江苏省2016年高考一轮复习专题突破训练数列一、填空题1、（2015年江苏高考）数列满足，且，则数列的前10项和为_________。2、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲3、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。4、（2015届南京、盐城市高三二模）记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为．若()，则的值为▲．6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依此成等比数列，则的值为▲7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）在等比数列中，已知，则▲8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为▲9、（2015届江苏南京高三9月调研）记数列{an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(n≥2，n∈N*)，则Sn＝▲10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比为▲25\n11、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知等比数列的各项均为正数则▲12、（苏州市2015届高三上期末）已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为13、（泰州市2015届高三上期末）等比数列中，，，则数列的前项和为▲14、（无锡市2015届高三上期末）已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为15、（扬州市2015届高三上期末）设数列{}的前n项和为Sn，且，若对任意，都有，则实数p的取值范围是＿＿＿＿二、解答题1、（2014年江苏高考）设是各项为正数且公差为的等差数列，（1）证明：依次构成等比数列；（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。2、（2014年江苏高考）设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H数列。”（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；25\n（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}和{}，使得=（n）成立。3、（2013年江苏高考）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：。4、（2015届南京、盐城市高三二模）给定一个数列{an}，在这个数列里，任取m(m≥3，m∈N*)项，并且不改变它们在数列{an}中的先后次序，得到的数列称为数列{an}的一个m阶子数列．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．（1）求a的值；（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，且b1＝(k为常数，k∈N*，k≥2)，求证：m≤k＋1；（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m(m≥3，m∈N*)阶子数列，求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．记．（1）求证：数列为等比数列；（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．①求数列和的通项公式；②是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列25\n，，…，为等差数列？证明你的结论．6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））已知为常数，且为正整数，，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，对任意正整数，．数列中任意两不同项的和构成集合（1）证明无穷数列为等比数列，并求的值；（2）如果，求的值；（3）当时，设集合中元素的个数记为求数列的通项公式7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；（2）若（是不为零的常数），求证：数列是等差数列；（3）若（为常数，），，求证：对任意的，数列单调递减．8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）设函数（其中），且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为.（1）求（用表示）；（2）当时，令，设数列的前项和为，求证：；（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.25\n9、（2015届江苏南京高三9月调研）已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）记cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知无穷数列满足：，，且对于任意，都有，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式．11、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三上期末）在数列中，已知，且满足，，为常数．(1)证明：，，成等差数列；(2)设，求数列的前项和；(3)当时，数列中是否存在三项，，成等比数列，且，，也成等比数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．12、（南京市、盐城市2015届高三上期末）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；（3）设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.13、（南通市2015届高三上期末）设数列的前项和为.若，则称25\n是“紧密数列”.若数列的前项和为，证明：是“紧密数列”；设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求.的取值范围.14、（苏州市2015届高三上期末）已知数列中.（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.15、（泰州市2015届高三上期末）数列，，满足：，，．（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．参考答案一、填空题1、，所以。故2、4 3、12 4、50 5、7 6、－1 7、64 8、9、 10、2－2n－1 11、 25\n12、2 13、 14、9 15、二、解答题1、（1）证明：设，因为：因为，，所以依次构成等比数列。因为，，所以依次构成等比数列。所以依次构成等比数列。（2）假设依次构成等比数列，那么应该有：，因为，所以………(a)，考察(a)的解，故为的极大值，而，所以符合（a）的解。又，（因为数列各项为正数）。所以，解得，。所以，这与（a）矛盾。所以不存在这样的，使得依次构成等比数列。（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，那么：，而…………(a)25\n…….(b)由于，而，（且各项不等）所以，所以。令，，则，同理，。代入(a),(b)得：，等式两边取对数变形得：由（e）（f）得到新函数:，求导得到：，令，求二阶导数得：，令，则，而，故单调递减，又，所以除了外无零点，而这与题目条件不符。所以：不存在及正整数，使得依次构成等比数列。2、（1）证明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n25\n）。∴存在m=n+1使得（2）=1+（n-1）d，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+（m-1）d成立。化简得m=+1+，且d0又m，，d，且为整数。（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则n+=+（-1），=++1，∴=（）同理=（）取==k由题==+（-1）++（-1）=（）+（n-1）（）=（n+k-1））可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}和{}同时也是“H数列”满足条件。