2022年中考数学专题复习讲座 第二十五讲 与圆有关的计算

2022年中考数学专题复习第二十五讲与圆有关的计算【基础知识回顾】正多边形和圆：1、各边相等，也相等的多边形是正多边形2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】弧长与扇形面积计算：Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式：L=S扇==【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，2、原公式中涉及的角都不带学位3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】三、圆柱和圆锥：1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R则有：⑴S圆柱侧=⑵S圆柱全=⑶V圆柱=2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R高位h，则有：⑴S圆柱侧=、⑵S圆柱全=⑶V圆柱=【名师提醒：1、圆柱的高有条，圆锥的高有条2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的扇形的弧长是圆锥的4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n若l=2r，则n=c=3r,则n=c=4r则n=】【典型例题解析】考点一：正多边形和圆例1（2022•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）27\nA．B．C．D．考点：正多边形和圆．分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=，∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．故选A．点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．对应训练1．（2022•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）A．2a2B．3a2C．4a2D．5a227\n考点：正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．分析：根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．解答：解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===，∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=，∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，故选：A．点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．27\n考点二：圆周长与弧长例2（2022•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）A．10πB．C．D．π考点：弧长的计算；勾股定理．专题：网格型．分析：由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．解答：解：如图所示：在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：AC==，又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为l=π．故选C点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．对应训练3.（2022•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为）π（结果用含有π的式子表示）考点：弧长的计算；旋转的性质．27\n分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．解答：解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．故答案为：（4+）π．点评：本题考查了弧长公式：l=（其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．考点三：扇形面积与阴影部分面积例3（2022•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　）（参考数据：≈1.414，≈1.732，π取3.14）A．0.64B．1.64C．1.68D．0.36考点：27\n扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．专题：探究型．分析：先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．解答：解：∵AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（Hl），∴BE=DF，∴EC=CF，又∵∠C=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=EFcos45°=2×=，∴S△ECF=××=1，又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=，又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64．故选A．点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EGF是解题的关键．对应训练3.（2022•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）A．4πB．2πC．πD．考点：扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．专题：数形结合．分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．27\n解答：解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=（垂径定理），故S△OCE=S△CDE，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选D．点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图例4（2022•永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为1．考点：圆锥的计算；圆周角定理．分析：首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．解答：解：∵∠A=45°，∴∠BOC=90°∴扇形BOC的弧长为=2π，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π解得r=1，故答案为1．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．对应训练7．（2022•襄阳）如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为127\ndm．考点：圆锥的计算．分析：圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．解答：解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6∴=2π∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1．故答案为：1．点评：考查圆锥的计算；用的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．【聚焦山东中考】1．（2022•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为（　　）A．πB．C．7πD．6π27\n考点：弧长的计算；旋转的性质．专题：网格型．分析：根据图示知∠BAB′=45°，所以根据弧长公式l=求得的长．解答：解：根据图示知，∠BAB′=45°，∴的长为：=π．故选A．点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．2.（2022•临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）A．1B．C．D．2考点：扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：探究型．分析：首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．解答：解：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°，∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠A=60°，∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，∴AB=AC，∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．∴∠BOE=∠EOD=60°，∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．27\n∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．故选C．点评：本题考查了等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，边长是4．理解和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积是关键．3．（2022•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于π．考点：弧长的计算；等边三角形的性质．专题：计算题．分析：由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．解答：解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，∴====，根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，即凸轮的周长=++=3×=π．故答案为：π.点评：此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．27\n4.（2022•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为．考点：扇形面积的计算；旋转的性质．专题：探究型．分析：先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的长，再根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积．