7-2基本不等式基础巩固强化1.a、b为正实数，a、b的等差中项为A；、的等差中项为；a、b的等比中项为G(G>0)，则( )A．G≤H≤A B．H≤G≤AC．G≤A≤HD．H≤A≤G[答案] B[解析] 由题意知A＝，H＝，G＝易知≥≥，∴A≥G≥H.2．(2012·重庆模拟)已知函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)，若x<0时，有ax>1，则不等式f(1－)>1的解集为( )A．(，＋∞)B．(1，)C．(－∞，)D．(1，)[答案] D[解析] 依题意得0<a<1，于是由f(1－)>1得loga(1－)>logaa,0<1－<a，由此解得1<x<，因此不等式f(1－)>1的解集是(1，)，选D.3．(文)(2012·河南六市联考)函数y＝logax＋1(a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线＋－4＝0(m>0，n>0)上，则m＋n的最小值为( )A．2＋B．2C．1D．4[答案] C[解析] y＝logax＋1过定点A(1,1)，∵A在直线＋－4＝0上，∴＋＝4，∵m>0，n>0，∴m＋n＝(m＋n)(＋)＝(2＋＋)≥(2＋2)＝1，等号在m＝n＝时成立，∴m＋n的最小值为1.13\n(理)(2011·宁德月考)已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于( )A．1B．2C．2D．2[答案] B[解析] 由条件知(b2＋1)－ab2＝0，∴a＝，∴ab＝＝b＋≥2，等号在b＝1，a＝2时成立．4．(文)(2011·厦门二检)若直线ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为( )A.B.C.＋D.＋2[答案] C[解析] 圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故a＋b＝1，＋＝(a＋b)(＋)＝＋＋≥＋，当且仅当＝，即a＝2(－1)，b＝2－时取等号，故选C.(理)(2011·湖北八校第一次联考)若0<x<1，则＋的最小值为( )A．24B．26C．25D．1[答案] C[解析] 依题意得＋＝(＋)[x＋(1－x)]＝13＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即x＝时取等号，选C.5．(2011·北京文，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A．60件B．80件C．100件D．120件13\n[答案] B[解析] 由题意知仓储x件需要的仓储费为元，所以平均费用为y＝＋≥2＝20，当且仅当x＝80等号成立．6．(2013·济南外国语学校第一学期质检)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx－2在x＝1处有极值，则ab的最大值为( )A．2 B．3 C．6 D．9[答案] D[解析] 函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，函数在x＝1处有极值，则有f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a＋b＝6，所以6＝a＋b≥2，即ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取等号，选D.7．已知c是椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距，则的取值范围是________．[答案] (1，][解析] 由题设条件知，a<b＋c，∴>1，∵a2＝b2＋c2，∴＝≤＝2，∴≤.8．(2011·广东佛山一检)已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．[答案] [解析] 因为A(2,0)，B(0,1)，所以0≤b≤1.由a＋2b＝2，得a＝2－2b，∴ab＝(2－2b)b＝－2(b－)2＋，当b＝时，(ab)max＝.[点评] 利用a＋2b＝2消元后可以利用基本不等式求解，也可以利用二次函数求解．9．(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是________．[答案] 4[解析] 由题意，P、Q关于(0,0)对称，设直线PQ：y＝kx(k>0)，从而P(，)，13\nQ(－，－)．则PQ＝≥4，当且仅当k＝1时，(PQ)min＝4.[点评] 1.用基本不等式≥求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立．2．应用基本不等式求最值，要注意归纳常见的变形技巧，代入消元，配系数，“1”的代换等等．3．注意到P、Q关于原点对称，可设P(x0，)，x0>0，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4，x0＝时取等号，更简捷的获解．10．如图，互相垂直的两条公路AM、AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，其中AB＝30m，AD＝20m.记三角形花园APQ的面积为S.(1)当DQ的长度是多少时，S最小？