方案设计一．选择题二．填空题三．解答题1．（2022•东营，22，10分）在东营市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3．5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2．5万元．（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元?（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，但不低于28万元，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低．分析：（1）设电脑、电子白板的价格分别为x，y元，根据等量关系：1台电脑+2台电子白板凳3．5万元，2台电脑+1台电子白板凳2．5万元，列方程组即可．（2）设购进电脑x台，电子白板有(30－x)台，然后根据题目中的不等关系列不等式组解答．解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：…………………………3分解得：…………………………4分答：每台电脑0．5万元，每台电子白板1．5万元．…………………………5分（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30－a）台，则…………………………6分解得：，即a=15，16，17．…………………………7分故共有三种方案：方案一：购进电脑15台，电子白板15台．总费用为万元；方案二：购进电脑16台，电子白板14台．总费用为万元；方案三：购进电脑17台，电子白板13台．总费用为万元；5\n所以，方案三费用最低．…………………………10分点拨：（1）列方程组或不等式组解应用题的关键是找出题目中存在的等量关系或不等关系。（2）设计方案题一般是根据题意列出不等式组，求不等式组的整数解。2．（2022·潍坊，20，10分）为增强市民的节能意识，我市试行阶梯电价．从2022年开始，按照每户每年的用电量分三个档次计费，具体规定见下图．小明统计了自己2022年前5个月的实际用电量为1300度，请帮助小明分析下面问题．（1）若小明家计划2022年全年的用电量不超过2520度，则6至12月份小明家平均每月用电量最多为多少度？（保留整数）（2）若小明家2022年6月至12月份平均每月用电量等于前5个月的平均每月用电量，则小明家2022年应交总电费多少元？答案：（1）设小明家6月至12月份平均每月用电量为x度，根据题意的：1300＋7x≤2520，解得x≤≈174．3所以小明家6至12月份平均每月用电量最多为174度．（2）小明家前5个月平均每月用电量为1300÷5＝260（度）．全年用电量为260×12＝3120（度）．因为2520＜3120＜4800．所以总电费为2520×0．55＋（3120－2520）×0．6＝1386＋360＝1746（元）．所以小明家2022年应交总电费为1746元．考点：不等式的应用与分段计费问题点评：根据题意弄清关系，列出不等式，求出整数解是解第一小题的关键．解决第二小题则需要找出正确的计量电费的档位，分段算出全年应缴总电费．3.（2022四川绵阳，23，12分）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？5\n（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍。假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？解：（1）设前4个月自行车销量的月平均增长率为x,根据题意列方程：64（1+x）2=100,解得x=-225%（不合题意，舍去）,x=25%100×(1+25%)=125(辆)答：该商城4月份卖出125辆自行车。（2）设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得不等式组2x≤≤2.8x，解得12.5≤x≤15,自行车辆数为整数，所以13≤x≤15,销售利润W=（700-500）×+（1300-1000）x.整理得：W=-100x+12000，∵W随着x的增大而减小,∴当x=13时，销售利润W有最大值，此时，=34，所以该商城应进入A型车34辆，B型车13辆。4.（2022四川遂宁，23，10分）四川省第十二届运动会将于2022年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．考点：一次函数的应用．分析：（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．解答：解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；（2）由题意，得当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；5\n当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．点评：本题考查了根据条件求一次函数的解析式的运用，运用不等式求设计方案的运用，解答本题时根据数量关系求出解析式是关键，建立不等式计算优惠方案是难点．5．(2022湖北荆门，22，10分)为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部分提出了一个购买商品房的政策性方案．人均住房面积(平方米)单价(万元/平方米)不超过30(平方米)0.3超过30平方米不超过m(平方米)(45≤m≤60)0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：(1)若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；(2)设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；(3)若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60时，求m的取值范围．【思路分析】房款＝人均住房面积×家庭人口数×单价．而单价与人均住房面积有关．【解】解：(1)三口之家应缴购房款为0.3×90＋0.5×30＝42(万元)．(2)①当0≤x≤30时，y＝0.3×3x＝0.9x；②当30＜x≤m时，y＝0.9×30＋0.5×3×(x－30)＝1.5x－18；③当x＞m时，y＝1.5m－18＋0.7×3×(x－m)＝2.1x－18－0.6m．y＝(45≤m≤60)(3)①当50≤m≤60时，y＝1.5×50－18＝57(舍去)；②当45≤m＜50时，y＝2.1×50－0.6m－18＝87－0.6m．∵57＜87－0.6m≤60，∴45≤m＜50．综合①、②得45≤m＜50．【方法指导】此题是分段函数的应用．分段函数应分类讨论，注意自变量的取值范围以及在相应范围内所对应的函数解析式．6（2022四川泸州，21，7分）某中学为提升学生的课外阅读能力，拓展学生的知识面，决心打造“书香校园”，计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍，组建中、小型两类图书角共30个．已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．（1）符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来；（2）若组建一个中型图书角的费用是860元，组建一个小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？【答案】解：（1）设组建中型图书角个，则组建小型图书角为（30－）个．由题意得，解得．5\n由于只能取整数，的取值是18，19，20．当＝18时，30－＝12；当＝19时，30－＝11；当＝20时，30－＝10．故有三种组建方案：方案一，中型图书角18个，小型图书角12个；方案二，中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，中型图书角20个，小型图书角10个．（2）方案一的费用是：86018+57012＝22320（元）；方案二的费用是：860×19+57011＝22610(元)；方案三的费用是：86020+57010＝22900（元）．故方案一的费用最低，最低费用是22320元．【解析】（1）设组建中型两类图书角x个、小型两类图书角（30－x）个，由于组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本；组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．若组建一个中型图书角的费用是860本，组建一个小型图书角的费用是570本，因此可以列出不等式组并求得其整数解．（2）根据（1）求出的数，分别计算出每种方案的费用．【方法指导】此题主要考查了一元一次不等式组和一次函数在实际生活中的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系列出不等式组解决问题，同时也利用了一次函数．7.(2022湖南邵阳,24,8分)雅安地震后，政府为安置灾民，从某厂调拔了用于搭建板房的板材5600m3和铝材2210m3,计划用这些材料在某安置点搭建甲、乙两种规格的板房共100间.若搭建一间甲型板房或一间乙型板房所需板材和铝材的数量如下表所示：板房规格板材数量(m3)铝材数量(m3)甲型4030乙型6020请你根据以上信息，设计出甲、乙两种板房的搭建方案.【答案】：设搭建甲种板房x间，则搭建乙种板房(100–x)间.根据题意，得.解这个不等式组，得20≤x≤21.因为x是整数，所以x=20,或x=21.所以有两种方案：方案1甲种板房搭建20间，乙种板房搭建80间，方案2甲种板房搭建21间，乙种板房搭建79间．【方法指导】：此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系列出不等式组，注意x只能取整数．5
