2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（2022江苏南京2分）已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为【】A．B．C．D．1【答案】A。【考点】特殊角的三角函数值，直角三角形两锐角的关系。【分析】根据特殊三角函数值得出∠A的值，再直角三角形两锐角互余的关系求出∠B的值，代入cosB即可：∵sinA=，∴A∠=30°。∴∠B=90°－∠A=90°－30°=60°。∴cosB=cos60°=。故选A。2.（2022江苏南京2分）如果两个等腰直角三角形斜边的比是1：2，那么它们面积的比是【】A．1：1B．1：C．1：2D．1：4【答案】D。【考点】相似三角形的判定和性质【分析】∵等腰直角三角形的三个角都是900，450，450，∴两个等腰直角三角形相似。又∵相似三角形面积的比等于对应边比的平方，且它们斜边的比是1：2，∴它们的面积比是1：4。故选D。3.1.（江苏省南京市2022年2分）如果∠α是等边三角形的一个内角，那么cosα的值等于【】A、B、C、D、1【答案】A。【考点】等边三角形的性质，特殊角的三角函数值。【分析】根据等边三角形的性质求出∠α的值，再根据特殊角的三角函数值求解即可：∵∠α是等边三角形的一个内角，∴∠α=60°，∴cosα=。故选A。2.（江苏省南京市2022年2分）在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝1，那么tanB等于【】．18\n（A）（B）（C）1（D）【答案】C。【考点】特殊角的三角函数值，三角形内角和定理。【分析】根据tan45°=1得出∠A的值，再根据三角形内角和180°得出∠B的值，代入tanB即可：∵△ABC中，∠C=90°，tanA=1，∴∠A=45°，∠B=180°-90°-45°=45°．∴tanB=tan45°=1。故选C。3.（江苏省南京市2022年2分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是【】A、B、C、D、【答案】A。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】画出三角形结合图形运用锐角三角函数定义求解：sinA=。故选A。4.（江苏省南京市2022年2分）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是【】A、B、C、D、【答案】A。【考点】锐角三角函数的定义，勾股定理的逆定理。【分析】先根据△ABC的三边关系确定出其形状，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可：在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，32+42=52，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°。∴。故选A。5.（江苏省南京市2022年2分）如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC=3.2m，CA=0.8m，则树的高度为【】18\nA、4.8mB、6.4mC、8mD、10m【答案】C。【考点】相似三角形的应用。【分析】利用相似三角形对应线段成比例解题：∵人和树均垂直于地面，∴和光线构成的两个直角三角形相似。设树高x米，则，即，解得x=8。故选C。6.（江苏省南京市2022年2分）在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是【】A.B.C.D.2【答案】A。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据三角函数的定义解答即可：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴sinB=。故选A。7.（江苏省南京市2022年2分）如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】由平行得到两三角形相似，根据相似三角形的对应高的比等于相似比求解：设点P到AB的距离是x，18\n∵AB∥CD，∴△ABP∽△CDP。∴，解得x=。故选C。8.（江苏省南京市2022年2分）如果是等腰直角三角形的一个锐角，则的值是【】Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】C。【考点】等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数值。【分析】根据等腰直角三角形的性质求出∠α的度数，再根据特殊角的三角函数值即可解答：∵∠α是等腰直角三角形的一个锐角，∴∠α=45°。∴tanα=tan45°=1。故选C。9.（江苏省2022年3分）如图，给出下列四组条件：①；②；③；④．其中，能使的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据全等三角形的判定方法可知：①，可用“SSS”判定；②，可用“SAS”判定；③，可用“ASA”判定；④，是“SSA”，不能判定；因此能使△ABC≌△DEF的条件共有3组。故选C。二、填空题1.（江苏省南京市2022年2分）如图，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口中DE正好对着量具上30份处（CD∥AB），那么小管口径DE的长是▲毫米。【答案】5。18\n【考点】相似三角形的应用。【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出小管口径DE的长即可：∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB。∴CD：CA=DE：AB，即30：60=DE：10。∴DE=5。∴小管口径DE的长是5毫米。3.（江苏省南京市2022年2分）如图正六边形DEFGHI的顶点都在边长为6cm的正三角形ABC的边上，则这个正六边形的边长是▲cm．【答案】2。【考点】等边三角形的性质【分析】由已知易得，△ADI、△BEF、△CHG是等边三角形，从而可证AD=DE=BE，由正三角形ABC的边长即可求得正六边形的边长：∵正六边形DEFGHI，∴DI∥BC。∵正三角形ABC，∴∠B=∠C=∠A=60°。∴△ADI是等边三角形。