第四单元图形初步与三角形第13讲 图形的初步认识考纲要求命题趋势1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中点、线段的和、差和两点间距离的意义．2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算．3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概念及性质．4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线的性质和判定. 中考中，对这部分内容命题的难度较小，主要以选择题、填空题的形式出现，重点考查互为余角、互为补角的角的性质、平行线的性质与判定的应用.知识梳理一、直线、射线、线段1．直线的基本性质(1)两条直线相交，只有________交点．(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________．2．线段的性质所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短．3．线段的中点把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．4．直线、射线、线段的区别与联系有几个端点向几个方向延伸表示图形直线02两个大写字母或一个小写字母射线11两个大写字母线段20两个大写字母或一个小写字母二、角的有关概念及性质1．角的有关概念角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．2．角的单位与换算1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．3．余角与补角8\n如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角______．4．对顶角与邻补角在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．三、垂线的性质与判定1．垂线及其性质垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)2．点到直线的距离直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．3．判定若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．四、平行线的性质与判定1．概念在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．2．平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．3．性质如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．4．判定同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．自主测试1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4cm，DB＝7cm，且D是AC的中点，则AC的长为( )A．3cmB．6cmC．11cmD．14cm2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是( )A．35°B．55°C．70°D．110°3．如图所示，∠1＋∠2＝( )8\nA．60°B．90°C．110°D．180°4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是( )5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.考点一、直线、射线、线段【例1】在直线l上任取一点A，截取AB＝16cm，再截取AC＝40cm，求AB的中点D与AC的中点E的距离．解：(1)当C在AB的延长线上时，如图，∵D是AB的中点，AB＝16cm，∴AD＝AB＝×16＝8(cm)．∵E是AC的中点，AC＝40cm，∴AE＝AC＝×40＝20(cm)．∴DE＝AE－AD＝20－8＝12(cm)．(2)当C在BA的延长线上时，如图，由(1)知AD＝8cm，AE＝20cm.∴DE＝AE＋AD＝20＋8＝28(cm)．答：D点与E点的距离是12cm或28cm.方法总结8\n对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．触类旁通1如图，点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AB＝12，AC＝8，则CD＝__________.考点二、角的计算【例2】如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD的度数是( )A．20°B．40°C．50°D．80°解析：∵OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，∴∠AOC＝∠EOC＝50°.又∵∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选C.答案：C方法总结解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．触类旁通2如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为( )A．120°B．130°C．135°D．140°考点三、平行线的性质与判定【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是( )A．110°B．115°C．120°D．125°解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.8\n∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.∵∠4与∠5是对顶角，∴∠4＝∠5＝125°，故选D.答案：D方法总结平行线的性质和判定常用来解决下列问题：(1)作图形的平移；(2)证明线段或角相等；(3)证明两直线平行；(4)证明两直线垂直．触类旁通3如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于( )A．100°B．60°C．40°D．20°1．(2022重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，EF∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为( )A．60°B．50°C．40°D．30°2．(2022山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．40°B．50°C．60°D．140°3．(2022湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是( )4．(2022湖南长沙)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．8\nA．2个B．3个C．4个D．1个4．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于( )(第4题图)A．30°B．40°C．60°D．70°5．如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝__________.8\n(第5题图)6．如图所示，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝__________.7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.8．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．参考答案导学必备知识自主测试1．B 2．C 3．B 4．D 5．118°探究考点方法触类旁通1．2 因为AB＝12，AC＝8，所以BC＝AB－AC＝12－8＝4.又点D是线段BC的中点，所以CD＝BC＝2.8\n触类旁通2．C 因为直线EO⊥CD，垂足为点O，所以∠DOE＝90°.又AB平分∠EOD，所以∠AOD＝45°.因为∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠BOD＝135°，故选C.触类旁通3．A 过∠3的顶点作直线c∥a，∴∠4＝∠1＝40°.∵a∥b，∴b∥c，∴∠5＝∠2＝60°，∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故选A.品鉴经典考题1．B ∵EF∥AB，∠CEF＝100°，∴∠ABC＝100°.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD的度数为50°.2．B ∵AB∥CD，∠1＝40°，∴∠BCD＝∠1＝40°.∵DB⊥BC，∴∠2＝90°－∠BCD＝90°－40°＝50°.故选B.3．D 因为70°角的补角＝180°－70°＝110°，是钝角，结合各选项，只有D选项中的角是钝角，故选D.4．360 ∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°①.∵CD∥EF，∴∠CEF＋∠ECD＝180°②，①＋②得，∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＋∠ECD＝180°＋180°＝360°，即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°.5．6 由题意得，平面内的不同的n个点最多可确定条直线，则＝15，所以n＝6.研习预测试题1．D 2．B 3．A 4．A5．60° ∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝60°.∵DE∥AC，∴∠2＝∠ACB＝60°.6．70° 7．130°8．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝×120°－×30°＝45°；(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(α＋30°)－×30°＝α；(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝∠AOC－∠BOC＝(90°＋β)－β＝45°；(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．8