并求S的最小值．(2)要使S不小于1600m2，则DQ的长应在什么范围内？[解析] (1)设DQ＝xm(x>0)，则AQ＝x＋20，∵＝，∴＝，∴AP＝，则S＝×AP×AQ＝＝15(x＋＋40)≥1200，当且仅当x＝20时取等号．(2)∵S≥1600，∴3x2－200x＋1200≥0，∴0<x≤或x≥60.13\n答：(1)当DQ的长度是20m时，S最小，且S的最小值为1200m2；(2)要使S不小于1600m2，则DQ的取值范围是0<DQ≤或DQ≥60.能力拓展提升11.(文)若函数f(x)＝logmx的反函数的图象过点(－1，n)，则3n＋m的最小值是( )A．2B．2C．2D.[答案] C[解析] 函数f(x)＝logmx的反函数为y＝mx，∵该函数图象过点(－1，n)，∴n＝.∵m>0，且m≠1，∴n>0且n≠1.∴3n＋m＝3n＋≥2，当且仅当n＝时等号成立．(理)如图，在等腰直角△ABC中，点P是斜边BC的中点，过点P的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则mn的最大值为( )A. B．1 C．2 D．3[答案] B[解析] 以AC、AB为x、y轴建立直角坐标系，设等腰直角△ABC的腰长为2，则P点坐标为(1,1)，B(0,2)、C(2,0)，∵＝m，＝n，13\n∴＝，＝，∴M、N，∴直线MN的方程为＋＝1，∵直线MN过点P(1,1)，∴＋＝1，∴m＋n＝2，∵m＋n≥2，∴mn≤＝1，当且仅当m＝n＝1时取等号，∴mn的最大值为1.12．(2012·内蒙包头一模)若圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0，(b∈R)外切，则a＋b的最大值为( )A．－3B．－3C．3D．3[答案] D[解析] ⊙C1：(x＋a)2＋y2＝4的圆心C1(－a,0)，半径r1＝2，⊙C2：x2＋(y－b)2＝1的圆心C2(0，b)，半径r2＝1，∵⊙C1与⊙C2外切，∴|C1C2|＝r1＋r2，∴a2＋b2＝9，∵(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)＝18，∴a＋b≤3，等号在a＝b＝时成立．13.如图所示，已知D是面积为1的△ABC的边AB的中点，E是边AC上任一点，连接DE，F是线段DE上一点，连接BF，设＝λ1，＝λ2，且λ1＋λ2＝，记△BDF的面积为S＝f(λ1，λ2)，则S的最大值是________．[答案] [解析] 连接BE.因为△ABC的面积为1，＝λ2，所以△ABE的面积为λ2.因为D是13\nAB的中点，所以△BDE的面积为.因为＝λ1，所以△BDF的面积S＝f(λ1，λ2)＝λ1λ2≤()2＝，上式当且仅当λ1＝λ2＝时取等号．14．(文)设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B，则AB的最小值为______．[答案] 2[解析] 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为＋＝1，则＝1，∴a2b2＝a2＋b2≥2ab，切线与两轴交于点A(a,0)和(0，b)，不妨设a>0，b>0，∴ab≥2，则AB＝|AB|＝≥≥2.(理)过点P(－，0)作直线l与椭圆3x2＋4y2＝12相交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为________，此时直线倾斜角的正切值为________．[答案] ±[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my－，S△AOB＝|OP|·|y1|＋|OP|·|y2|＝(|y1|＋|y2|)＝|y1－y2|把x＝my－代入椭圆方程得：3(m2y2－2my＋3)＋4y2－12＝0，即(3m2＋4)y2－6my－3＝0，y1＋y2＝，y1y2＝－∴|y1－y2|＝＝＝＝＝≤＝2，∴S≤×2＝，此时＝⇒m＝±.13\n令直线的倾角为α，则tanα＝±＝±，即△OAB面积的最大值为，此时直线的倾斜角的正切值为±.15．(2011·安徽合肥联考)合宁高速公路起自安徽省合肥西郊大蜀山，终于苏皖交界的吴庄，全长133km.假设某汽车从大蜀山进入该高速公路后以不低于60km/h且不高于120km/h的速度匀速行驶到吴庄．已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单位)由固定部分和可变部分组成；固定部分为200元；可变部分与速度v(km/h)的平方成正比．当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本为488元．(1)把全程运输成本f(v)(元)表示为速度v(km/h)的函数；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？[解析] (1)依题意488＝200＋k×1202⇒k＝0.02.f(v)＝(200＋0.02v2)＝133(＋0.02v)(60≤v≤120)．(2)f(v)＝133(＋0.02v)≥133×2＝532，当且仅当＝0.02v，即v＝100时，“＝”成立，即汽车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小为532元．16.