∴AD=DI=AI。同理，BE=EF=BF。∵DE=EF，∴AD=DE=BE。∴DE=6÷3=2（cm）。4.（江苏省南京市2022年2分）如果两个相似三角形对应高的比是1：2，那么它们的面积比是18\n▲．【答案】1：4。【考点】相似三角形的性质。【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得解：∵两个相似三角形对应高的比是1：2，∴它们的相似比是1：2。∴它们的面积比是1：4。5.（江苏省南京市2022年3分）若等腰三角形的一个外角为，则它的底角为▲度．【答案】35。【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。【分析】先求出与70°角相邻的三角形的内角度数，然后分两种情况求解即可：∵等腰三角形的一个外角为70°，∴与它相邻的三角形的内角为110°。①当110°角为等腰三角形的底角时，两底角和=220°＞180°，不合题意，舍去；②当110°角为等腰三角形的顶角时，底角=（180°－110°）÷2=35°。∴等腰三角形的底角为35°。6.（江苏省南京市2022年2分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于▲．【答案】。【考点】等边三角形的判定和性质，特殊角直角三角函数值。【分析】由已知，O、A、B三点构成的三角形是等边三角形，根据等边三角形每个内角等于600的性质得cos∠AOB＝cos600＝。7.（2022江苏南京2分）如图，将的∠AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为▲cm（结果精确到0.1cm，参考数据：，，）18\n【答案】2.7。【考点】解直角三角形的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E。在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，∴BD=OD=2cm。∴CE=BD=2cm。在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，∵，∴OE≈2.7cm。∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm。三．解答题1.（江苏省南京市2022年5分）如图．在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点．DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F。求证：⑴△BDE≌△CDF；⑵∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形．【答案】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵D是BC的中点，∴BD=CD。∴△BED≌△CFD（AAS）。
（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠AFD=90°。∵∠A=90°，∴四边形DFAE为矩形。∵△BED≌△CFD，∴DE=DF。∴四边形DFAE为正方形。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定。18\n【分析】（1）利用等腰三角形的性质，可得到∠B=∠C，D又是BC的中点，利用AAS，可证出：△BED≌△CFD。（2）利用（1）的结论可知，DE=DF，再加上三个角都是直角，可证出四边形DFAE是正方形。2.（江苏省南京市2022年6分）如图，天空中有一个静止的广告气球C，从地面A点测得C点的仰角为45°，从地面B点测得C点的仰角为60°．已知AB=20m，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．【答案】解：过点C作CD⊥AB，交AB与点D；设CD=x，在Rt△ADC中，∵从地面A点测得C点的仰角为45°，∴AD=CD=x。在Rt△BDC中，有BD=。又∵AB=AD﹣BD=20；即x﹣=20，解得，。答：气球离地面的高度CD为米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。【分析】过点C作CD⊥AB，交AB与点D；设AD=x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公共边AD构造等量关系，解三角形可得AD与BD与x的关系；借助AB=AD﹣BD构造方程关系式，即可求出答案。3.（江苏省南京市2022年7分）我们知道：如果两个三角形不仅是相似三角形，而且每对对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个三角形叫做位似三角形，它们的相似比又称为位似比，这个点叫做位似中心．利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大．（1）选择：如图1，点O是等边三角形PQR的中心，P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点，则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形．此时，△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为；（A）2、点P，（B）、点P，（C）2、点O，（D）、点O；18\n（2）如图2，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形．阅读后证明相应问题．画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．求证：△C′D′E′是等边三角形．【答案】解：（1）D。（2）证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′。∴CE：C′E′=OE：OE′，DE：D′E′=OE：OE′，∠CEO=∠C′E′O，∠DEO=∠D′E′O。∴CE：C′E′=DE：D′E′，∠CED=∠C′E′D′。∴△CDE∽△C′D′E′。∵△CDE等边三角形，∴△C′D′E′是等边三角形。