解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=AB=×2=1，AC=2×=，∴∠BAB′=150°，∴S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=-=．故答案为：．点评：本题考查的是扇形的面积公式，根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积-BC扫过的扇形面积是解答此题的关键．【备考真题过关】一、选择题1.（2022•湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（　　）A．6cmB．12cmC．2cmD．6cm考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：由已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径R．解答：解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，即n=60°，l=2π，根据弧长公式l=，得2π=，即R=6cm．故选A．点评：此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．27\n2.（2022•漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（　　）A．2πcmB．4πcmC．8πcmD．16πcm考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：由于直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，则圆心移动的距离等于圆的周长，然后利用圆的周长公式计算即可．解答：解：∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×=4π．故选B．点评：本题考查了圆的周长公式：圆的周长=2πR（R为圆的半径）．3.（2022•珠海）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：弧长的计算．分析：根据弧长公式l=，即可求解．解答：解：设圆心角是n度，根据题意得=，解得：n=60．故选C．点评：本题考查了扇形的弧长公式，是一个基础题．4．（2022•鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（　　）A．B．C．2πD．3π考点：扇形面积的计算；菱形的性质．专题：计算题．27\n分析：连接OB，根据等边三角形的性质可以求得∠AOC=120°，再结合∠1=∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．解答：解：连接OB，∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°．又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°．∴扇形ODE的面积为==3π．故选D．点评：本题考查扇形面积的计算，同时综合运用了菱形和等边三角形的性质．要求掌握扇形的面积公式：（1）利用圆心角和半径：S=；（2）利用弧长和半径：S=lr，并学会针对不同的题型选择合适的方法．5．（2022•黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（　　）A．4-πB．4-2πC．8+πD．8-2π考点：扇形面积的计算；切线的性质．分析：根据圆周角定理可以求得∠A的度数，即可求得扇形EAF的面积，根据阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积即可求解．27\n解答：解：△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=90°．则扇形EAF的面积是：=π．故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=4-π．故选A．点评：本题主要考查了扇形面积的计算，正确求得扇形的圆心角是解题的关键．6．（2022•黄石）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）A．B．C．D．考点：扇形面积的计算．专题：探究型．分析：过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB-S△AOB进行计算即可．解答：解：过点O作OD⊥AB，∵∠AOB=120°，OA=2，∴∠OAD==30°，∴OD=OA=×2=1，AD==，∴AB=2AD=2，∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=-×2×1=27\n．故选A．点评：本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB-S△AOB是解答此题的关键．7.（2022•娄底）如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　）A．4πB．3πC．2πD．π考点：扇形面积的计算；轴对称的性质．专题：探究型．分析：由AB⊥CD，CD⊥MN可知阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的，再根据圆的面积公式进行解答即可．解答：解：∵AB⊥CD，CD⊥MN，∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的，∵正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，∴S阴影=π×（）2=π．故选D．点评：本题考查的是扇形的面积及轴对称的性质，根据题意得出阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的是解答此题的关键．8．（2022•连云港）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（　　）A．1cmB．2cmC．πcmD．2πcm考点：圆锥的计算．分析：由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长=2π，底面半径=2π÷2π得出即可．27\n解答：解：由题意知：底面周长=2πcm，底面半径=2π÷2π=1cm．故选A．点评：此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．9．（2022•南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（　　）A．120°B．180°C．240°D．300°考点：圆锥的计算．分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．解答：解：设母线长为R，底面半径为r，∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，∵侧面积是底面积的2倍，∴2πr2=πrR，∴R=2r，设圆心角为n，有=2πr=πR，∴n=180°．故选：B．点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．10．（2022•宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）A．b=aB．b=aC．b=aD．b=a考点：圆锥的计算．分析：首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．解答：解：∵半圆的直径为a，∴半圆的弧长为∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，∴设小圆的半径为r，则：2πr=27\n解得：r=如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，则：AC2+AB2=BC2即：（）2+（）2=（）2整理得：b=a故选D．点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到a、b之间的关系．11．（2022•宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（　　）A．24.0B．62.8C．74.2D．113.0考点：圆锥的计算；由三视图判断几何体．分析：由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可．解答：解：几何体为圆锥，母线长为5，底面半径为4，则侧面积为πrl=π×4×5=20π≈62.8，故选B．点评：本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题．首先判定该立体图形是圆锥是解决此题的关键．12．（2022•龙岩）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（　　）A．10πB．4πC．2πD．2考点：圆柱的计算；点、线、面、体；矩形的性质．分析：根据圆柱的侧面积=底面周长×高即可计算圆柱的侧面积．27\n解答：解：圆柱的侧面面积=π×2×2×1=4π．故选B．点评：本题主要考查了圆柱侧面积的计算公式．侧面展开图形的一边长为半径为2的圆的周长．二、填空题13．（2022•巴中）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接六边形的边长为5cm．考点：正多边形和圆．分析：首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长．解答：解：如图，连接OA，OB，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=×360°=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=OB=5cm，即它的内接六边形的边长为：5cm．故答案为：5cm．点评：此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度不大，注意根据题意得到△OAB是等边三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．14．（2022•天津）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为．考点：正多边形和圆．分析：首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．解答：解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，∴∠AOB=×360°=60°，∵OA=OB，∴△OBC是等边三角形，27\n∵正六边形ABCDEF的周长为24，∴BC=24÷6=4，∴OB=BC=4，∴BM=BC=2，∴OM==2，∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，∴该六边形的面积为：4×6=24．故答案为：24．点评：此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．