课时作业79 坐标系一、填空题1．在直角坐标系中，点P的坐标为(－1，－)，则点P的极坐标为________．解析：ρ＝＝2，∴θ＝π，即P(2，π)．答案：(2，π)2．在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是________(填序号)．①；②；③(1,0)；④(1，π)解析：圆的方程可化为ρ2＝－2ρsinθ，由得x2＋y2＝－2y，即x2＋(y＋1)2＝1，圆心为(0，－1)，化为极坐标为.答案：②3．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是________(填序号)．①两个圆；②两条直线；③一个圆和一条射线；④一条直线和一条射线．解析：由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π.其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．答案：③4．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.答案：5．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．5\n解析：将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.答案：26．极坐标系下，直线ρcos(θ－)＝与圆ρ＝2的公共点个数是________．解析：将已知直线和圆的极坐标方程分别化为普通方程为x＋y＝2，x2＋y2＝4，由于圆心到直线的距离d＝<2，故直线与圆相交，即公共点个数共有2个．答案：27．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cosθ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.解析：曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.答案：8．在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sinθ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．解析：由曲线C：ρ＝4sinθ，得ρ2＝4ρsinθ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sinθ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.答案：49．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1围成图形的面积是________．解析：5\nθ＝0，θ＝，ρcosθ＋ρsinθ＝1三直线对应的直角坐标方程分别为：y＝0，y＝x，x＋y＝1，作出图形得围成图形为如图△OAB，S＝.答案：二、解答题10．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsin＝.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsin＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.11．在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2cosθ，ρcos＝1.(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P5\n的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C2的直角坐标方程为x－y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则即①因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，所以ρ0cos＝1，②将①代入②，得cos＝1，即ρ＝2cos为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为2＋2＝1，因此点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆．1．(2014·江西卷)若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为( )A．ρ＝，0≤θ≤B．ρ＝，0≤θ≤C．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤D．ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤解析：∵y＝1－x(0≤x≤1)，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入上式得ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)．整理得ρ＝.(0≤θ≤)．故选A.答案：A2．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线C：(α为参数)交于A，B两点，且|AB|＝2，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是________．5\n解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，设直线l的方程为y＝x＋b，因为弦长|AB|＝2，所以圆心(2,1)到直线l的距离d＝0，所以圆心在直线l上，故y＝x－1⇒ρsinθ＝ρcosθ－1⇒ρsin＝－，故填ρsin＝－.答案：ρsin＝－3．(2014·重庆卷)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cosθ＝0(ρ≥0,0≤θ<2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.解析：直线l的普通方程为x－y＋1＝0，曲线C的平面直角坐标方程y2＝4x.∴公共点为(1,2)，∴ρ＝.答案：4．(2014·辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的参数方程；(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，依题意，得，由x＋y＝1得x2＋()2＝1，即曲线C的方程为x2＋＝1.故C的参数方程为(t为参数)．(2)由，解得：，或.不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝(x－)，化为极坐标方程，并整理得2ρcosθ－4ρsinθ＝－3，即ρ＝.5