【考点】位似变换，等边三角形的判定，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据中位线定理可知，△P′Q′R′∽△PQR，且相似比是1：2，所以位似比是1：2，位似中心为点O。（2）根据作法可知：E′C′∥EC，E′D′∥ED，可证得△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，根据相似可证的对应边的比相等，对应角相等，即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似，可证得△CDE∽△C′D′E′，即可得结果。4.（江苏省南京市2022年8分）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．（1）当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；（2）设AB=a，DC=b，AD=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．【答案】解：（1）存在。理由如下：18\n如图所示，假设AP⊥PD，∵∠APB+∠DPC=90°，∠PDC+∠DPC=90°，∠BAP+∠APB=90°，∴∠APB=∠DPC。∵∠B=∠C，∴△ABP∽△PCD。设BP=x，则CP=4﹣x，∴4：（4﹣x）=x：1，解得x=2，即BP=2。因此，当BP=2时，AP=，PC=2，DP=，∴，∴△ABP∽△PCD。∴∠APB+∠DPC=90°。∴∠APD=90°。∴AP⊥PD。（2）过D作DE⊥AB于E，易得DC=BE=b，AE=a－b，BC=DE=。由（1）得△ABP∽△PCD，设PC=x，∴。化简得方程：。若存在点P，则方程有实数根，即△=。∴c≥a+b。∴当c≥a+b时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式。【分析】（1）由△ABP∽△PCD得出∠BPA+∠DPC=90°，即∠APD=90°，求出BP的长。（2）过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理用a、b、c表示出BC的长，再根据（1）的结论得出关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式即可求解。5.（江苏省南京市2022年6分）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC=60°，∠DAE=45°，点D到地面的垂直距离DE=3m，求点B到地面的垂直距离BC．18\n【答案】解：在Rt△ADE中，∠DAE=45°，DE=3，∴AD=3·=6。在Rt△ABC中，∠BAC=60°，AB=AD=6，∴BC=AB·sin∠BAC=6·=3。答：点B到地面的垂直距离BC为3m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】分别解解直角三角形ADE和ABC即可。6.（江苏省南京市2022年8分）如图,小岛A在港口P的南偏西45°方向，距离港口8l海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向港口，乙船从港口P出发，沿南偏东6O°方向，以l8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发，(1)出发后几小时两船与港口P的距离相等?(2)出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时)(参考数据：，)【答案】解：（1）设出发后x小时两船与港口P的距离相等。根据题意，得81－9x=18x，解这个方程，得x=3。∴出发后3小时两船与港口P的距离相等。（2）设出发后z小时乙船在甲船的正东方向，如图，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处。连接CD，过点P作PE⊥CD于点E，则点E在点P的正南方向。在Rt△CEP中，∠CPE=450，18\n∴PE=PC·cos450。在Rt△PED中，∠EPD=600，∴PE=PD·cos600。∴PC·cos450=PD·cos600,即。解得，z≈3.7。∴出发后3.7小时乙船在甲船的正东方向。【考点】一元一次方程的应用，解直角三角形的应用，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据两船与港口P的距离相等列方程求解即可。（2）构造直角三角形CEP和PED求解即可。7.（江苏省南京市2022年8分）两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，，，，相交于点，（1）求证：①；②，；（2）如果，，求筝形的面积．【答案】解：（1）证明：①在和中，∵，，，∴。②∵，∴。∵，∴，。（2）筝形的面积的面积＋的面积。【考点】全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质。【分析】（1）由求证。由得出，结合得到是的垂直平分线，从而得到，。（2）筝形的面积可用的面积与的面积和求得。18\n8.（江苏省南京市2022年7分）如图，两地之间有一座山，汽车原来从地到地须经地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶．已知，，，则隧道开通后，汽车从地到地比原来少走多少千米？（结果精确到）（参考数据：，）【答案】解：过点作，垂足为，在中，，，∴，。在中，，∴，。∴。∴。答：隧道开通后，汽车从地到地比原来少走约3.4km。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义。【分析】过点作，垂足为，在和中，解直角三角形求出，，，就可由计算得到结果。9.（江苏省南京市2022年6分）如图，山顶建有一座铁塔，塔高，某人在点处测得塔底的仰角为，塔顶的仰角为，求此人距的水平距离．（参考数据：，，，，，）【答案】解：在中，，18\n∴。在中，，∴。∴。∴。答：此人距的水平距离约为500m。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义。【分析】分析图形：根据题意构造直角三角形，本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，从而可求出答案。10.