15．（2022•长沙）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是πcm．考点：弧长的计算．分析：知道半径，圆心角，直接代入弧长公式L=即可求得扇形的弧长．解答：解：扇形的弧长L==πcm．故答案为：πcm．点评：考查了弧长的计算，要掌握弧长公式：L=才能准确的解题．16．（2022•衡阳）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧的长为2πcm．27\n考点：弧长的计算；等边三角形的判定与性质；切线的性质．专题：数形结合．分析：根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案．解答：解：∵直线AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，又∵∠A=30°，∴∠BOA=60°，∵弦BC∥AO，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，即可得∠BOC=60°，∴劣弧的长==2πcm．故答案为：2π．点评：此题考查了弧长的计算公式、切线的性质，根据切线的性质及圆的性质得出△OBC是等边三角形是解答本题的关键，另外要熟练记忆弧长的计算公式．17.（2022•莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为6．考点：弧长的计算．专题：计算题．分析：利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．解答：解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，∴l=，即2π=，则扇形的半径r=6．故答案为：6点评：此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为l=（n为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径），熟练掌握弧长公式是解本题的关键．18.（2022•苏州）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为2．考点：弧长的计算．分析：根据弧长公式l=可以求得该扇形的半径的长度．解答：解：根据弧长的公式l=27\n，知r===2，即该扇形的半径为2．故答案是：2．点评：本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．19.（2022•厦门）如图，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC=，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是2πr．考点：弧长的计算．专题：作图题．分析：根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1，，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可．解答：解：圆心O运动路径如图：∵OO1=AB=πr；=；O2O3=BC=；∴圆心O运动的路程是πr++=2πr．故答案为2πr．点评：本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹划分为三部分进行计算是解题的关键．20.（2022•常州）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长为2πcm，扇形的面积是3π27\ncm2．（结果保留π）考点：扇形面积的计算；弧长的计算．专题：计算题．分析：分别根据弧长公式和扇形的面积公式进行计算即可．解答：解：由题意得，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，故此扇形的弧长为：=2π，扇形的面积==3π．故答案为：2π，3π．点评：此题考查了扇形的面积计算及弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长及扇形的面积计算公式，难度一般．21.（2022•广东）如图，在▱ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是π（结果保留π）．考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．分析：过D点作DF⊥AB于点F．可求▱ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积=▱ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积，计算即可求解．解答：解：过D点作DF⊥AB于点F．∵AD=2，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB-AE=2，∴阴影部分的面积：4×1--2×1÷2=4-π-1=3-π．故答案为：3-π．点评：考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积=▱ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积．22.（2022•贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中阴影部分面积之和等于π．（结果保留π）．27\n考点：扇形面积的计算；三角形内角和定理．分析：根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=130°，利用半径相等得到OB=OD，OC=OE，则∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，再根据三角形内角和定理得到∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C，则∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，图中阴影部分由两个扇形组成，它们的圆心角的和为100°，半径为3，然后根据扇形的面积公式计算即可．解答：解：∵∠A=50°，∴∠B+∠C=180°-∠A=130°，而OB=OD，OC=OE，∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，∴∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C，∴∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，而OB=BC=3，∴S阴影部分==π．故答案为π．点评：本题考查了扇形面积的计算：扇形的面积=（n为圆心角的度数，R为半径）．也考查了三角形内角和定理．23.（2022•凉山州）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）．考点：扇形面积的计算．分析：先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．27\n解答：解：∵△ABC是直角三角形，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵两个阴影部分扇形的半径均为1，∴S阴影==．故答案为：．点评：本题考查的是扇形的面积及直角三角形的性质，熟知扇形的面积公式是解答此题的关键．24．（2022•攀枝花）底面半径为1，高为的圆锥的侧面积等于2π．考点：圆锥的计算．分析：由于高线，底面的半径，母线正好组成直角三角形，故母线长可由勾股定理求得，再由圆锥侧面积=底面周长×母线长计算．解答：解：∵高线长为，底面的半径是1，∴由勾股定理知：母线长==2，∴圆锥侧面积=底面周长×母线长=×2π×2=2π．故答案为：2π．点评：本题考查圆锥的侧面积表达公式应用，需注意应先算出母线长．25．（2022•黔西南州）已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图的扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是120°．考点：圆锥的计算．分析：先计算出圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为20π，半径为30，然后利用弧长公式得到方程，解方程即可．解答：解：∵底面半径为10cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•10=20π，∴20π=，∴27\nα=120°．故答案为120°．点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．26．（2022•宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是72πcm2．考点：圆锥的计算．分析：首先根据SA=12cm，∠ASO=30°求得圆锥的底面半径OA，然后利用圆锥的侧面积的计算公式进行计算即可．解答：解：∵SA=12cm，∠ASO=30°，∴AO=SA=6cm∴圆锥的底面周长=2πr=2×6π=12π，∴侧面面积=×12π×12=72πcm2．故答案为72π．点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．27．（2022•孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为3000πcm3（结果不作近似计算）．考点：圆柱的计算．分析：首先求得其底面内切圆的半径，然后计算其面积，利用底面积乘以高等于体积计算体积即可．解答：解：∵底面是边长为20cm的圆，∴其内切圆的半径为10cm，∴其底面积为100πcm2，∴其体积为100π×30=3000π（cm3）．故答案为3000π．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是知道如何切割成一个体积最大的圆柱．27\n三、解答题28.（2022•岳阳）如图所示，在⊙O中，，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．（1）求证：AC2=AB•AF；（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积-△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．解答：（1）证明：∵，∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴=，即AC2=AB•AF；（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，如图所示：∵∠ABC=60°，∴∠27\nAOC=120°，又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=1cm，∴AE==cm，∴AC=2AE=2cm，则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=-×2×1=（-）cm2．点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．27