选修4—1 几何证明选讲真题试做1．(2012·北京高考，理5)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )．A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD22．(2012·天津高考，文13)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D．过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝，则线段CD的长为________．3．(2012·课标全国高考，理22)如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点．若CF∥AB，证明：(1)CD＝BC；(2)△BCD∽△GBD．考向分析从近几年的高考情况看，本部分内容主要有两大考点，一是会证明并应用圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理；二是会证明并应用相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理等．在高考中常以圆为背景，主要考查最基本、最重要的内容，试题多以填空题、解答题的形式呈现，试题难度属中低档．预计在今后高考中，几何证明选讲主要考查最基本、最重要的内容，如相似三角形，圆的切线、弦切角，圆内接四边形的性质与判定，与圆有关的比例线段等，试题难度中等．另外，对平行线等分线段定理及平行线分线段成比例定理、直角三角形的射影定理、切线长定理等内容的考查，也应引起足够的重视．热点例析热点一 相似三角形问题【例1】如图，点P是⊙O的直径CB的延长线上一点，PA和⊙O相切于点A，若PA=15，PB=5.-9-\n(1)求tan∠ABC的值；(2)若弦AD使∠BAD=∠P，求AD的长．规律方法在求线段的长度或计算比例线段的比值时，应注意的问题：(1)首先应先寻找所求线段或比例线段所在的两个三角形；(2)判断寻找的两个三角形是否具备相似的条件；(3)如果条件不能直接找出时，可巧添辅助线；(4)有平行线时可应用平行线分线段成比例定理加以解决．变式训练1如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A，过A点作一直线AP垂直于直线OM，垂足为P.(1)证明OM·OP＝OA2；(2)N为线段AP上一点，直线NB与直线ON垂直，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K，证明∠OKM＝90°.热点二 有关圆的切线、弦切角问题【例2】如图，已知＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD．规律方法与圆的切线有关的几何证明问题处理思路：(1)若两圆相切时，往往需要添加两圆的公切线，转化为弦切角与圆心角、圆周角之间的关系；(2)在利用圆的切线、弦切角解题时，应特别注意圆周角、圆心角与弦切角的特殊关系．变式训练2如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1＞r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．热点三 圆内接四边形的判定与性质-9-\n【例3】如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB=1，PD=3，则的值为____________________.规律方法有关圆内接四边形问题的处理思路：(1)圆内接四边形(亦即四点共圆)的判定与性质，在近几年高考中常有考查，处理此类问题的关键是掌握对角的互补关系，同边所形成的弦、角的等量关系，以及外角与其内对角的相等关系等．(2)通常情况下把圆内接四边形问题转化为圆周角、圆心角、圆内角、圆外角、弦切角以及圆内接四边形的对角等问题，然后再利用题设条件来解决问题．(3)值得注意的有，在平面几何中求角的大小，经常考虑借助三角形内角和定理及其推论；在圆中求角的大小常常借助与圆有关的角的定理来完成．变式训练3如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC＝ED．(1)证明：CD∥AB；(2)延长CD到F，延长DC到G，使得EF＝EG，证明：A，B，G，F四点共圆．热点四 有关与圆相关的比例线段问题【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是∠CBD的角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线．(2)如果AD=6，，求BC的长．规律方法与圆有关的比例线段问题的处理思路：解决与圆有关的比例线段问题，常常结合圆的切割线定理、割线定理、相交弦定理等来进行分析．当然，在解题过程中善于发现、构造相似三角形，寻找平行线截线段成比例等也是解决问题的关键环节．变式训练4如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为__________．-9-\n1．如图，在▱ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值等于( )．A．B．1C．D．2．(原创题)如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，则图中与△ABC相似的三角形有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个3．(2012·北京丰台区3月模拟，12)如图所示，Rt△ABC内接于圆，∠ABC＝60°，PA是圆的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆于点D．若PA＝AE，PD＝，BD＝3，则AP＝__________，AC＝__________.4．