专题升级训练27 解答题专项训练(立体几何)1．下图是一个几何体的直观图及它的三视图(其中正(主)视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧(左)视图为直角三角形，尺寸如图所示)．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)若G为BC的中点，求证：AE⊥PG.2．有一根长为3πcm，底面半径为2cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？3．如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE⊥平面CBB1.(1)证明：DE∥平面ABC；(2)求四棱锥C－ABB1A1与圆柱OO1的体积比．4．如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=AD=2，G是EF的中点．(1)求证：平面AGC⊥平面BGC；(2)求三棱锥A－GBC的体积．5．已知正四面体ABCD(图1)，沿AB，AC，AD剪开，展成的平面图形正好是(图2)所示的直角梯形A1A2A3D(梯形的顶点A1，A2，A3重合于四面体的顶点A)．-6-\n(1)证明：AB⊥CD；(2)当A1D＝10，A1A2＝8时，求四面体ABCD的体积．6．如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，D，S分别为PB，AB，BC的中点．(1)求证：PA∥平面CDM；(2)求证：SN⊥平面CDM.7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=2，M，N分别是AB，A1C的中点．(1)求证：MN∥平面BCC1B1；(2)求证：MN⊥平面A1B1C；(3)求三棱锥M－A1B1C的体积．8．一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，G分别是AB，DF的中点．(1)求证：CM⊥平面FDM；(2)在线段AD上(含A，D端点)确定一点P，使得GP∥平面FMC，并给出证明．-6-\n-6-\n参考答案1．解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4，所以VP－ABCD＝PA·S正方形ABCD＝×4×4×4＝.(2)证明：连接BP.因为＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°，所以△EBA∽△BAP，所以∠PBA＝∠AEB，所以∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，所以PB⊥AE.由题易证BC⊥平面APEB，所以BC⊥AE.又因为PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，因为PG⊂平面PBC，所以AE⊥PG.2．解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3πcm，AB＝4πcm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为5πcm.3．(1)证明：连接EO，OA.∵E，O分别为B1C，BC的中点，∴EO∥BB1.又DA∥BB1，且DA=EO=BB1.∴四边形AOED是平行四边形，即DE∥OA.又DE平面ABC，AO⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC.(2)解：由题意知DE⊥平面CBB1，且由(1)知DE∥OA，∴AO⊥平面CBB1，∴AO⊥BC，∴AC=AB.因BC是底面圆O的直径，得CA⊥AB.而AA1⊥CA，AA1∩AB=A，∴CA⊥平面AA1B1B，即CA为四棱锥的高．-6-\n设圆柱高为h，底面半径为r，则V柱=πr2h，V锥=h(r)·(r)=hr2，∴V锥∶V柱=.4．(1)证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点，∴AG＝BG＝＝2，从而得：AG2＋BG2＝AB2，∴AG⊥BG.又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，且BC⊥AB，∴BC⊥平面ABEF.∵AG⊂平面ABEF，∴BC⊥AG.∵BC∩BG＝B，∴AG⊥平面BGC，∵AG⊂平面AGC，∴平面AGC⊥平面BGC.(2)解：由(1)得：BC⊥平面ABEF，∴CB是三棱锥A－GBC的高，而S△ABG＝×2×2＝4，∴VA－GBC＝VC－ABG＝×4×4＝.5．(1)证明：在四面体ABCD中，∵⇒AB⊥平面ACD⇒AB⊥CD.(2)解：在题图2中作DE⊥A2A3于E.∵A1A2=8，∴DE=8.又∵A1D=A3D=10，∴EA3=6，A2A3=10+6=16.又A2C=A3C，∴A2C=8.即图1中AC=8，AD=10，由A1A2＝8，A1B＝A2B得题图1中AB＝4.∴S△ACD＝＝DE·A3C＝×8×8＝32.又∵AB⊥面ACD，∴VB－ACD＝×32×4＝.6．证明：(1)在三棱锥P－ABC中，因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.因为MD⊂平面CMD，PA平面CMD，所以PA∥平面CMD.(2)因为M，D分别为PB，AB的中点，所以MD∥PA.因为PA⊥平面ABC，所以MD⊥平面ABC，又SN⊂平面ABC，所以MD⊥SN.在△ABC中，连接DS，因为D，S分别为AB，BC的中点，所以DS∥AC且DS＝AC.又AB⊥AC，所以∠ADS＝∠BAC＝90°.因为AC＝AB，所以AC＝AD，-6-\n所以∠ADC＝45°，因此∠CDS＝45°.又AB＝4AN，所以DN＝AD＝AC，即DN＝DS，故SN⊥CD.又MD∩CD＝D，所以SN⊥平面CMD.7．(1)证明：连接BC1，AC1.由题知点N在AC1上且为AC1的中点．∵M是AB的中点，∴MN∥BC1.又∵MN平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1.(2)证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱与底面垂直，∴四边形BCC1B1是正方形，∴BC1⊥B1C，∴MN⊥B1C.连接A1M，由∠ABC=∠MAA1=90°，BM=AM，BC=AA1得△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM.又N是A1C的中点，∴MN⊥A1C.∵B1C与A1C相交于点C，∴MN⊥平面A1B1C.(3)解：由(2)知MN是三棱锥M－A1B1C的高．在直角△MNC中，，，∴.又，∴=MN·=.8．证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=a.(1)∵FD⊥平面ABCD，CM⊂平面ABCD，∴FD⊥CM.在矩形ABCD中，CD=2a，AD=a，M为AB中点，DM=CM=a，∴CM⊥DM.∵FD⊂平面FDM，DM⊂平面FDM，FD∩DM=D，∴CM⊥平面FDM.(2)点P在A点处．证明：取DC中点S，连接AS，GS，GA，∵G是DF的中点，∴GS∥FC.又AS∥CM，AS∩AG=A，∴平面GSA∥平面FMC.而GA⊂平面GSA，∴GP∥平面FMC.-6-
