第一部分 第三章 第14讲1．已知，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(－1,0)和C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA＋PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．解：(1)将A(－1,0)，C(0,3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.(2)连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA＋PC取最小值，如答图1所示．当y＝0时，有－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴点B的坐标为(3,0)．∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.设直线BC的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，将B(3,0)，C(0,3)代入y＝kx＋d中，得解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵当x＝1时，y＝－x＋3＝2，∴当PA＋PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)．(3)设点M的坐标为(1，m)，则CM2＝1＋(m－3)2，AC2＝10，AM2＝4＋m2，分三种情况讨论：①当∠AMC＝90°时，有AC2＝AM2＋CM2，即10＝4＋m2＋1＋(m－3)2，解得m1＝1，m2＝2，3\n∴点M的坐标为(1,1)或(1,2)；②当∠ACM＝90°时，有AM2＝AC2＋CM2，即4＋m2＝10＋1＋(m－3)2，解得m＝，∴点M的坐标为(1，)；③当∠CAM＝90°时，有CM2＝AM2＋AC2，即1＋(m－3)2＝4＋m2＋10，解得m＝－，∴点M的坐标为(1，－)．综上所述：当△MAC是直角三角形时，点M的坐标为(1,1)，(1,2)，(1，)或(1，－)．答图2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－3,0)，B(1,0)两点，D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点F和点D关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)根据题意，得解得∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.(2)∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，∴顶点坐标D(－1,4)，∴F(－1，－4)，若以点O，F，P，Q为顶点的平行四边形存在，则点Q(x，y)满足|y|＝EF＝4，①当y＝－4时，－x2－2x＋3＝－4，解得x＝－1±2，∴Q1(－1－2，－4)，Q2(－1＋2，－4)，∴P1(－2，0)，P2(2，0)；②当y＝4时，－x2－2x＋3＝4，解得x＝－1，3\n∴Q3(－1,4)，∴P3(－2,0)．综上所述，符合条件的点P的坐标为(－2，0)或(2，0)或(－2,0)．答图3