(2012·湖北华中师大一附中5月模拟，15)如图所示，圆O的直径为6，C为圆周上一点，BC＝3，过点C作圆的切线l，过点A作l的垂线AD，垂足为D，则CD＝__________.5．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝__________.-9-\n6．(2012·江苏镇江5月模拟，21)如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，D为AO上一点，BD的延长线交⊙O于点E，过E点的圆的切线交CA的延长线于P.求证：PD2＝PA·PC．7．(2012·吉林长春实验中学模拟，22)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与△ABC的外接圆交于点P，交BC延长线于点D．(1)求证：＝；(2)若AC＝3，求AP·AD的值．参考答案命题调研·明晰考向真题试做1．A 解析：由切割线定理得，CD2＝CE·CB，又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.2． 解析：在圆中，由相交弦定理得：AF·FB＝EF·FC，∴FC＝＝2.由△AFC∽△ABD，得＝，∴BD＝＝.由切割弦定理得：DB2＝DC·DA，又DA＝4CD，∴4DC2＝DB2＝.∴DC＝.3．证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.-9-\n又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD.而CF∥AD，连接AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，故CD＝BC.(2)因为FG∥BC，故GB＝CF.由(1)可知BD＝CF，所以GB＝BD.而∠DGB＝∠EFC＝∠DBC，故△BCD∽△GBD.精要例析·聚焦热点热点例析【例1】 解：(1)连接AC，∵BC为⊙O直径，∴∠BAC＝90°.又∵PA为切线，∴∠BAP＝∠C.又∵∠P＝∠P，∴△PAB∽△PCA.∴＝＝＝3.∴在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝3.(2)由切割线定理，得PA2＝PB·PC，即PA2＝PB(PB＋BC)．又PA＝15，PB＝5，∴BC＝40.设AB＝x，则AC＝3x.由勾股定理，AC2＋AB2＝BC2，即x2＋(3x)2＝402，得x＝4(舍去负根)．连接BD，在△PAB和△ADB中，∠PAB＝∠D，∠P＝∠BAD，∴△PAB∽△ADB.∴＝，∴AD＝＝＝12.【变式训练1】证明：(1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知OA2＝OM·OP.(2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK，即＝，又∠NOP＝∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°.-9-\n【例2】 证明：(1)因为，所以∠BCD＝∠ABC，又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.【变式训练2】证明：过A作两圆的公切线，连接O1A，O1B，O2C，由弦切角定理易得：∠AO2C＝∠AO1B，所以O1B∥O2C，所以△O1AB∽△O2AC，所以AB∶AC＝O1A∶O2A＝r1∶r2.故AB∶AC为定值．【例3】 解析：∵∠P＝∠P，∠A＝∠PCB，∴△PCB∽△PAD.∴＝＝.【变式训练3】证明：(1)因为EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD.因为A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC＝∠EBA，故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥AB.(2)由(1)知，AE=BE，因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC，从而∠FED=∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE.又CD∥AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆．【例4】(1)证明：连接OE，-9-\n因为OE＝OB，所以∠OEB＝∠OBE.又因为BE平分∠CBD，所以∠CBE＝∠DBE.所以∠OEB＝∠CBE.所以EO∥CB.因为∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC⊥OE.因为E为⊙O半径OE的外端，所以AC是⊙O的切线．(2)解：因为AC是⊙O的切线，所以AE2＝AD·AB.因为AE＝6，AD＝6，所以(6)2＝6×AB.解得AB＝12，则OD＝OB＝3.因为EO∥CB，所以＝.所以＝.解得BC＝4.【变式训练4】2 解析：设圆的半径为R，由PA·PB＝PC·PD得3×(3＋4)＝(5－R)(5＋R)，解得R＝2.创新模拟·预测演练1．B 解析：∵AD∥BM，∴＝.又∵DC∥AN，∴＝.∴＝，∴＝.∴－＝－＝＝1.2．C 解析：△CDA，△DEA，△CED都与△ABC相似．3．2 34．5．6．证明：连接OE，因为PE切⊙O于点E，所以∠OEP＝90°.所以∠OEB＋∠BEP＝90°.因为OB＝OE，所以∠OBE＝∠OEB.因为OB⊥AC于点O，所以∠OBE＋∠BDO＝90°.-9-\n故∠BEP＝∠BDO＝∠PDE，PD＝PE.又因为PE切⊙O于点E，所以PE2＝PA·PC.故PD2＝PA·PC.7．(1)证明：∵∠CPD＝∠ABC，∠D＝∠D，∴△DPC∽△DBA，∴＝.又∵AB＝AC，∴＝.(2)解：由(1)可得∠ACD＝∠APC，∵∠CAP＝∠DAC，∴△APC∽△ACD，∴＝.∴AP·AD＝AC2＝9.-9-
