第二章第8课时函数与方程课时闯关（含答案解析）一、选择题1．(2012·兰州质检)若函数f(x)＝ax＋b的零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )A．0,2B．0，C．0，－D．2，解析：选C.由已知f(2)＝2a＋b＝0可得b＝－2a，则g(x)＝－2ax2－ax，令g(x)＝0可得x＝0或x＝－，故g(x)的零点是0或－，应选C.2．(2012·石家庄调研)函数y＝f(x)在区间[－2,2]上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定解析：选D.由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345A.(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)解析：选C.记f(x)＝ex－x－2，由表格可知，f(1)＜0，f(2)＞0，故原方程一个根所在的区间为(1,2)．所以选C.4．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)解析：选B.观察函数y＝2x和函数y＝x＋的图象可知，函数f(x)＝2x－x－有一个大于零的零点，又f(1)＝1－＜0，f(2)＝2－＞0，根据函数零点的存在性定理知函数的一个零点在区间(1,2)上．5．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则a的取值范围是( )A．(－1,1)B．[1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)解析：选C.当a＝0时，函数的零点是x＝－1；当a≠0时，若Δ＞0，f(0)·f(1)＜0，则a＞1；若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C.二、填空题6．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．解析：设函数y＝ax(a>0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a有两个交点，由图象可知当0<a<1时两函数只有一个交点，不符合；如图所示，当a>1时，因为函数y＝ax(a3\n>1)的图象过点(0,1)，而直线y＝x＋a所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)7．若f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－x的零点为________．解析：即求f(x)＝x的根，∴或解得x＝1＋，或x＝1.∴g(x)的零点为x＝1＋，或x＝1.答案：x＝1＋，或x＝18．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，∴，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，解集为{x|－＜x＜1}．答案：{x|－＜x＜1}三、解答题9．判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解：(1)f(－1)＝－1＜0，f(2)＝5＞0，f(－1)f(2)＜0，故f(x)＝x3－x－1在x∈[－1,2]上存在零点．(2)f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1＞log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3＜log28－3＝0，所以f(1)f(3)＜0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在x∈[1,3]上存在零点．10．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，∴g(0)·g()<0.又函数g(x)在[0，]上连续，所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.11．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.3\n检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－.此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之，得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a<－或a>1.3