（江苏省2022年10分）如图，在航线的两侧分别有观测点A和B，点A到航线的距离为2km，点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km处．现有一艘轮船从位于点B南偏西76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点A的正北方向的D处．（1）求观测点B到航线的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）．（参考数据：，，，）【答案】解：（1）设AB与交于点O。在中，∠OAD=600，AD=2∴。又∵AB=10，∴OB=AB－OA=6。在中，∠OBE=∠OAD=600，∴（km）。∴观测点B到航线的距离为3km。18\n（2）在中，，在中，，∴DE=OD＋OE=。在中，∠CBE=760，BE=3，∴。∴（km）。∵，∴（km/h）。答：该轮船航行的速度约为40.6km/h。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）解和即可求得观测点B到航线的距离。（2）解、和，求得CD的长，即可根据路程、时间和速度的关系求得该轮船航行的速度。11.（江苏省南京市2022年7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【答案】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，tan∠ADE=，∴AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5。∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）。答：树的高度AB约为8m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】观察图形发现可过点D作DE⊥AB，构造直角三角形ADE，由tan∠ADE=得18\nAE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，因此AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8m。12.（江苏省南京市2022年8分）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．已知：如图，_____．试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．【答案】解：（1）一个锐角对应相等，两直角边对应成比例。；（2）斜边和一条直角边对应成比例。已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∠C=∠C/=90°，．Rt△ABC∽Rt△A/B/C/理由如下：设=k，则AB=kA/B/，AC=kA/C/．在Rt△ABC和Rt△A/B/C/中，∵，∴。∴Rt△ABC∽Rt△A/B/C/。【考点】相似三角形的判定，勾股定理。【分析】（1）两个三角形只要满足两个角对应相等，则这两个三角形相似。由于两个直角三角形的中的直角相等是问题的隐含条件，因此只需再有一个锐角对应相等即可判定它们相似。类比“两直角边对应相等，两个直角三角形全等”可知“两直角对应成比例时”两个直角三角形相似。（2）HL是判定两个直角三角形全等的特殊方法，类比全等可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。可从全等是相似的特例入手，利用参数法，设两个直角三角形对应边的比值为18\nk，进而转化为三角形相似的判定条件获解。13.（江苏省南京市2022年7分）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量，在点C处塔顶B的仰角为45°，在点E处测得B的仰角为37°（B、D、E三点在一条直线上）．求电视塔的高度h．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）14.（江苏省南京市2022年9分）如图①，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC和△PAC中，如果存在一个三角形与△ABC相似，那么就称P为△ABC的自相似点．⑴如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ACB＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E，试说明E是△ABC的自相似点．⑵在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．18\n【答案】解：⑴在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，∴。∴CD=BD。∴∠BCE＝∠ABC。∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°。∴∠BEC＝∠ACB。∴△BCE∽△ABC。∴E是△ABC的自相似点。⑵①作图如图：作法如下：（i）在∠ABC内，作∠CBD＝∠A；（ii）在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC；BD交CE于点P。则P为△ABC的自相似点。②连接PB、PC．∵P为△ABC的内心，∴，。∵P为△ABC的自相似点，∴△BCP∽△ABC。∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A。∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∴∠A＋2∠A＋4∠A＝180°。∴。∴该三角形三个内角的度数分别为、、。【考点】直角三角形斜边上的中线的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,尺规作图,三角形内心定义,三角形内角和定理。【分析】⑴由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知△CDB是等腰三角形,从而得对应角∠BCE＝∠ABC．从而由两个都是直角三角形而得证。⑵①由相似三角形两个角相等的判定,分别作出两个角即可得到。②由三角形内心是角平分线的交点和相似三角形对应角相等的性质推出三个角之间的关系,再应用三角形内角和定理求。18
