第17讲等腰三角形与直角三角形考点1等腰三角形与等边三角形等腰三角形概念有两条边①的三角形是等腰三角形.性质1.等腰三角形是轴对称图形，一般有②条对称轴.2.性质1：等腰三角形的两底角③(简写成“等边对④”).3.性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的⑤、底边上的⑥相互重合(简写成“三线合一”).判定等角对⑦.等边三角形概念有⑧条边相等的三角形叫做等边三角形.性质1.具有一般等腰三角形的所有性质；2.等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于⑨；3.等边三角形是轴对称图形，共有⑩条对称轴.判定1.三个角都⑪的三角形是等边三角形；2.有一个角是⑫的等腰三角形是等边三角形.考点2直角三角形概念有一个角是⑬的三角形叫做直角三角形.性质1.直角三角形的两个锐角⑭.2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的⑮.3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的⑯.4.勾股定理：在直角三角形中，两条直角边a、b的等于斜边c的，即=c2.判定1.有一个角是或两个锐角的三角形是直角三角形.2.如果三角形一边上的中线等于这条边的，那么这个三角形为直角三角形.3.勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的等于第三边的，那么这个三角形是直角三角形.【易错提示】勾股定理应用的前提是这个三角形必须是直角三角形，解题时，只能在同一直角三角形时，才能利用它求第三边长.1.求等腰三角形腰上的高，在所给条件不确定的条件下，应按顶角为锐角和钝角两种情况来考虑：(1)当顶角为锐角时，腰上的高在三角形内部；(2)当顶角为钝角时，腰上的高在三角形外部.2.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法，应先确定最大边，然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.命题点1等腰三角形的性质与判定例1(2022·丽水)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是20.15\n【思路点拨】因为△ABC是等腰三角形，利用三线合一可得BD=CD，即BC=2CD=8，从而求出△ABC的周长.方法归纳：解答本题的关键是正确理解等腰三角形三线合一的内涵——由一推二.1.(2022·菏泽)如图，直线l∥m∥n，等边△ABC的顶点B、C分别在直线n和m上，边BC与直线n所夹锐角为25°,则∠α的度数为()A.25°B.45°C.35°D.30°2.(2022·河南)在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为.3.(2022·益阳)如图，将等边△ABC绕顶点A顺时针方向旋转，使边AB与AC重合得△ACD，BC的中点E的对应点为F，则∠EAF的度数是.命题点2直角三角形例2如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC中点，若DE＝5，求AB的长.【思路点拨】因为DE是直角三角形的中线，利用直角三角形的性质可以求出AC的长，从而求出AB的长.【解答】15\n方法归纳：若题中已知直角三角形的中线长时，通常利用直角三角形的性质来求边长.1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是()A.20B.10C.5D.2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B=60°，BC＝6.则AB的长为.3.如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=30°，AM是BC边上的中线，且AM=4.求△ABC的周长.(结果保留根号)命题点3勾股定理例3(2022·呼和浩特)如图所示，在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离.【思路点拨】作一条高线CD，构造直角三角形，利用∠CAB=120°和AC=30m求出CD和AD；然后在Rt△CDB中利用勾股定理求出DB的长.【解答】方法归纳：利用勾股定理解决实际问题的前提条件是有直角三角形，作垂线构造直角三角形是解决这类问题的关键.1.(2022·滨州)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()15\nA.4，5，6B.1.5，2，2.5C.2，3，4D.1，，32.(2022·安顺)如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行()A.8米B.10米C.12米D.14米3.(2022·宜宾)菱形的周长为20cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是cm.4.某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品.陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC=20cm，宽AB=16cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，……请你根据①②步骤解答下列问题：(1)找出图中∠FEC的余角；(2)计算EC的长.第1课时基础训练1.(2022·毕节)已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为()A.16B.20或16C.20D.122.(2022·成都)如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为()A.2B.3C.4D.53.(2022·宜昌)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°,以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=()A.30°B.45°C.60°D.90°15\n4.已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为()A.60°B.45°C.40°D.30°5.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,BD是∠ABC的平分线，CD=5cm,则AB的长为()A.5cmB.cmC.10cmD.cm6.(2022·南充)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为()A.30°B.36°C.40°D.45°7.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为()A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm8.(2022·乐山)如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D.