第3讲 解答题题型特点与技法指导高考解答题一般有六大方向：三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何、数列与不等式、解析几何、不等式与函数及导数．一般来说，前三题属于中、低档题，第四题属中档偏难题，后两题属难题．三角函数与平面向量、概率与统计、立体几何在前三题中出现的概率较高，掌握解这几类题的解法是大多数学生成功的关键．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．能否做好解答题，是高考成败的关键．1．三角函数有关三角函数的大题即解答题，主要是考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大．凸显恒等变换与三角函数图象、性质在三角形内考查．主要考查以下4个方面：①三角函数的图象、性质、图象变换，主要是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象、性质及图象变换，考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、最值及图象的平移和对称等；②三角恒等变换，主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般需要运用和差角公式、倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查；③三角函数性质的应用．通过解三角形来考查三角恒等变形及应用三角函数性质的综合能力；④三角函数与平面向量、数列、不等式等知识的综合问题．【例1】已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，设函数f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的图象关于直线x＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围．点评利用向量的工具作用，与向量结合在一起命制综合题，体现了在知识交汇点处命题的指导思想．这类问题求解时，首先利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换，再研究三角函数的图象与性质．变式训练1(2012·安徽高考，理16)设函数f(x)＝cos＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g＝g(x)，且当x∈时，g(x)＝－f(x)．求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．2．立体几何立体几何是高中数学的主干知识之一，命题形式比较稳定．立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直，求解这类问题要依据线面关系的判定定理和性质定理进行推理论证；另一类是空间几何量(空间角、空间距离、几何体体积与面积)的计算．求解这类问题，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．对以上两类问题特别要加强空间向量法的训练．【例2】(2012·河南豫东、豫北十校阶段性检测，18)如图，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠EAC＝60°，AB＝AC＝AE.-12-\n(1)在直线BC上是否存在一点P，使得DP∥平面EAB？请证明你的结论；(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角θ的余弦值．点评线线平行、线面平行、面面平行的判定与证明是相互转化的，垂直也是如此；对于二面角，一般有两种方法，几何法与向量法，一般倾向于用向量法．变式训练2(2012·陕西西安二模，19)如图，FD垂直于矩形ABCD所在的平面，CE∥DF，∠DEF＝90°.(1)求证：BE∥平面ADF；(2)若矩形ABCD的一个边AB＝3，EF＝2，则另一边BC的长为何值时，平面BEF与平面CDFE所成角的大小为45°.3．概率与统计概率与统计问题的解答题是每年高考必考内容，主要考查古典概型、几何概型、等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式，事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率计算公式等五个基本公式的应用及离散型随机变量分布列和数学期望、方差等内容．【例3】(2012·天津宝坻质检，16)某学科奥赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，若某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在比赛中比赛的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．点评概率计算的关键是概率模型的判断，各事件之间的关系是互斥还是相互独立等，解题的关键是对概念理解到位．求概率分布列的关键在于依据题意准确分析，计算随机变量在各个取值下对应的概率．变式训练3山东省第23届运动会将于2014年在济宁隆重召开．为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．