第2讲 填空题技法指导填空题是高考三大题型之一，主要考查基础知识、基本方法以及分析问题、解决问题的能力，试题多数是教材例题、习题的改编或综合，体现了对通性通法的考查．该题型的基本特点是：(1)具有考查目标集中、跨度大、知识覆盖面广、形式灵活、答案简短、明确、具体，不需要写出求解过程而只需要写出结论等特点；(2)填空题与选择题有质的区别：①填空题没有备选项，因此，解答时不受诱误干扰，但同时也缺乏提示；②填空题的结构往往是在正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容留下空位，让考生独立填上，考查方式比较灵活；(3)从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写型：要求考生填写数值、数集或数量关系．由于填空题缺少选项的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现；另一类是定性填写型：要求填写的是具有某种性质的对象或填写给定的数学对象的某种性质，如命题真假的判断等．近几年出现了定性型的具有多重选择的填空题．1．直接法与定义法数学中的填空题，绝大多数都能直接利用有关定义、性质、定理、公式和一些规律性的结论，经过变形、计算得出结论．使用直接法和定义法解填空题，要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的变换．解题时，对概念要有合理的分析和判断；计算时，要求推理、运算的每一步骤都应正确无误，还要求将答案书写准确、完整．少算多思是快速准确地解答填空题的基本要求．【例1】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过点F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．【例2】已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，则动圆的圆心P的轨迹方程是__________．变式训练1已知a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j为互相垂直的单位向量，且(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝__________.2．特殊化法当题目中暗示答案是一个“定值”时，就可以取一个特殊数值、特殊位置、特殊图形、特殊关系、特殊数列或特殊函数值来将字母具体化，把一般形式变为特殊形式．当题目的条件是从一般性的角度给出时，特例法尤其有效．【例3】已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2.则数列的通项公式an＝__________.变式训练2在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝__________.3．数形结合法依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解填空题，称为数形结合型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显．由于填空题不要求写出解答过程，因而有些问题可以借助于图形，然后参照图形的形状、位置、性质，综合图象的特征，进行直观的分析，加上简单的运算，便可得出正确的答案．【例4】曲线方程|x2－1|＝x＋k的实根随k的变化而变化，那么方程的实根的个数最多为__________．变式训练3若方程＝kx－2k＋2有两个不同的实数根，则实数k的取值范围为__________．4．构造法-4-\n构造法就是通过对已知的条件和结论进行深入、细致的分析，抓住问题的本质特征，再联想与之有关的数学模型，恰当地构造辅助元素，将待证(求)问题进行等价转化，从而架起已知与未知的桥梁，使问题得以解决．构造法在函数、方程、不等式等方面有着广泛的应用，特别是与数列、三角函数、空间几何体、复数等知识密不可分．【例5】若锐角α，β，γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，那么tanα·tanβ·tanγ的最小值为__________．变式训练4如果sin3θ－cos3θ＞cosθ－sinθ，且θ∈(0,2π)，那么角θ的取值范围是__________．5．等价转化法从题目出发，把复杂的、生疏的、抽象的、困难的或未知的问题通过等价转化为简单的、熟悉的、具体的、容易的或已知的问题来解决，从而得出正确的结果．【例6】已知函数f(x)＝x3＋x－6，若不等式f(x)≤m2－2m＋3对于所有x∈[－2,2]恒成立，则实数m的取值范围是__________．变式训练5对于任意的|m|≤2，函数f(x)＝mx2－2x＋1－m的值恒为负，则实数x的取值范围为__________．参考答案方法例析【例1】＋＝1 解析：∵△ABF2的周长为16，∴4a＝16，解得a＝4.∵离心率e＝，∴c＝2.∴b2＝8.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为＋＝1.【例2】y2＝－8x 解析：利用抛物线的定义，先判断出点P的轨迹再求方程．由题意可知，点P到直线x＝1的距离比它到点A的距离小1，即点P到直线x＝2的距离与到点A的距离相等，所以点P的轨迹是以A为焦点，直线x＝2为准线的抛物线，其方程为y2＝－8x.【变式训练1】－2 解析：a＋b＝(m＋2)i＋(m－4)j，a－b＝mi－(m＋2)j，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0.∴m(m＋2)i2＋[－(m＋2)2＋m(m－4)]i·j－(m＋2)(m－4)j2＝0.∵i，j为互相垂直的单位向量，∴i·j＝0，i2＝1，j2＝1.从而可得m(m＋2)－(m＋2)(m－4)＝0，解得m＝－2.【例3】n·2n 解析：根据数列满足的关系式，进行恰当的赋值．∵a1＝2，∴2＝f(21)＝f(2)．令x＝2n，y＝2，∴f(2n＋1)＝2f(2n)＋2n＋1.∴＝＋1，－＝1.∴＝＋(n－1)×1＝n.∴an＝n·2n.【变式训练2】 解析：令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝，cosC＝0，代入所求式子，得＝＝.【例4】4 解析：如图所示，参数k是直线y＝x＋k在y轴上的截距，通过观察直线y＝x＋k与y＝|x2－1|的公共点的变化情况，并通过计算可知，当k-4-\n＜－1时，曲线方程有0个实根；当k＝－1时，有1个实根；当－1＜k＜1时，有2个实根；当k＝1时，有3个实根；当1＜k＜时，有4个实根；当k＝时，有3个实根；当k＞时，有2个实根．综上所述，可知实根的个数最多为4.【变式训练3】 解析：方程＝kx－2k＋2有两个不同的实数根，就是y＝与y＝kx－2k＋2有两个不同的交点．由y＝得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，所以曲线y＝是以(1,0)为圆心，以1为半径的位于x轴上方的半圆．由y＝kx－2k＋2，得y－2＝k(x－2)，它是经过点P(2,2)，斜率为k的直线．如图，连接PO，kOP＝＝1.过P作圆的切线PQ，由＝1，得kPQ＝，所以＜k≤1.【例5】2 解析：如图，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，令α，β，γ分别为∠BAC1，∠C1AD，∠C1AA1，从而有tanα·tanβ·tanγ＝··≥＝2.当且仅当a＝b＝c时，tanα·tanβ·tanγ取最小值2.【变式训练4】 解析：不等式sin3θ－cos3θ＞cosθ－sinθsin3θ＋sinθ＞cos3θ＋cosθ.构造函数f(x)＝x3＋x，∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴函数f(x)在R上是增函数，故当sinθ＞cosθ时，sin3θ＋sinθ＞cos3θ＋cosθ成立．又θ∈(0,2π)，∴＜θ＜.【例6】(－∞，1－]∪[1＋，＋∞) 解析：∵f′(x)＝3x2＋1＞0，∴f(x)在x∈[－2,2]内是增函数．∴f(x)在[－2,2]上的最大值是f(2)＝4.∴m2－2m＋3≥4，解得m≤1－或m≥1＋.-4-\n【变式训练5】 解析：对于任意的|m|≤2，有mx2－2x＋1－m＜0恒成立，即当|m|≤2时，(x2－1)m－2x＋1＜0恒成立．设g(m)＝(x2－1)m－2x＋1，则原问题转化为g(m)＜0恒成立(m∈[－2,2])．∴即解得＜x＜.即x的取值范围为.-4-
