2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合，，则A．B．C．D．2．设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“d<0”是“数列有最大项”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．ΔABC中，，，若，则角C为A．B．C．D．4．已知，则展开式中的常数项为A．20B．-20C．-15D．155．正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．B．C．D．-12-\n6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为与，则A．的最小正周期为，且在上为单调递增函数B．的最小正周期为，且在上为单调递减函数C．的最小正周期为，且在上为单调递增函数D．的最小正周期为，且在上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的外接球半径为A．B．C．D．8．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的摄影为C，若，，则抛物线的方程为A．B．C．D．9．阅读右面的程序框图，输出结果s的值为A．B．C．D．10．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为A．B．C．D．-12-\n11．已知函数的两个极值点分别为x1，x2，且，，记分别以m，n为横、纵坐标的点表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为A．B．C．D．12．设点P在曲线上，点Q在曲线上，则的最小值为A．B．C．D．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填在答题卡的相应位置上。）13．若复数，则__________。14．已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离线率为__________。15．已知平面区域Ω=，直线l:和曲线C:有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。16．已知ΔABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c，若a=1,2cosC+c=2b，则ΔABC的周长的取值范围是__________。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）已知正项数列满足。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和Tn。-12-\n18．（本小题满分12分）从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高。据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155,160)，第二组[160,165)，…，第八组[190,195]。下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列。（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180,185)的人数，求X的分布列和数学期望。19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥-12-\nAD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点，DE=EC。（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA=a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围。20．（本小题满分12分）已知椭圆过点，离心率，若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭点”，直线l交椭圆C于A、B两点，若点A、B的“椭点”分别是P、Q，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O。（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的右顶点为D，上顶点为E，试探究ΔOAB的面积与ΔODE的面积的大小关系，并证明。21．（本小题满分12分）已知函数。（1）若函数满足，且在定义域内恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，试比较与的大小。选考题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲-12-\n如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF·EC。（1）求证：CE·EB=EF·EP；（2）若CE:BE=3:2，DE=3，EF=2，求PA的长。23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为。（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长。24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数。（1）解不等式；（2）已知关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围。2013年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：-12-\n题号123456789101112答案BABBBCCDCBBD二、填空题：13.14.15.16.三、解答题：17.(Ⅰ)整理得………………………………4分又得………………………………6分(Ⅱ)由（1）知……………………………8分所以……………………………………12分18.解:(Ⅰ)第六组···························2分第七组···························4分估计人数为··························6分(Ⅱ)可能的取值为0,1,2,3.························7分所以的分布列-12-\n0123·············10分=.·····················12分19.(Ⅰ)，分别为的中点，为矩形，·················2分,又面,面,平面⊥平面·····················4分(Ⅱ),又，又,所以面,··················6分法一：建系为轴，为轴，为轴,，,平面法向量，平面法向量··········9分，可得.·············12分-12-\n法二：连交于点,四边形为平行四边形，所以为的中点，连,则,面,,作于点，所以面,连,则,即为所求·············9分在中，,解得·············12分20.(Ⅰ)由已知解得，，方程为·······3分(Ⅱ)设，则（1）当直线的斜率存在时，设方程为联立得：有①由以为直径的圆经过坐标原点O可得：·-12-\n整理得：②将①式代入②式得：,···········6分又点到直线的距离··········8分所以··········10分(2)当直线的斜率不存在时，设方程为（）联立椭圆方程得：代入得到即，综上：的面积是定值又的面积，所以二者相等.·······12分20.(Ⅰ)由原式，················1分令，可得在上递减，在上递增，所以即···············3分（Ⅱ）-12-\n，，时，函数在单调递增···············5分，，，，必有极值，在定义域上不单调··············8分················9分（Ⅲ）由(I)知在(0,1)上单调递减∴时，即················10分而时，···············12分22.（I）∵，∴，又∵，∴，∴∽∴又∵，∴···5分（II），，是⊙的切线，，·······10分23.（Ⅰ）圆的极坐标方程为：·········5分-12-\n（Ⅱ）圆心到直线距离为，圆半径为，所以弦长为···········10分24.（Ⅰ）的解集为：··········5分（Ⅱ）··········10分-12-
