数学2013高考预测题16考生注意：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．所有试题均在答题卡上作答．其中，选择题用2B铅笔填涂，其余题用0．5毫米黑色墨水签字笔作答．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率（k=0，1，2，…，n）球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集=，集合，，则等于A．B．C．D．2．的值等于A．B．C．D．3．设是两个命题，A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件4．设，若，则下列不等式中正确的是A．B．C．D．5．函数的零点所在的区间是A．（）B．（）C．（）D．（）-14-\n6．已知向量，，设，若，则实数的值是A．B．C．D．7．设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），则y＝f（x）的图像可能是8．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2千克、B原料4千克，生产乙产品每件需用A原料3千克、B原料2千克．A原料每日供应量限额为60千克，B原料每日供应量限额为80千克．要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多10件以上，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为A．500元B．700元C．400元D．650元9．有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法共有A．66种B．60种C．36种D．24种10．设点是椭圆（）上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若，则该椭圆的离心率是A．B．C．D．11．关于x的不等式在上恒成立,则实数k的取值范围为A．B．C．D．12．已知都是定义在R上的函数,,且且，，对于有穷数列-14-\n，任取正整数，则前项和大于的概率是A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：把答案填在相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）．13．已知的展开式中各项系数之和为128．则展开式中的系数为_____（用数字作答）14．已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为．15．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是．16．定义在上的偶函数在[—1，0]上是增函数，给出下列关于的判断:①是周期函数；②关于直线对称；③是[0，1]上是增函数；④在[1，2]上是减函数；⑤．其中正确的序号是．（把你认为正确的序号都写上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）．17．（本题满分12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）记的三内角A、B、C所对的边长分别为,若，的面积-14-\n,，求的值．18．（本题满分12分）QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉．若黑鱼未被抓出,则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）．（1）求这7条鱼中至少有6条被QQ先生吃掉的概率；（2）以表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求的分布列及其数学期望．19．（本题满分12分）如图所示，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交、于点、，作//，分别交、于点、，将该正方形沿、折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．（1）求证：平面；（2）求四棱锥的体积；（3）求二面角的大小．20．（本题满分12分）已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前n项和．（1）求数列的通项公式和；（2）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在,请说明理由．-14-\n21．（本题满分12分）已知双曲线：的离心率为，左、右焦点分别为、，在双曲线上有一点，使，且的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）过点的动直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点、，在线段上取异于、的点，满足．证明：点总在某定直线上．22．（本题满分14分）已知函数．（1）若函数在区间（其中）上存在极值，求实数的取值范围；（2）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：．-14-\n参考答案一、选择题：ACBBABBBDCAAD12．由单调递减，又，故，所以由，得是首项为，公比为的等比数列，其前项和，所以，二、填空题：13．2114．415．5；16．①②⑤．三、解答题：17．解:（1）（4分）∴的单调递增区间为:………………．．6分（必须写出,否则扣1分）（2）（2）．．．．．．8分18．解：（1）设先生能吃到的鱼的条数为先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，……………2分先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，……4分-14-\n故先生至少吃掉6条鱼的概率是……6分（2）先生能吃到的鱼的条数可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天先生吃掉黑鱼,其概率为………8分………10分所以的分布列为（必须写出分布列,否则扣1分）4567P……………………11分故，所求期望值为5．…………………1219．解．（1）证明：在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边．因为，，所以，所以．----------------------------------2分因为四边形为正方形，是矩形，所以，而，所以平面．--------------------------------------------------------4分（2）解：因为平面，所以为四棱锥的高．-------------------------------------------5分因为四边形为直角梯形，且，，所以梯形的面积为．-----------7分所以四棱锥的体积．------------8分（3）建系如图所示坐标系，则A（0,0,3）,P（0,3,0）,Q（4,7,0），-14-\n设与的夹角为，---------------------------------10分------------------------------------11分---------------------------------------12分20．解（1）（法一）在中，令，，得即解得，,----2分．------------------------------------------------------------------------------3分-------------------------------4分-14-\n-------------------------------5分----------------------------------------------------------------------------------6分以下解法，请参考上述评分标准合理给分（法二）是等差数列，．由，得，又，，则．（求法同法一）（2），若成等比数列，则，即．法一:由， 可得------------------8分即， ．--------------------10分又，且，所以，此时．因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列．………12分（法二）因为，故，即，，（以下同上）．21．（1）解：∵双曲线的离心率为，-14-\n∴．即①-------------------------------------------------------------1分∵，且的面积为1．∴，即．----------------------------------2分∵，∴．∴．∴，∴．②--------------------------------------4分将②代入①，得．∴双曲线的方程为．----------------------------------------5分（2）解法1：设点的坐标分别为（），（），（），且＜＜3，又设直线的倾斜角为，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，则，，，，------------------------6分∵，∴（3-）（）＝，即．③-------------------------8分-14-\n设直线的方程为，④将④代入＝1中整理，得（1-3．依题意，是上述方程的两个根，且，∴⑤-----------------------10分将⑤代入③整理，得．⑥-----------------11分由④、⑥消去得，这就是点所在的直线方程．∴点（）总在定直线上．-----------------12分以下解法，请参考上述评分标准合理给分。解法2：设点，的坐标分别为，，，且＜＜3，∵，∴，即，即．以下同解法1．解法3：设点的坐标分别为，-14-\n由题设知均不为零，记．∵过点的直线与双曲线的左、右两支相交于两点，，∴且．∵四点共线，∴．即∴③由③消去，得．以下同解法1．解法4：设点的坐标分别为，由题设知均不为零，记∵过点的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，∴且．∵四点共线，设，则．即∴∵点，在双曲线上，-14-\n∴，其中．∴是方程的两个根．即是方程的两个根．∵，且，∴，即．∴点总在定直线上．22．解：（1）因为，，则，----------------------------1分当时，；当时，．所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，所以函数在处取得极大值．--------------------------------------------------------2分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以解得----------4分（2）不等式，即为记所以-----------------------------------6分令则，在上单调递增，，从而-14-\n故在上也单调递增，，所以------------------8分（3）由（Ⅱ）知：恒成立，即令，则，--------------------------------------------------10分所以………………．叠加得：……------------------------------------------------12分则…，所以-------------------------------14分-14-