则CD的长为()A.B.C.D.9.(2022·绵阳)如图，AC、BD相交于O，AB∥DC，AB=BC，∠D=40°，∠ACB=35°，则∠AOD=.15\n10.(2022·聊城)如图，在等边△ABC中，AB=6，点D是BC的中点.将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为.11.(2022·黔西南)如图，△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度.12.(2022·桂林)如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=.13.(2022·莆田)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是.14.(2022·宁波)为解决停车难的问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出个这样的停车位.(=1.4)15.(2022·衡阳)如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：△BED≌△CFD.15\n16.(2022·菏泽)在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D，过D作DE∥AC，交AB于E，若AB＝5，求线段DE的长.17.已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,点D在BC边上，且△ABD是等边三角形.若AB=2,求△ABC的周长.(结果保留根号)18.(2022·襄阳)如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②BE=CD；③OB=OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)15\n(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程.19.如图1，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F.(1)请写出图1中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由.(2)如图2，△ABC中∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F.这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由.第2课时能力训练1.等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为.2.已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为()A.45°B.75°C.45°或15°或75°D.60°3.(2022·荆门)如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以An为顶点的内角度数是()A.()n·75°B.()n-1·65°C.()n-1·75°D.()n·85°4.(2022·荆门)如图1，正方形ABCD的边AB、AD分别在等腰直角△AEF的腰AE、AF上，点C在△AEF内，则有DF=BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°<α<90°)后，连接BE、DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF=BE还成立吗？请说明理由.15\n5.(2022·自贡)如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.(1)求证：AE＝CF；(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小.6.(2022·泰安)如图∠ABC＝90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC=∠FCM;(2)AD与MC垂直吗？并说明理由.7.(2022·牡丹江)在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△15\nABD为等腰直角三角形，求线段CD的长.8.某课题学习小组对地图上的A、B、E、F、G、H、P、C八处地点进行观察、分析.如图所示，在讨论中得到了∠B=∠C=60°，B、F、H、C都在线段BC上，EF∥GH∥AC，PH∥GF∥AB的正确结论.接着又有两位同学各自提出了如下一个结论：甲：△ABC、△BEF、△FGH、△HPC均为等边三角形.乙：线路B→A→C与线路B→E→F→G→H→P→C一样长.(1)请分别指出甲、乙两位同学的结论是否正确？(2)将(1)中你认为正确的结论给予证明.9.(2022·河南)(1)问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE.填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是.(2)拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由.15\n10.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD、AC.(1)试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由.(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由.(3)如图3，若将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由.②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由.参考答案考点解读①相等②一③相等④等角⑤中线⑥高⑦等边⑧三⑨60°⑩三⑪相等⑫60°⑬直角⑭互余⑮一半⑯一半平方和平方a2+b2直角互余一半平方和平方各个击破例120题组训练1.C2.105°3.60°例2∵AD⊥BC，E是AC中点，DE＝5，∴AC=2DE=10.∵AB=AC，∴AB=10.题组训练1.C2.33.∵∠B=60°，∠C=30°，∴∠CAB=180°-∠B-∠C=90°.又∵AM是BC边上的中线，∴AM=BC.又∵AM=4，∴BC=2AM=8.在Rt△ABC中，∠C=30°，∴AB=BC=4，AC==4.∴△ABC的周长为AB+BC+AC=12+4.例3过点C作CD⊥AB，垂足为D.15\n∵AC=30m，∠CAB=120°，∴AD=15m，则CD=15m.在Rt△BDC中，BD==65(m)，∴AB=BD-AD=65-15=50(m).题组训练1.B2.B3.4.(1)∠CFE、∠BAF.(2)设EC=xcm.则EF=DE=(16-x)cm，AF=AD=20cm.在Rt△ABF中，BF==12cm，FC=BC-BF=20-12=8(cm).在Rt△EFC中，EF2=FC2+EC2，∴(16-x)2=82+x2，解得x=6.