”时代.广西某民营边贸公司要把240吨白砂糖运往东盟某国的、两地，现用大、小两种货车共20辆，恰好能一次性装完这批白砂糖.已知这两种货车的载重量分别为15吨/辆和10吨/辆，运往地的运费为：大车630元/辆，小车420元/辆；运往地的运费为：大车750元/辆，小车550元/辆.17\n（1）求这两种货车各用多少辆；（2）如果安排10辆货车前往地，某余货车前往地，且运往地的白砂糖不少于115吨.请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费.．解（1）解法一：设大车用辆，小车用辆.依据题意，得…………………………………………………………………（2分）解得大车用8辆，小车用12辆.……………………………………………………（4分）解法二：设大车用辆，小车用辆.依题意，得…………………………………………………………（2分）解得.大车用8辆，小车用12辆.……………………………………………………（4分）（2）设总运费为元，调往地的大车辆，小车辆；调往地的大车辆，小车辆.则……………………………………………………………………（5分），即：（为整数），………………………………（7分）………………………………………………………………………………（8分）又随的增大而增大，当时，最小.当时，…………………………………………（9分）因此，应安排3辆大车和7辆小车前往地；安排5辆大车和5辆小车前往地.最少运费为11330元.……………………………………………………………………………（10分）23.（2022上海黄浦二摸）（本题满分10分）解方程组：.答案：解：由（2）得：，17\n则或，---------------------------------------------------------------------（2分）将代入（1），得，则，.-------------------------------------------------------------------------（3分）将代入（1），得，则，.-----------------------------------------------------------------（3分）所以方程组的解是，，，.--------（2分）24．（2022年上海静安区二摸）（本题满分10分）解方程组：答案：25．解：由（1）得：，………………………………………………………（2分）由（2）得：……………………………………………（2分）原方程组可化为……（2分）解得原方程组的解是……………………（4分）17\n26．（2022年上海静安区二摸）（本题满分10分）一辆高铁列车与另一辆动车组列车在1320公里的京沪高速铁路上运行时，高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99公里，用时少3小时，求这辆高铁列车全程的运行时间和平均速度．答案：22．解：设这辆高铁列车全程的运行时间为小时，…………………………………（1分）则那辆动车组列车全程的运行时间为小时，…………………………（1分）∴，…………………………………………………………（3分）．………………………………………………………………（1分）………………………………………………………………（1分）………………………………………………………………（1分）经检验：它们都是原方程的根，但不符合题意．当时，．………………………………………………………………（1分）答：这辆高铁列车全程的运行时间为5小时，平均速度264公里/小时．……（1分）27．（2022年上海闵行区二摸）（本题满分10分）解方程组：答案：解：由，得，．………………（2分）原方程组化为……………………………………（4分）解这两个方程组，得原方程组的解是…………………………………………………（4分）17\n17