3、证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和∴（1）∵∴25\n∵成等比数列∴∴∴∴∵∴∴∴∴左边=右边=∴左边=右边∴原式成立（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：∴对恒成立∴由①式得：∵∴由③式得：法二：证：（1）若，则，，．当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差数列，则型．25\n观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．4、解：（1）因为a2，a3，a6成等差数列，所以a2－a3＝a3－a6．又因为a2＝，a3＝，a6＝，代入得－＝－，解得a＝0．……………3分（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．因为b1＝，所以b2≤，从而d＝b2－b1≤－＝－．………………6分所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．又因为bm＞0，所以－＞0．即m－1＜k＋1．所以m＜k＋2．又因为m，k∈N*，所以m≤k＋1．……………9分（3）设c1＝(t∈N*)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．因为c2≤，所以q＝≤．从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N*）．所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋＝[1－]＝－．…………13分设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N*）．当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．因为当t∈N*，所以1＜≤2．所以f()≤2－．25\n即c1＋c2＋…＋cm≤2－．………16分5、解：（1）证明：依题意，，……3分从而，又，所以是首项为，公比为的等比数列．……5分（2）①法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，则，解得，从而，……7分且解得，，所以，．……10分法2：依题意，得……7分消去，得消去，得消去，得，从而可解得，，，，所以，．……10分②假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，，成等差数列，则，因为，所以，①25\n若，则，结合①得，，化简得，，②因为，，不难知，这与②矛盾，所以只能，同理，，所以，，为数列的连续三项，从而，即，故，只能，这与矛盾，所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合．……16分（注：第（2）小问②中，在正确解答①的基础上，写出结论“不存在”，就给1分．）6、25\n7、解：（1）因为，，所以，25\n因为数列是各项不为零的常数列，所以，，则由及得，当时，，两式相减得，当时，，也满足，故．…………4分（2）因为，当时，，两式相减得，即，，即，又，所以，即，所以当时，，两式相减得，所以数列从第二项起是公差为等差数列；又当时，由得，当时，由得，故数列是公差为等差数列．…………15分（3）由（2）得当时，，即，因为，所以，即，所以，即，所以，当时，，两式相减得，即，故从第二项起数列是等比数列，所以当时，，，另外由已知条件得，又，，，25\n所以，因而，令，则，因为，所以，所以对任意的，数列单调递减．……………16分8、解:（1）由题意，得，显然的系数为0，所以，从而，.………………………4分（2）由，考虑的系数，则有，得，即，所以数列单调递增，且，所以，当时，.…………………………10分（3）由（2），因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，若，则，与矛盾，若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零矛盾，所以，即，由（1）知，，所以.………16分（其他方法：根据题意可以用、表示出，，，，由数列为等差数列，利用，解方程组也可求得.）解法2：由（1）可知，，因为数列是等差数列，设公差为，，.又由（2）25\n，所以得，若即时，，，与条件公差不为零相矛盾，因此则.由,可得,整理可得代入,,或若,则，与矛盾，若,则,满足题意,所以9、解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d．………………………………3分由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组解得所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N*．………………………………7分（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，……………………………11分即Tn＝n·2n＋1，n∈N*．………………………………14分10、解：（1）由条件，，令，得．…………………………………………………………2分又，且，易求得．……………………………4分再令，得，求得．…………………………………………6分（2）∵(1)∴(2)25\n由(1)-(2)得，……………………………………………8分∴∴∴，∴数列为常数数列．………………………12分∴∴∴数列为等差数列．……………………………………………………………14分又公差，∴．……………………………………………16分11、（1）因为，所以，同理，，，……………………2分又因为，，…………………………………………………3分所以，故，，成等差数列．………………………………4分（2）由，得，…………………………5分令，则，，所以是以0为首项公差为的等差数列，故，…6分即，所以，所以．………………………………………………………8分，当，……………………………………………………………9分当．………………10分所以数列的前项和（3）由（2）知，用累加法可求得，25\n当时也适合，所以 ……………………12分假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，则，即， ………14分因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得．这与题设矛盾．故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．…16分12、解：（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，又，，，；…………4分（2）（ⅰ）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，①若，则，，，.…………6分②若，则，，左边为偶数，等式不成立，③若，同理也不成立，综合①②③，得，所以必要性成立.…………8分（ⅱ）充分性：设，，则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立.综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立.…………10分（3）因为，即，（*）当时，，（**）则（**）式两边同乘以2，得，（***）（*）－（***），得，即，又当时，，即，适合，.………14分，，25\n时，，即；时，，此时单调递减，又，，，，.……………16分13、25\n25\n14、解：（1）设，因为．…………………………………2分若数列是等比数列，则必须有（常数），即，即，…………………5分此时，25\n所以存在实数，使数列是等比数列………………………………………6分（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，故，即，…………………8分由，得，……10分所以，，………………………………………………………………12分显然当时，单调递减，又当时，，当时，，所以当时，；，同理，当且仅当时，．综上，满足的所有正整数为1和2．……………………………………………16分15、证明：（１）设数列的公差为，∵，∴，∴数列是公差为的等差数列． ………………４分25\n（２）当时，，∵，∴，∴，∴，∵数列，都是等差数列，∴为常数，∴数列从第二项起为等差数列． ………………１０分（３）数列成等差数列． 解法１ 设数列的公差为，∵，∴，∴，…，，∴， 设，∴，两式相减得：，即，∴，∴，∴， ………………１２分令，得，∵，∴，∴，∴，∴，∴数列（）是公差为的等差数列， ………………１４分∵，令，，即，∴数列是公差为的等差数列． ………………１６分25\n解法2 ∵，，令，，即，………………１２分∴，，∴，∵数列是等差数列，∴，∴， ………………１４分∵，∴，∴数列是等差数列． ………………１６分25