调查发现，这30名志愿者的身高如图：(单位：cm)-12-\n若身高在175cm以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm以下(不包括175cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，则至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．4．数列与不等式高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算，可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与求和有关的题目，首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；(3)含Sn的式子，要根据题目特征利用an＝进行转化；(4)与递推数列有关的问题，要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列；(5)与数列有关的不等式问题，可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法、数学归纳法等)；(6)与函数有关的问题，应根据函数的性质求解．【例4】(2012·四川成都二诊，20)已知数列{an}和{bn}，b1＝1，且bn＋1－3bn＝2n－2，记an＝bn＋1－bn＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an}为等比数列；(2)求数列{an}和{bn}的通项公式；(3)记cn＝logan3·logan＋23，数列{cn}的前n项和为Tn，若45Tk＜29，k∈N*恒成立，求k的最大值．点评第(1)问考查了等比数列的证明，它是为第(2)、(3)问服务的．第(2)问考查了求数列通项公式的常规方法．第(3)问考查了数列的求和方法，是数列与不等式知识的综合问题．变式训练4(2012·湖北八校二联，19)各项为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足：Sn＝a＋an＋(n∈N*)．(1)求an；(2)设函数f(n)＝cn＝f(2n＋4)(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.5．解析几何解析几何解答题主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等基础知识和处理有关问题的基本技能、基本方法，往往以中档偏难题或以压轴题形式出现，主要考查学生的逻辑推理能力、运算能力，考查学生综合运用数学知识解决问题的能力．突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．【例5】已知椭圆＋＝1，点P是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P作椭圆的切线l，交y轴于点A，直线l′过点P且垂直于l，交y轴于点B.试判断以AB为直径的圆能否经过定点，若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．点评-12-\n直线与圆锥曲线的位置关系一直是命题的热点，基本方法是联立方程，利用判别式、根与系数关系求解，运算量一般较大，这类综合题中常涉及的问题有弦长问题、面积问题、对称问题、定点定值问题等，是历年高考的热点问题，复习时要注重通性通法的训练．变式训练5(2012·山东高考，文21)如图，椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b所围成的矩形ABCD的面积为8.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T.求的最大值及取得最大值时m的值．6．函数与导数以函数为载体，以导数为工具，以考查函数性质及导数的应用为目标，以导数为工具围绕函数、不等式、方程等综合考查．在知识的交汇处命题，涉及到具体内容较多，如给定解析式求参数值，给定条件求参数范围，以及对参数讨论与证明不等式问题，极值、最值、值域及分析图象交点等问题，都以导数为工具．既考查函数部分的相关知识，又渗透函数与方程、数形结合、化归与转化、分类与整合等数学思想．【例6】(2012·河南许昌联考，21)设x＝3是函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e3－x(x∈R)的一个极值点．(1)求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；(2)设a＞0，g(x)＝ex.若存在x1，x2∈[0,4]使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围．点评本题考查了利用导数研究极值、单调区间、值域问题，考查了分类讨论思想等．变式训练6(2012·广东中山一模，20)已知函数f(x)＝4x3－3x2sinθ＋，其中x∈R，θ为参数，且0＜θ＜π.(1)当θ＝0时，判断函数f(x)是否有极值，说明理由；(2)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；(3)若对(2)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a－1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．参考答案方法例析【例1】解：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ．