第七章 不等式第一讲 不等关系与一元二次不等式1.[2021湖南六校联考]已知集合A={x|x2-2x-3<0},集合B={x|log2(x-1)≥0},则A∩B=( )A.{x|2≤x<3}B.{x|2<x≤3}c.{x|1≤x<3}d.{x|-1≤x<2}2.[2021福建五校联考]已知函数f(x)=|lgx|,若f(a)=f(b)且a<b,则不等式logax+logb(2x-1)>0的解集为( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(12,+∞)D.(12,1)3.[2021北京市海淀区期中考试]设a,b∈R,且a<b<0,则(>abC.a+b2>abD.ba+ab>24.[2021广东省梅州市质检]若1a<1b<0,则不等式①1a+b<1ab;②|a|+b>0;③a-1a>b-1b;④lna2>lnb2中,不正确的是( )A.①④B.②③C.①③D.②④5.[2020合肥三检]若x,y∈R,则x2>y2是xy>1成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.[2020陕西西工大附中4月模拟]不等式x2-2x+5>a2对任意的x∈(1,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-2,2]B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-2]∪[2,+∞)7.[2021苏州市吴江中学一检]已知角α,β满足-π2<α-β<π2,0<α+β<π,则3α-β的取值范围是 . 8.[2020海南中学4月模拟]当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+2>0恒成立,则m的取值范围是 . 9.在R上定义运算????:x????y=x(1-y).若不等式(x-a)????(x+a)<1对任意的x∈R恒成立,则实数a的取值范围是 . 10.使不等式x2+(a-6)x+9-3a>0(|a|≤1)恒成立的x的取值范围为 . 第5页共5页,11.[2021黑龙江省六校联考]若2a+1=3,2b=83,则有以下结论:①b-a<1;②1a+1b>2;③ab>34;④b2>2a.其中正确的结论有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.[2021浙江杭州质检]若a+b>0,则( )A.lna+lnb>0B.a3+b3>0C.tana+tanb>0D.|a|>|b|13.设0<b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个,则a的取值范围是( )A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,3)D.(3,5)14.已知函数f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a,若∃x0∈R,使f(x0)<0和g(x0)<0同时成立,则实数a的取值范围为( )A.(7,+∞)B.(-∞,-2)∪(6,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-2)∪(7,+∞)15.[2019河南南阳模拟]不等式x(sInθ-cos2θ+1)≥-3对任意的θ∈R恒成立,则实数x的取值范围是 . 答案第一讲 不等关系与一元二次不等式1.A 解法一 由题意可得A={x|-1<x<3},b={x|x≥2},所以a∩b={x|2≤x<3},故选a.解法二>0⇒x>0,2x-1>0,x2x-1<1⇒x>1.3.D ∵a<b<0,∴1a>1b,故A错;∵a<b<0,∴a2>b2,即b2-a2<0,ab>0,可得ba-ab=b2-a2ab<0,∴ba<ab,故b错;∵a<b<0,∴a+b2<0,而ab>0,则a+b2<ab,故c错;∵a<b<0,∴ba>0,ab>0,ba+ab>2ba·ab=2,等号取不到,故D正确.故选D.第5页共5页,4.D 由1a<1b<0,得b<a<0.①因为a+b<0,ab>0,所以1a+b<1ab成立,即①正确;②因为b<a<0,所以-b>-a>0,则-b>|a|,即|a|+b<0,所以②错误;③因为b<a<0,且1a<1b<0,所以a-1a>b-1b,故③正确;④因为b<a<0,所以b2>a2,所以lnb2>lna2成立,所以④错误.故不正确的是②④.故选D.5.B 解法一 若x2>y2,令x=-3,y=1,则xy<1,所以“x2>y2”不是“xy>1”的充分条件.若xy>1,则x,y同号,当x>0,y>0时,x>y>0,则可得x2>y2;当x<0,y<0时,x<y<0,则有-x>-y>0,所以有x2>y2.所以“x2>y2”是“xy>1”的必要条件.故选B.解法二 x2>y2⇔|x|>|y|⇔|x||y|>1⇔xy>1或xy<-1,所以“x2>y2”是“xy>1”的必要不充分条件.故选B.6.A 由于直线x=1是y=x2-2x+5的图象的对称轴,所以当x>1时,x2-2x+5>12-2+5=4,所以a2≤4,解得-2≤a≤2.故选A.7.(-π,2π) 设3α-β=m(α-β)+n(α+β)=(m+n)α+(n-m)β,则m+n=3,n-m=-1,解得m=2,n=1.因为-π2<α-β<π2,0<α+β<π,所以-π<2(α-β)<π,故-π<3α-β<2π.8.(-22,+∞) (分离参数法)当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+2>0恒成立等价于m>-(x+2x)在x∈(1,2)时恒成立,即等价于m>[-(x+2x)]max.因为x∈(1,2),所以-(x+2x)≤-2x·2x=-22,当且仅当x=2x,即x=2时取等号.故m>-22,所以实数m的取值范围为(-22,+∞).9.(-12,32) 由题意知,(x-a)????