∴EC的长为6cm.整合集训第1课时基础训练1.C2.D3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.75°10.11.1512.313.1014.1715.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°.∵AB=AC，∴∠B=∠C.∵在△BED和△CFD中，∴△BED≌△CFD.16.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∴∠EAD＝∠ADE，∴AE＝DE.∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∴∠EAD＋∠ABD＝90°，∠ADE＋∠BDE＝∠ADB=90°，∴∠ABD＝∠BDE.∴DE＝BE，∴DE＝AB＝×5＝2.5.17.∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.在Rt△BAC中，∠C=30°，AB=2，∴BC=2AB=4，15\n∴AC===2,∴△ABC的周长为AB+BC+AC=2+4+2=6+2.18.(1)①②；①③.(2)选①③证明如下，证明：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB.又∵∠EBO=∠DCO，∠ABC=∠EBO+∠OBC，∠ACB=∠DCO+∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.19.(1)EF=BE+CF.理由如下：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∴∠ABO=∠EOB，∴EO=BE.同理可证：OF=CF.∴EF=BE+CF.(2)EF=BE-CF.理由如下：理由：∵OB平分∠ABC，∴∠ABO=∠OBC.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC,∴∠ABO=∠EOB.∴EO=BE.同理可得：OF=CF.∴EF=OE-OF=BE-CF.第2课时能力训练1.8或或2.C3.C4.补全图形如图所示.DF=BE还成立，理由是：∵正方形ABCD和等腰△AEF，∴AD=AB,AF=AE,∠FAE=∠DAB=90°.∴∠FAD=∠EAB.在△ADF和△ABE中，∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF=BE.5.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC＝90°.∵BE⊥BF，∴∠EBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF.∵AB=BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF,∴AE＝CF.(2)∵BE＝BF，∠EBF＝90°，∴∠BEF＝45°.∵∠ABC＝90°，∠ABE＝55°，∴∠GBE＝35°,15\n∴∠EGC＝∠GBE+∠BEF＝80°.6.（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE的中点，∴DF⊥AE,DF=AF=EF.又∵∠ABC=90°，∠DCF,∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DFC≌△AFM.∴CF=MF,∴∠FMC=∠FCM.(2)AD⊥MC.理由如下：由(1)知∠MFC=90°,FD=FE,FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°,∴DE∥CM，∴AD⊥MC.7.∵AC=4，BC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2，即△ACB为直角三角形，且∠ACB=90°.分三种情况：如图1，过点D作DE⊥CB，垂足为点E.易证△ACB≌△BED，易得CD=2.如图2，过点D作DE⊥CA，垂足为点E.易证△ACB≌△DEA，易得CD=2.如图3，过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F.易证△AFD≌△DEB，易得CD=3.8.(1)甲、乙的结论都正确.(2)证明：甲的结论：∵∠B=∠C=60°，则∠A=60°.∴△ABC是等边三角形.又∵EF∥AC，∴∠EFB=60°，∠B=60°，则∠BEF=60°.∴△BEF是等边三角形，同理可证△FGH、△HPC是等边三角形.乙的结论：∵△BEF、△FGH、△HPC都是等边三角形，∴BE+EF=2BF，FG+GH=2FH，HP+PC=2HC，∴BE+EF+FG+GH+HP+PC=2(BF+FH+HC)=2BC.又∵△ABC为等边三角形，∴AB+AC=2BC，∴AB+AC=BE+EF+FG+GH+HP+PC.即甲、乙的结论都正确.9.(1)①60°;②AD=BE.(2)∠AEB＝90°；AE=2CM+BE.理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE,15\n∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°,∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE.10.(1)BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD=AC.理由如下：如图1，延长BD交AC于点F.∵AE⊥BC于E，∴∠BED=∠AEC=90°.又∵AE=BE，DE=CE，∴△DBE≌△CAE，∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE.∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠ACE.∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ADF+∠CAE=90°，∴BD⊥AC.(2)如图2，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，即∠BED=∠AEC.∵AE=BE，DE=CE，∴△BED≌△AEC,∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE.∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，∴BD⊥AC.(3)①BD与AC的数量关系是：BD=AC.∵△ABE和△DCE是等边三角形,∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE，∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE，∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，即∠BED=∠AEC,∴△BED≌△AEC.∴BD=AC.②BD与AC的夹角度数为60°或120°.15