由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，-12-\n所以k＝1，故ω＝．所以f(x)的最小正周期是．(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－．故f(x)＝2sin－．由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin－≤2－，故函数f(x)在上的取值范围为［－1－，2－］．【变式训练1】解：(1)f(x)＝cos＋sin2x＝＋＝－sin2x，故f(x)的最小正周期为π．(2)当x∈时，g(x)＝－f(x)＝sin2x．故①当x∈时，x＋∈．由于对任意x∈R，g＝g(x)，从而g(x)＝g＝sin＝sin(π＋2x)＝－sin2x．②当x∈时，x＋π∈．从而g(x)＝g(x＋π)＝sin［2(x＋π)］＝sin2x．-12-\n综合①②得g(x)在［－π，0］上的解析式为【例2】解：(1)存在，线段BC的中点就是满足条件的点P．证明如下：取AB的中点F，连接DP，PF，EF，则PF∥AC，且FP＝AC．取AC的中点M，连接EM，EC．∵AE＝AC且∠EAC＝60°，∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，∴四边形EMCD为矩形，∴ED＝MC＝AC．又ED∥AC，∴ED∥FP且ED＝FP，∴四边形EFPD是平行四边形，∴DP∥EF．又EF⊂平面EAB，DP平面EAB，∴DP∥平面EAB．(2)(解法1)过B作AC的平行线l，过C作l的垂线交l于G，连接DG．∵ED∥AC，∴ED∥l，则l是平面EBD与平面ABC的交线．∵平面EAC⊥平面ABC，DC⊥AC，∴DC⊥平面ABC．又∵CG⊥l，∴l⊥DG，∴∠DGC是所求二面角的平面角．设AB＝AC＝AE＝2a，则CD＝a，GC＝2a．∴GD＝＝a，∴cosθ＝cos∠DGC＝＝．-12-\n(解法2)∵∠BAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，∴以点A为坐标原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示．设AB＝AC＝AE＝2a，由已知，得B(2a,0,0)，E(0，a，a)，D(0,2a，a)，∴＝(2a，－a，－a)，＝(0，a,0)．设平面EBD的法向量为n＝(x，y，z)，则且，∴∴解之，得取z＝2，得平面EBD的一个法向量为n＝(，0,2)．又∵平面ABC的一个法向量为n′＝(0,0,1)．∴cosθ＝|cos〈n，n′〉|＝＝．【变式训练2】解：(1)由ABCD是矩形得BC∥AD，推出BC∥平面ADF．由CE∥DF得CE∥平面ADF．∵BC∩CE＝C，所以平面BCE∥平面ADF．∵BE⊂平面BCE，从而BE∥平面ADF．(2)如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设BC＝a，CE＝b，DF＝c，得B(a,3,0)，C(0,3,0)，E(0,3，b)，F(0,0，c)，∴＝(0，－3，c－b)，＝(0,3，b)．∵，＝2，解得b＝3，c＝4，设平面BEF的一个法向量n＝(1，p，q)，由n·＝0，n·＝0，求得平面BEF的一个法向量为n＝．又∵DA⊥平面DCEF，-12-\n∴|cos〈n，〉|＝，解得a＝．∴当BC＝时，平面BEF与平面CDFE所成角的大小为45°．【例3】解：(1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率是：P＝P(A)＝P(A)P()＝×＝．(2)ξ可能的取值为1,2,3．P(ξ＝1)＝P()＝1－＝，P(ξ＝2)＝P(A)＝P(A)P()＝×＝，P(ξ＝3)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．ξ的分布列为：ξ123Pξ的数学期望Eξ＝1×＋2×＋3×＝．【变式训练3】解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，所以选中的“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．用A表示事件“至少有一名‘高个子’被选中”，则P(A)＝1－＝1－＝．因此，至少有一人是“高个子”的概率是．(2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝．因此，ξ的分布列如下：ξ0123P所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．【例4】解：(1)∵bn＋1－3bn＝2n－2，∴bn－3bn－1＝2(n－1)－2，n≥2，n∈N*．两式相减，得bn＋1－bn－3bn＋3bn－1＝2(n≥2，n∈N*)．-12-\n整理，得bn＋1－bn＋1＝3(bn－bn－1＋1)(n≥2，n∈N*)，即an＝3an－1(n≥2，n∈N*)．∴数列{an}是公比为3的等比数列．(2)∵b2＝3，∴a1＝3－1＋1＝3．∴an＝3n(n∈N*)．∵an＝bn＋1－bn＋1＝3n，∴bn－bn－1＋1＝3n－1，bn－1－bn－2＋1＝3n－2，…，b2－b1＋1＝31．累加，得bn－b1＋n－1＝－1．∴bn＝－n＋(n∈N*)．(3)＝＝．∴Tn＝＝－．由45Tk＜29得135－90＜116．∴＋＞＝＋．∴k＜8．又k∈N*，∴k的最大值为7，【变式训练4】解：(1)由Sn＝an2＋an＋，①得，当n≥2时，Sn－1＝an－12＋an－1＋．