(x+a)<1可化为(x-a)(1-x-a)<1,即x2-x-a2+a+1>0,则不等式x2-x-a2+a+1>0对任意的x∈R恒成立.则Δ=1+4a2-4a-4<0,即4a2-4a-3<0,解得-12<a<32.所以实数a的取值范围是(-12,32).10.(-∞,2)∪(4,+∞)>0.令f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,因为f(a)>0在|a|≤1时恒成立,所以(1)若x=3,则f(a)=0,不符合题意,舍去;(2)若x≠3,则由一次函数的单调性,可得f(-1)>0,f(1)>0,即x2-7x+12>0,x2-5x+6>0,解得x<2或x>4.综上可知,使原不等式恒成立的x的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).11.D 由2a+1=3,2b=83,得2a+1·2b=8,所以a+1+b=3,则a+b=2.又2a+1=2·2a=3,所以2<2a=32<2,所以b>1>a>12.对于①,因为2b2a=2b-a=169<2,所以b-a<1,故①正确;对于②,1a+1b=a+bab=2ab,因为0<ab<(a+b2)2=1,所以1a+1b=2ab>2,故②正确;对于③,ab=a(2-a)=-(a-1)2+1,因为12<a<1,所以-(a-1)2+1∈(34,1),所以ab>34,故③正确;对于④,因为23b=(2b)3=(83)3=51227>16=24第5页共5页,,所以3b>4,b>43,所以12<a<23.因为b2-2a=(2-a)2-2a=a2-6a+4=(a-3)2-5∈(49,54),所以b2>2a成立,故④正确.综上所述,正确的结论有4个,故选D.12.B 取a=b=1,则lna+lnb=0,|a|=|b|,排除A,D;取a=π4,b=3π4,则tana+tanb=0,排除C.选B.13.C 关于x的不等式(x-b)2>(ax)2等价于(a2-1)x2+2bx-b2<0,即[(a+1)x-b]·[(a-1)x+b]<0.因为该不等式的解集中的整数解恰有3个,且a+1>0,所以a-1>0,即a>1.又0<b<1+a,所以该不等式的解集为-ba-1<x<ba+1,且0<ba+1<1,所以解集中的3个整数解是-2,-1,0,所以-3≤-ba-1<-2,即2<ba-1≤3,即2a-2<b≤3a-3.因为b<1+a,所以2a-2<1+a,解得a<3.故a的取值范围是(1,3).故选c.14.a>2时,g(x)=ax-2a<0.易知函数f(x)在(a2,+∞)上单调递增,所以当x>2时,f(x)>7-a>0,不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0)<0.(3)当a>0时,g(x)=ax-2a在R上单调递增,且其图象恒过点(2,0).当x<2时,g(x)=ax-2a<0,则命题转化为不等式x2-ax+a+3<0在(-∞,2)上有解.①当a2<2,即0<a<4时,需满足f(a2)=-a24+a+3<0,无解;②当a2≥2,即a≥4时,需满足f(2)=7-a<0,解得a>7.综上可知,实数a的取值范围是(7,+∞).故选A.解法二 由f(x)=x2-ax+a+3,知f(1)=4.若存在x0∈R,使f(x0)<0,则对应方程的根的判别式Δ=a2-4(a+3)>0,即a<-2或a>6.又g(x)=ax-2a的图象恒过点(2,0),故当a>6时,作出函数f(x)和g(x)的大致图象如图D7-1-2所示,当a<-2时,作出函数f(x)和g(x)的大致图象如图D7-1-3所示.由函数图象知,当a>6时,由g(x)<0可知x<2,所以a>6,f(2)<0,解得a>7;当a<-2时,由g(x)<0可知x>2,此时函数f(x)=x2-ax+a+3的图象的对称轴方程为x=a2,且a2<0,又函数f(x)的图象恒过点(1,4),所以不存在x0∈(2,+∞),使得f(x0)<0成立.综上,实数a的取值范围为(7,+∞),故选A.第5页共5页,15.[-32,12] 由题意知,sinθ-cos2θ+1=sin2θ+sinθ,令sinθ=t,则t∈[-1,1].则不等式x(sinθ-cos2θ+1)≥-3对任意的θ∈R恒成立,等价于f(t)=xt2+xt+3≥0对任意的t∈[-1,1]恒成立.又f(0)=3>0,易知二次函数y=xt2+xt+3,t∈R的图象的对称轴方程为t=-12,所以x<0,f(-1)=3≥0,f(1)=2x+3≥0或x=0,f(t)=3≥0或x>0,f(-12)=3-x4≥0,解得-32≤x<0或x=0或0</a<4时,需满足f(a2)=-a24+a+3<0,无解;②当a2≥2,即a≥4时,需满足f(2)=7-a<0,解得a></b<1+a,所以该不等式的解集为-ba-1<x<ba+1,且0<ba+1<1,所以解集中的3个整数解是-2,-1,0,所以-3≤-ba-1<-2,即2<ba-1≤3,即2a-2<b≤3a-3.因为b<1+a,所以2a-2<1+a,解得a<3.故a的取值范围是(1,3).故选c.14.a></a<23.因为b2-2a=(2-a)2-2a=a2-6a+4=(a-3)2-5∈(49,54),所以b2></a<1,所以-(a-1)2+1∈(34,1),所以ab></ab<(a+b2)2=1,所以1a+1b=2ab></a<32.所以实数a的取值范围是(-12,32).10.(-∞,2)∪(4,+∞)></y<0,则有-x></a<0,所以b2></a<0,且1a<1b<0,所以a-1a></a<0,所以-b></a<0.①因为a+b<0,ab></ab,故c错;∵a<b<0,∴ba></ab,故b错;∵a<b<0,∴a+b2<0,而ab></b<0,∴a2></b<0,∴1a></x<3},b={x|x≥2},所以a∩b={x|2≤x<3},故选a.解法二></b<1+a,若关于x的不等式(x-b)2></b<0,则(></x≤3}c.{x|1≤x<3}d.{x|-1≤x<2}2.[2021福建五校联考]已知函数f(x)=|lgx|,若f(a)=f(b)且a<b,则不等式logax+logb(2x-1)>
