专题检测（二十四）坐标系与参数方程大题专攻强化练1．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△MPQ的面积．解：(1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sinθ.设B(ρ，θ)，则A，则ρ＝6sin＝－6cosθ.所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cosθ.(2)M到直线θ＝的距离为d＝4sin＝2，射线θ＝与曲线C1的交点P，射线θ＝与曲线C2的交点Q，所以|PQ|＝3－3，故△MPQ的面积S＝×|PQ|×d＝3－3.2．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．解：(1)由ρ＝cos，得ρ2＝ρcosθ－ρsinθ，∴x2＋y2－x＋y＝0，即圆C的直角坐标方程为＋＝.(2)设l上任意一点P(t，t＋2)，过P向圆C引切线，切点为Q，连接PC，CQ，\n∵圆C的圆心为C，半径r＝，∴|PQ|＝＝＝≥2，即切线长的最小值为2.3．(2019·福建五校第二次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，Q两点，求∠POQ.解：(1)由得直线l的普通方程为x＋y＝1＋，又所以直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝1＋.由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(2)曲线C的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为C(1，0)且半径为1的圆．由(1)得直线l的普通方程为x＋y－(1＋)＝0，则点C到直线l的距离d＝，所以|PQ|＝2＝1，所以△PCQ是等边三角形，所以∠PCQ＝，又O是圆C上的点，所以∠POQ＝＝.4．(2019·蓉城名校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝－1，M为曲线C1上的动点．(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标．\n解：(1)由题意知，曲线C1：化为普通方程，得(x－2)2＋(y＋2)2＝4；曲线C2：ρcos＝－1，展开，化简得ρcosθ－ρsinθ＝－2，又所以曲线C2的直角坐标方程为x－y＋2＝0.(2)M(2＋2cosφ，－2＋2sinφ)，则点M到曲线C2的距离d＝＝＝，所以当cos＝－1，即φ＝时，d取得最小值，dmin＝.此时M(1，－2＋)．5．(2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(1)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为ρ＋8cosθ＝0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交点为B(异于原点)，求|AB|.解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2＋9y2＝9，故曲线C1的极坐标方程为ρ2＋8ρ2sin2θ－9＝0.(2)因为A，B两点在直线l上，所以可设A，B.把点A的极坐标代入C1的极坐标方程得，ρ＋8ρsin2－9＝0，解得ρ1＝±.已知A点在第一象限，所以ρ1＝.因为B异于原点，所以把点B的极坐标代入C2的极坐标方程得，ρ2＋8cos＝0，解得ρ2＝－4.所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝|＋4|＝5.6．(2019·合肥市高三质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π])．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E\n的方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4.(1)求曲线C的普通方程和曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：x＝t分别与曲线C，曲线E交于点A，B，求△AOB面积的最大值．解：(1)消去参数得曲线C的普通方程为x2＋y2＝4(y≥0)，由得曲线E的直角坐标方程为＋y2＝1.(2)设A(2cosα，2sinα)，α∈[0，π]，要使△AOB的面积最大，则B(2cosα，－sinα)．S△AOB＝|AB|·|xB|＝·3sinα·|2cosα|＝·|sin2α|.∵α∈[0，π]，∴2α∈[0，2π]，∴当α＝或时，△AOB的面积取得最大值.7．(2019·广东六校第一次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin－1.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求－.解：(1)由(t为参数)消去参数t，得y＝2x.由ρ2＝2ρsin－1，得ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ＋1＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴直线l的普通方程为y＝2x，曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，曲线C表示以(1，1)为圆心，1为半径的圆．(2)将x＝t，y＝t代入x2＋y2－2x－2y＋1＝0，得t2－t＋1＝0，\n设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝＞0，t1·t2＝1＞0，∴t1＞0，t2＞0.∵|OA|＜|OB|，∴－＞0，∴－＝－＝＝＝＝.8．(2019·郑州市高三第三次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y＝.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin.(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(－2，1)，求||QM|－|QN||的值．解：(1)由题意可知，直线l的普通方程为x＋y＋1＝0，∴A(－1，0)，B(0，－1)，C1的方程可化为x2＋y2＝1(y≥0)，设点P的坐标为(cosα，sinα)，0≤α≤π，∴·＝－cosα＋sinα＋1＝sin＋1∈[0，＋1]．(2)由ρ＝4sin及x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8，直线l的标准参数方程为(m为参数)，代入C2得m2－m－7＝0，设M，N两点对应的参数分别为m1，m2，则m1＋m2＝，m1m2＝－7＜0，故m1，m2异号，∴||QM|－|QN||＝||m1|－|m2||＝|m1＋m2|＝.