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把它沿AC折起来，AB折过去后交CD于点P，如图，设AB＝x，求△ADP的面积的最大值，及此时x的值．[解析] ∵AB＝x，∴AD＝12－x，又DP＝PB′，AP＝AB′－PB′＝AB－DP，即AP＝x－DP，∴(12－x)2＋PD2＝(x－DP)2，得DP＝12－，∵AB>AD，∴6<x<12，13\n∴△ADP的面积S＝AD·DP＝(12－x)(12－)＝108－6(x＋)≤108－6·2＝108－72，当且仅当x＝即x＝6时取等号，∴△ADP面积的最大值为108－72，此时x＝6.1．已知△ABC中，点D是BC的中点，过点D的直线分别交直线AB、AC于E、F两点，若＝λ(λ>0)，＝μ(μ>0)，则＋的最小值是( )A．9B.C．5D.[答案] D[解析] ＝－＝(＋)－＝(λ＋μ)－＝＋，＝－.∵与共线，且与不共线，∴＝，13\n∴λ＋μ＝2，∴＋＝(λ＋μ)＝≥，等号在μ＝，λ＝时成立．2．已知F1、F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是( )A．(1，＋∞)B．(1,2]C．(1，]D．(1,3][答案] D[解析] ＝＝＋|PF2|＋4a≥4a＋4a＝8a，当且仅当＝|PF2|，即|PF2|＝2a时取等号．这时|PF1|＝4a.由|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|得6a≥2c，即e＝≤3，∴e∈(1,3]．3．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈成立，则a的最小值为( )A．0B．－2C．－D．－3[答案] C[分析] 将不等式进行变形，变为不等式的一边为参数，另一边为含x的代数式a≥－x－，x∈，a只要大于或等于y＝－x－，x∈的最大值就满足题设要求．[解析] 若x2＋ax＋1≥0，x∈恒成立，则a≥－x－，x∈恒成立．令y＝－x－，x∈，则y′＝－1＋，当x∈时y′>0，∴y＝－x－，x∈为增函数，∴ymax＝y|x＝＝－，当a≥－时，a≥－x－恒成立，即x2＋ax＋1≥0，x∈恒成立，∴选C.4．设M是△ABC内一点，且·＝2，∠BAC＝30°，定义f(M)＝(m，n，p13\n)，其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积．若f(M)＝，则＋的最小值是________．[答案] 18[解析] ∵·＝||·||cos30°＝|AB|·|AC|＝2，∴|AB|·|AC|＝4，由f(M)的定义知，S△ABC＝＋x＋y，又S△ABC＝|AB|·|AC|·sin30°＝1，∴x＋y＝(x>0，y>0)∴＋＝2(x＋y)＝2≥2(5＋2)＝18，等号在＝，即y＝2x＝时成立，∴min＝18.5．设x、y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则＋的最小值为________．[答案] [解析] 不等式组所表示的平面区域为图中阴影部分，13\n当直线ax＋by＝z(a>0，b>0)过两直线的交点A(4,6)时，z取最大值12，∴4a＋6b＝12，∴2a＋3b＝6，∴＋＝·＝＋＋≥＋2＝等号在＝，即b＝a＝时成立．6．(2012·江南十校联考)已知f(x)＝则不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3的解集是________．[答案] [－3，＋∞)[解析] 不等式x＋(x＋1)f(x－1)≤3化为：或∴－3≤x<1或x≥1.∴x≥－3.7．已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinαcos(α＋β)．(1)当α＋β＝，求tanβ的值；(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)∵由条件知，sinβ＝sin，整理得sinβ－cosβ＝0，∵β为锐角，∴tanβ＝.(2)由已知得sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，∴tanβ＝＝＝＝≤＝.当且仅当＝2tanα时，取“＝”号，∴tanα＝时，tanβ取得最大值，此时，tan(α＋β)＝＝.8．函数f(x)对一切实数x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)；(2)求f(x)；(3)当0<x<2时，不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范围．[解析] (1)令x＝1，y＝0，13\n得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，∴f(0)＝f(1)－2＝－2.(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x2＋x，∴f(x)＝x2＋x－2.(3)f(x)>ax－5化为x2＋x－2>ax－5，ax<x2＋x＋3，∵x∈(0,2)，∴a<＝1＋x＋.当x>0时，1＋x＋≥1＋2，当且仅当x＝，即x＝时取等号，∵∈(0,2)，∴(1＋x＋)min＝1＋2.∴a<1＋2.13