②由①－②化简得：(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0．又∵数列{an}的各项为正数，∴当n≥2时，an－an－1＝2．故数列{an}成等差数列，公差为2．又a1＝S1＝a12＋a1＋，解得a1＝1，∴an＝2n－1．(2)由分段函数f(n)＝可以得到：c1＝f(6)＝f(3)＝a3＝5，c2＝f(8)＝f(4)＝f(2)＝f(1)＝a1＝1；当n≥3，n∈N*时，cn＝f(2n＋4)＝f(2n－1＋2)＝f(2n－2＋1)＝2(2n－2＋1)－1＝2n－1＋1，故当n≥3时，Tn＝5＋1＋(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n－1＋1)＝6＋＋(n－2)＝2n＋n．n＝1时，T1＝5不满足Tn＝2n＋n，n＝2时，T2＝c1＋c2＝6满足Tn＝2n＋n，故Tn＝【例5】解：设点P(x0，y0)(x0≠0，y0≠0)，直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)，代入＋＝1，-12-\n整理得(3＋4k2)x2＋8k(y0－kx0)x＋4(y0－kx0)2－12＝0．∵x＝x0是方程的两个相等实根，∴2x0＝－，解得k＝－．∴直线l的方程为y－y0＝－(x－x0)．令x＝0，得点A的坐标为．又∵＋＝1，∴4y02＋3x02＝12，∴点A的坐标为．又直线l′的方程为y－y0＝(x－x0)，令x＝0，得点B的坐标为，∴以AB为直径的圆方程为x·x＋·＝0，整理得x2＋y2＋y－1＝0．由得∴以AB为直径的圆恒过定点(－1,0)和(1,0)．【变式训练5】解：(1)设椭圆M的半焦距为c，由题意知所以a＝2，b＝1．因此椭圆M的方程为＋y2＝1．(2)由整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，由Δ＝64m2－80(m2－1)＝80－16m2＞0，得－＜m＜．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．所以|PQ|＝＝＝(－＜m＜)．线段CD的方程为y＝1(－2≤x≤2)，线段AD的方程为x＝－2(－1≤y≤1)．①不妨设点S在AD边上，T在CD边上，可知1≤m＜，S(－2，m－2)，D(－2,1)，所以|ST|＝|SD|＝［1－(m－2)］＝(3－m)，因此＝，令t＝3－m(1≤m＜)，则m＝3－t，t∈(3－，2］，所以＝-12-\n＝＝，由于t∈(3－，2］，所以∈，因此当＝即t＝时，取得最大值，此时m＝．②不妨设点S在AB边上，T在CD边上，此时－1≤m≤1，因此|ST|＝|AD|＝2，此时＝，所以当m＝0时，取得最大值．③不妨设点S在AB边上，T在BC边上，－＜m≤－1，由椭圆和矩形的对称性知的最大值为，此时m＝－．综上所述m＝±或m＝0时，取得最大值．【例6】解：(1)f′(x)＝－［x2＋(a－2)x＋b－a］e3－x，由f′(3)＝0，得－［32＋3(a－2)＋b－a］e3－3＝0，即得b＝－3－2a，则f′(x)＝－［x2＋(a－2)x－3－3a］e3－x＝－(x－3)(x＋a＋1)e3－x．令f′(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是函数的一个极值点．所以x1≠x2，那么a≠－4．当a＜－4时，x2＞3＝x1，则在区间(－∞，3)上，f′(x)＜0，f(x)为减函数；在区间(3，－a－1)上，f′(x)＞0，f(x)为增函数；在区间(－a－1，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)为减函数．当a＞－4时，x2＜3＝x1，则在区间(－∞，－a－1)上，f′(x)＜0，f(x)为减函数；在区间(－a－1,3)上，f′(x)＞0，f(x)为增函数；在区间(3，＋∞)上，f′(x)＜0，f(x)为减函数．即a＜－4时，f(x)的单调增区间为(3，－a－1)，单调减区间为(－∞，3)，(－a－1，＋∞)；a＞－4时，f(x)的单调增区间为(－a－1,3)，单调减区间为(－∞，－a－1)，(3，＋∞)．(2)由(1)知，当a＞0时，f(x)在区间(0,3)上单调递增，在区间(3,4)上单调递减，而f(0)＝－(2a＋3)e3＜0，f(4)＝(2a＋13)e－1＞0，f(3)＝a＋6，那么f(x)在区间［0,4］上的值域是［－(2a＋3)e3，a＋6］．-12-\n又g(x)＝ex在区间［0,4］上是增函数，且它在区间［0,4］上的值域是，由于－(a＋6)＝a2－a＋＝2≥0，所以只须且仅须－(a＋6)＜1且a＞0，解得0＜a＜．故a的取值范围是．【变式训练6】解：(1)当θ＝0即sinθ＝0时，f(x)＝4x3＋，则f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，故无极值．(2)f′(x)＝12x2－6xsinθ，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝．当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增因此，函数f(x)在x＝处取得极小值f，且＝－sin3θ＋．要使＞0，必有－sin3θ＋＞0，可得0＜sinθ＜，所以0＜θ＜或＜θ＜π．(3)由(2)知，函数f(x)在区间(－∞，0)与内都是增函数．由题设函数f(x)在(2a－1，a)内是增函数，则a须满足不等式组或由(2)，参数θ满足0＜θ＜或＜θ＜π时，0＜sinθ＜，要使不等式2a－1≥sinθ关于参数θ恒成立，必有2a－1≥，∴a≥．综上所述，a的取值范围是(－∞，0］∪．-12-
